瑞利商 📖 Wikipedia

在数学中，瑞利商（英語：Rayleigh quotient）定义为：^[1]^[2]

$R(M,x)={x^{*}Mx \over x^{*}x}.$

式中， $M$ 为复埃尔米特矩阵， $x$ 为非零向量。对实矩阵和向量，对矩阵的埃尔米特矩阵要求退化为对称矩阵，对向量的共轭转置退化为转置。

$R(M,cx)=R(M,x)$ 对所有非零标量 $c$ 成立。

埃尔米特矩阵（或实对称矩阵）只具有实特征值且可对角化，由此，对于给定矩阵，其瑞利商达到最小值λ（ $M$ 的最小特征值）当 $x$ 为 $v_{\min }$ （最小特征值对应的特征向量）；类似的： $R(M,x)\leq \lambda _{\max }$ ， $R(M,v_{\max })=\lambda _{\max }$ 。^[2]

瑞利商使用最小最大定理（英语：Min-max_theorem）（min-max theorem）获得所有特征值的精确值。它还用于特征值算法（如瑞利商迭代（英语：Rayleigh_quotient_iteration）），从特征向量近似值中获得特征值近似值。

在量子力学中，瑞利商给出了状态为 $x$ 的系统中算子 $M$ 观测值的期望值。

埃尔米特矩阵M的界

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对于任意向量 $x$ ，其瑞利商满足 $R(M,x)\in \left[\lambda _{\min },\lambda _{\max }\right]$ ，其中 $\lambda _{\min },\lambda _{\max }$ 分别代表矩阵 $M$ 的最小特征值和最大特征值。观察定义可知，矩阵 $M$ 的瑞利商等价于其特征值的加权和： $R(M,x)={x^{*}Mx \over x^{*}x}={\frac {\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}y_{i}^{2}}{\sum _{i=1}^{n}y_{i}^{2}}}$ 其中 $(\lambda _{i},v_{i})$ 是第 $i$ 个归一化后的特征值-特征向量对， $y_{i}=v_{i}^{*}x$ 是 $x$ 在特征基中的第 $i$ 个坐标。可以验证，当 $x$ 为矩阵 $M$ 最小（最大）特征值对应的特征向量 $v_{\min }$ （ $v_{\max }$ ）时， $R(M,x)$ 取值达到其下（上）界。