Lei de Wien 📖 Wikipedia

A lei de Wien (ou lei do deslocamento de Wien) é a lei da física que relaciona o comprimento de onda onde se situa a máxima emissão de radiação eletromagnética de corpo negro e sua temperatura:^[1]

${\displaystyle \lambda _{\text{max}}={\frac {b}{T}}}$ .

Nessa expressão, ${\displaystyle \lambda _{\text{max}}\,}$ é o comprimento de onda (em metros) para o qual a intensidade da radiação eletromagnética emitida é máxima, ${\displaystyle T\,}$ é a temperatura do corpo em kelvins, e ${\displaystyle b\,}$ é a constante de proporcionalidade, chamada constante de dispersão de Wien, em m.K (metro x Kelvin).

O valor dessa constante é ${\displaystyle b=2{,}8977685\times 10^{-3}}$ m.K

O que resulta em:

${\displaystyle \lambda _{\text{max}}={\frac {0{,}0028976}{T}}}$

Conforme a lei de Wien, quanto maior for a temperatura de um corpo negro, menor será o comprimento de onda para o qual a emissão é máxima. Por exemplo, a temperatura da fotosfera solar é de 5 780 K e o pico de emissão se produz a 501,3 nm = 5,013 × 10^-7 m. Como 1 Å = 10⁻¹⁰ m = 10⁻⁴ µm, resulta que o máximo ocorre a 5 013 Å.

As propriedades da radiação do corpo podem ser deduzidas através da termodinâmica clássica. Boltzmann, apresentou a derivação teórica a partir da energia total emitida (I_T) por cm² e por segundo, sendo função da temperatura (T) de um corpo negro. Representado pela equação de Stefan-Boltzmann: I_T = σeT⁴, onde σ é a constante de Stefan-Boltzmann (1,3804 x 10^-23 m² kg s^-2 K^-1) e e é a eficiência de uma superfície como emissora de radiação térmica.^[1]

Devido as considerações de Boltzmann, pode-se expor que a radiação térmica, como toda radiação eletromagnética, exerce uma pressão proporcional à sua densidade de energia, comportando-se tal qual um gás. Levando em conta o ciclo de Carnot, Boltzmann relacionou o trabalho realizado pela pressão de radiação e sua temperatura. Essa relação permite expressar a radiação como densidade de energia e, consequentemente, em termos de energia total emitida.^[1]

Nessa compreensão, a cavidade contendo radiação térmica (radiação de cavidade), qualquer comprimento de onda será modificado em consequência do efeito Doppler. A partir dessas informações, Wilhelm Wien pôde derivar uma forma funcional para a distribuição espectral de radiação do corpo negro (Lei de Wien).^[1]

Esta lei foi formulada empiricamente por Wilhelm Wien. Entretanto, hoje se deduz da lei de Planck para a radiação de um corpo negro da seguinte maneira:

${\displaystyle E(\lambda ,T)={C_{1} \over \lambda ^{5}\cdot (e^{C_{2} \over \lambda \cdot T}-1)}={C_{1}\cdot \lambda ^{-5} \over (e^{C_{2} \over \lambda \cdot T}-1)}}$

onde as constantes valem no Sistema Internacional de Unidades:

${\displaystyle C_{1}=8\pi hc=4{,}99589\cdot 10^{-24}[J\cdot m]}$

${\displaystyle C_{2}={hc \over k}=1{,}4385\cdot 10^{-2}{m\cdot K}=1{,}4385\cdot 10^{4}[\mu m\cdot K]}$

Para encontrar o máximo, a derivada da função com respeito a ${\displaystyle \lambda }$ tem de ser zero.

${\displaystyle {\partial (E(\lambda ,T)) \over \partial \lambda }=0}$

Basta utilizar a regra de derivação do quociente e como se tem que igualar a zero, o numerador da derivada será nulo ou seja:

${\displaystyle {\frac {c_{2}}{\lambda \cdot T}}=5\cdot (1-e^{-C_{2} \over \lambda \cdot T})}$

Se definimos

${\displaystyle x\equiv {c_{2} \over \lambda T}}$

então

${\displaystyle {x \over 1-e^{-x}}-5=0}$

Essa equação não pode ser resolvida analiticamente. Utilizando o método de Newton ou da tangente:

${\displaystyle x=4{,}965114231744276\ldots }$

Da definição de x resulta que:

${\displaystyle \lambda _{\text{max}}\cdot T={\frac {c_{2}}{x}}={\frac {1{,}4385\cdot 10^{4}}{4{,}965114231744276}}=2897{,}6\mu mK}$

Assim que a constante de Wien é ${\displaystyle 2897{,}6\mu m\cdot K}$ pelo que:

${\displaystyle \lambda _{\text{max}}\cdot T=2897{,}6\mu m\cdot K}$

Referências

• «Fórmula empírica de Wien»