Hipótese de Riemann 📖 Wikipedia

 Nota: Para o termo musical, veja teoria Riemanniana.

A hipótese de Riemann (ou conjectura de Riemann, frequentemente abreviada como HR) está relacionada à distribuição dos números primos e, na opinião dos principais matemáticos, é atualmente o mais importante problema não resolvido da matemática pura. Ela foi formulada pela primeira vez em 1859 por Bernhard Riemann em seu artigo Sobre o Número de Primos Menores que uma Dada Grandeza (Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Größe), em uma oração subordinada. A conjectura formulada por Riemann afirma que todos os zeros ${\displaystyle \varrho }$ da função zeta de Riemann ${\displaystyle \zeta }$ (para os quais se tem ${\displaystyle \zeta (\varrho )=0}$) são números pares negativos ${\displaystyle -2}$, ${\displaystyle -4}$, …, ou números complexos cuja parte real é ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$. Os primeiros são também chamados de zeros triviais e a hipótese afirma que os não triviais situam-se numa chamada reta crítica.

Tendo já sido incluída no ano de 1900 por David Hilbert em sua lista de 23 problemas importantes do século, ela foi adicionada no ano de 2000 pelo Instituto Clay de Matemática (Clay Mathematics Institute) à lista dos sete Problemas do Milênio da matemática. O instituto em Cambridge (Massachusetts) ofereceu, com isso, um prêmio de um milhão de dólares americanos para uma solução conclusiva do problema na forma de uma prova matemática. No entanto, em relação à descoberta de potenciais contraexemplos, existem regras especiais no concurso, em particular se estes forem obtidos com o poder de cálculo dos computadores modernos e não puderem fornecer nenhum "discernimento profundo" sobre o problema.

Uma importante equivalência à hipótese de Riemann é o comportamento "o mais aleatório possível" da sequência dos números primos ${\displaystyle 2,3,5,7,11,\dotsc }$. Isso deve se manifestar, por exemplo, pelo fato de que a sucessão dos eventos em que um número natural possui uma quantidade par de fatores primos, como por exemplo ${\displaystyle 6=2\cdot 3}$ com dois fatores, ou possui uma quantidade ímpar de fatores primos, como ${\displaystyle 8=2\cdot 2\cdot 2}$ com três fatores, para ${\displaystyle 1,2,3,4,5,\dotsc }$, ou seja, seguindo o esquema

${\displaystyle \underbrace {1,} _{\text{par}}\quad \underbrace {2,} _{\text{ímpar}}\quad \underbrace {3,} _{\text{ímpar}}\quad \underbrace {2\cdot 2,} _{\text{par}}\quad \underbrace {5,} _{\text{ímpar}}\quad \underbrace {2\cdot 3,} _{\text{par}}\quad \underbrace {7,} _{\text{ímpar}}\quad \underbrace {2\cdot 2\cdot 2,} _{\text{ímpar}}\quad \underbrace {3\cdot 3,} _{\text{par}}\quad \underbrace {2\cdot 5,} _{\text{par}}\quad \underbrace {11,} _{\text{ímpar}}\quad \underbrace {2\cdot 2\cdot 3,} _{\text{ímpar}}\quad \cdots \qquad }$
(com zero fatores primos para o 1)

apresenta a longo prazo um comportamento aproximado que um lançamento de moeda infinitamente repetido com "cara" e "coroa" (representando "par" e "ímpar") poderia realisticamente ter. Esta perspectiva é motivada pelo teorema central do limite da teoria das probabilidades. Uma teoria que resolva a hipótese de Riemann e com isso forneça uma explicação mais profunda para essa aleatoriedade entre os números primos poderia, portanto, do ponto de vista dos matemáticos, resultar numa compreensão fundamentalmente nova dos números em geral.

A função zeta de Riemann, que é o objeto da conjectura, trata-se de uma função matemática entre números complexos, que é formalmente definida como um prolongamento analítico de uma soma infinita (série). Leonhard Euler já havia percebido que os valores da função podem ser representados tanto com a ajuda dos números primos (Produto de Euler) quanto com a ajuda de seus próprios zeros, de forma semelhante aos polinômios (por exemplo, ${\displaystyle x^{2}-1=(x-1)(x+1)}$). Através dessa interação induzida, resulta que os zeros codificam as propriedades dos números primos e os números primos, por sua vez, codificam as propriedades dos zeros. Nesse contexto, os matemáticos falam frequentemente de uma dualidade.

Já está provado que a função zeta tem os zeros triviais ${\displaystyle -2,-4,-6,\dotsc }$ e que a função zeta possui uma infinidade de zeros não reais com a parte real ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$. A hipótese de Riemann afirma que não existem outros zeros além desses, ou seja, que todos os zeros não triviais da função zeta estão sobre uma reta no plano complexo paralela ao eixo imaginário. Uma vez que a função zeta, através de uma equação funcional, possui uma lei de reflexão elementar em relação a ${\displaystyle s\mapsto 1-s}$, ela é equivalente a que todos os zeros se encontrem "o mais à esquerda possível", sendo que "zeros à esquerda" resultam em uma distribuição de números primos mais uniforme. Ao mesmo tempo, a mera existência desses zeros constrói uma barreira natural que pode ser interpretada como significando que os números primos não podem estar distribuídos de forma arbitrariamente uniforme, como "cara, coroa, cara, coroa, cara, coroa, …".

Muitas questões até então não resolvidas, especialmente da teoria dos números, podem ser respondidas com a veracidade da hipótese de Riemann. Isso diz respeito a problemas da pesquisa fundamental em matemática, tais como os da distribuição dos números primos no contexto do Teorema do número primo ou da ainda em aberto Conjectura de Goldbach, bem como da matemática aplicada, como os testes de primalidade rápidos. Simultaneamente, ela também é considerada extremamente difícil de se provar. Até o momento, todas as tentativas de prova feitas por matemáticos proeminentes falharam. Um motivo para isso é que a humanidade, do ponto de vista dos especialistas, ainda não dispõe das ferramentas matemáticas necessárias para sequer abordá-la. Sendo assim, considera-se muito provável que ela não possa ser demonstrada por meios puramente analíticos, isto é, por mera investigação do "termo da função" da função zeta através do aparato teórico das funções holomorfas, mas que uma componente aritmética decisiva deva estar envolvida com o produto de Euler, muito embora este não mais convirja na faixa crítica, o que acarreta dificuldades consideráveis. Existem, assim, outras funções zeta que se assemelham muito à função zeta de Riemann em suas propriedades, mas que não possuem um produto de Euler e nas quais a hipótese de Riemann é comprovadamente falsa.

Através do uso extensivo de computadores, conseguiu-se confirmar a hipótese de Riemann para os primeiros 10 trilhões de zeros da função zeta. No entanto, uma vez que a função zeta comprovadamente possui infinitos zeros não reais, ela só poderia ser refutada desta maneira pela apresentação de um contraexemplo explícito, mas não provada. Um contraexemplo seria um zero na faixa crítica com a parte real diferente de ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$.

Existem vários livros não-técnicos, sobre a hipótese de Riemann, como Derbyshire (2003), Rockmore (2005), (Sabbagh , 2003a, 2003b), du Sautoy (2003). Os livros Edwards (1974), Patterson (1988), Borwein et al. (2008), Mazur & Stein (2015) e Broughan (2017) dão uma introdução matemática, enquanto que Titchmarsh (1986), Ivić (1985) e Karatsuba & Voronin (1992) são monografias avançadas.

No centro da Teoria dos números, o ramo da matemática que se dedica às propriedades dos números naturais 1, 2, 3, 4, ..., encontram-se os números primos 2, 3, 5, 7, 11, ... Estes distinguem-se pela propriedade de terem exatamente dois divisores, nomeadamente o 1 e eles próprios. O 1 não é um número primo. Os números primos formam, de certo modo, os átomos dos números inteiros, uma vez que cada número inteiro positivo pode ser decomposto de forma multiplicativa única nestes números. Este resultado é também designado por Teorema fundamental da aritmética. Por exemplo, tem-se 21 = 3 · 7 e 110 = 2 · 5 · 11.

Apesar da sua definição simples, e após vários milénios de história da matemática, ainda subsistem muitas questões em aberto sobre os números primos e a sua distribuição. A sua natureza constitui uma das mais importantes questões em aberto na matemática. A hipótese de Riemann implica muitas afirmações sobre a distribuição dos números primos e é motivada pelas seguintes questões:^[1]

• Quantos números primos 2, 3, 5, 7, 11, ... existem menores que 100? E quantos são menores que 10 000 ou 1 000 000?
• Mais genericamente: Quantos números primos existem que são menores que um dado número arbitrário X?^{[Anm. 1]}

À primeira vista, estas são questões de natureza muito específica, que dizem respeito apenas à teoria dos números, ou mais concretamente aos números primos. No entanto, os matemáticos, e mais tarde também os físicos, descobriram que estão relacionadas com uma multiplicidade de estruturas que interligam numerosas áreas das ciências matemáticas. Isto abrange, por exemplo, a Física quântica, mas também a Teoria das probabilidades, o ramo da matemática que lida com o acaso. Todas estas correlações ainda não foram exatamente formalizadas, nem tão-pouco compreendidas. Contudo, todas convergem para a hipótese de Riemann: Os números primos encontram-se numa dualidade^[2][3][4] face a outro tipo de objetos matemáticos. Neste contexto, a dualidade significa que existe um emparelhamento natural entre os números primos e estes outros objetos. De certa forma, informações sobre os números primos são transferidas para estes outros objetos, mas, vice-versa, estes "objetos parceiros" também codificam informações sobre os números primos. Estes objetos são, mais uma vez, números. Dividem-se em duas categorias:

• Já em meados do século XIX, Bernhard Riemann reconheceu que os números pares negativos, ou seja, ${\displaystyle \{-2,-4,-6,-8,-10,-12,\dots \}}$, fazem parte desta dualidade. Este segmento é até hoje designado como trivial, uma vez que a profundidade matemática necessária para a sua compreensão não é tão elevada.
• Os restantes "números duais", não triviais, não surgem como "números de contagem", à semelhança do que faziam os números primos 2 e 3 do outro lado da dualidade; tratam-se sim de determinados números complexos. Os "primeiros" três destes números, ordenados pela magnitude das suas partes imaginárias, são

${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}+i\cdot 14{,}13472514\ldots \,,\quad {\tfrac {1}{2}}+i\cdot 21{,}02203963\ldots \,,\quad {\tfrac {1}{2}}+i\cdot 25{,}01085758\ldots }$

Nisto, o símbolo ${\displaystyle i}$ designa a unidade imaginária dos números complexos e corresponde ao número que, multiplicado por si próprio, perfaz ${\displaystyle -1}$. O que salta à vista é a comunhão do número ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$ enquanto parte real: Em contraste com a "disposição completamente arbitrária" dos números primos, parece subjacente aos "números duais" não triviais um padrão bastante rigoroso: como todos os números complexos, podem inicialmente ser visualizados num plano, e a hipótese de Riemann postula que os "números duais" não triviais correspondentes aos números primos se encontram todos posicionados sobre uma reta comum no plano – concretamente aquela onde assentam todos os números com parte real = ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$. Aparentam, assim, deter uma forte simetria geométrica.

Os motivos pelos quais uma demonstração da hipótese de Riemann seria revolucionária para a matemática são múltiplos: A posição geométrica dos "números duais" não triviais alberga informações sobre a distribuição dos números primos. Conhecendo-se todos os números duais, a distribuição exata dos números primos pode inclusive ser reconstruída analiticamente com a precisão que se desejar (ver imagem inferior sobre a frequência de números primos). Através do princípio de dualidade, não há assim qualquer perda recíproca de informações. De um ponto de vista teórico, a localização sobre uma reta comum poderia ser interpretada como uma indicação de que os números primos se encontram distribuídos da forma mais uniforme possível, revelando-se assim pseudoaleatórios. Eles encontram-se, portanto, "todos já definidos", mas é difícil extorquir imposições simples ao seu padrão de distribuição. Por exemplo, nas decomposições em fatores primos de números adjacentes, tais como

${\displaystyle {\begin{aligned}231\,812\,806\,445\,087\,701\,493\,115\,518\,976&=2^{50}\cdot 3^{30}\\231\,812\,806\,445\,087\,701\,493\,115\,518\,977&=6\,661\cdot 746\,497\cdot 46\,619\,748\,295\,934\,578\,381\\231\,812\,806\,445\,087\,701\,493\,115\,518\,978&=2\cdot 2\,203\,633\cdot 5\,161\,337\cdot 25\,549\,241\cdot 398\,866\,849\\231\,812\,806\,445\,087\,701\,493\,115\,518\,979&=3\cdot 7\cdot 11\,038\,705\,068\,813\,700\,071\,100\,738\,999\end{aligned}}}$

não se logrou até à data reconhecer qualquer nexo mandatório. Além do mais, muitas conjeturas da teoria dos números até agora não provadas resultariam diretamente, como "bónus", da demonstração da hipótese de Riemann. Nestas incluem-se também testes de primalidade otimizados, que encontram aplicações práticas na criptografia.^[5] A teoria em torno da hipótese de Riemann conjuga ainda muitas áreas da matemática. Quando uma teoria o faz, tal advoga a favor de uma forma de fundamentalidade. Um exemplo de uma teoria tão fundamental é o Teorema da modularidade, demonstrado no início do século XXI, que, através de curvas elípticas e formas modulares, unificou duas teorias à primeira vista completamente díspares. Uma compreensão mais profunda dos números primos poderia também desencadear novos desenvolvimentos na física quântica. Caso a simetria entre os "números duais" se verificasse, este sistema poderia, porventura, ser perspetivado como um quasicristal.

O fenómeno da dualidade pode ser ilustrado com recurso a uma outra famosa sucessão numérica, a sucessão de Fibonacci

${\displaystyle 0,\,1,\,1,\,2,\,3,\,5,\,8,\,13,\,21,\,34,\,55,\,\ldots }$

A sucessão começa, por definição, com 0 e 1, e a soma dos dois números anteriores dá sempre origem ao número seguinte. Na matemática, estas sucessões são também designadas por recursivas. A sucessão de Fibonacci pode assim ser definida implicitamente por

${\displaystyle f_{0}:=0,\;f_{1}:=1\,}$ e ${\displaystyle \,f_{n+2}:=f_{n+1}+f_{n}\;}$ com ${\displaystyle \;n=0,1,2,3,\dots }$

A relação ${\displaystyle f_{n+2}-f_{n+1}-f_{n}=0}$ está ligada à equação quadrática ${\displaystyle x^{2}-x-1=0}$, estabelecendo-se assim uma ponte para a álgebra. As suas soluções são ${\displaystyle x_{1}={\tfrac {1+{\sqrt {5}}}{2}}=\Phi }$ e ${\displaystyle x_{2}={\tfrac {1-{\sqrt {5}}}{2}}=-{\tfrac {1}{\Phi }}}$. Neste âmbito, ${\displaystyle \Phi =1{,}6180\ldots }$ é o número de ouro (ou proporção áurea) e, juntamente com o seu inverso ${\displaystyle -{\tfrac {1}{\Phi }}}$, encontra-se em dualidade face à sucessão de Fibonacci. A partir de ambas as raízes, cada valor de Fibonacci é reconstruído através da fórmula exata:

${\displaystyle f_{n}={\frac {\Phi ^{n}-\left(-{\frac {1}{\Phi }}\right)^{n}}{\Phi -\left(-{\frac {1}{\Phi }}\right)}}={\frac {1}{\sqrt {5}}}\left(\left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}-\;\left({\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}\right),}$

e da sucessão de Fibonacci é possível, inversamente, construir o número de ouro através de ${\displaystyle \Phi =\lim _{n\to \infty }{\tfrac {f_{n+1}}{f_{n}}}}$. A recursão finita subjacente aos números de Fibonacci garante uma reduzida complexidade matemática desta sucessão, sendo de modo correspondente "pequeno" o conjunto de "números duais" ${\displaystyle \{\Phi ,-{\tfrac {1}{\Phi }}\}}$. Os números primos, por sua vez, não obedecem a qualquer recursão finita e a sua "composição exata" é muito complexa. Também eles podem ser codificados numa função, tirando partido da decomposição única dos números naturais em fatores primos. Neste processo, a propriedade caraterística dos números primos de construírem os números naturais de forma multiplicativa assume um papel análogo ao de ${\displaystyle f_{n+2}-f_{n+1}-f_{n}=0}$ na associação da sucessão de Fibonacci à função ${\displaystyle f(x)=x^{2}-x-1}$. Esta é designada por Função Zeta de Riemann, e os seus zeros são os "números duais" pertinentes aos números primos. A Função Zeta, em oposição a ${\displaystyle f(x)=x^{2}-x-1}$, não é uma função racional, pelo que não pode ser calculada a partir do valor de entrada através de uma sequência finita das quatro operações básicas (adição, subtração, multiplicação e divisão). Possui um número infinito de zeros e a elevada complexidade dos números primos expressa-se, por conseguinte, no facto de o conjunto de "números duais" ser de dimensão infinita.

O especialista em teoria dos números Don Zagier resumiu o problema na sua aula inaugural de 5 de maio de 1975, proferida na Universidade de Bona, da seguinte forma:

Existem dois fatos acerca da distribuição dos números primos […]: O primeiro é o de que os números primos, não obstante a sua definição simples e o seu papel de blocos de construção dos números naturais, figuram entre os objetos mais arbitrários e recalcitrantes que o matemático sequer estuda. Eles crescem como ervas daninhas por entre os números naturais, não parecendo submetidos a outra lei que não a do acaso, e ninguém é capaz de prever onde irá o próximo despontar, nem mesmo discernir ao olhar para um número se este é primo ou não. O outro fato é muitíssimo mais espantoso, pois dita precisamente o contrário, que os números primos exibem uma assombrosa regularidade, de que se encontram inteiramente sujeitos a leis a que obedecem com uma precisão quase escrupulosa.

— Don Zagier

Ao longo de todo o texto, adotam-se as seguintes notações:

• ${\displaystyle \mathbb {N} }$, ${\displaystyle \mathbb {Z} }$, ${\displaystyle \mathbb {Q} }$, ${\displaystyle \mathbb {R} }$ e ${\displaystyle \mathbb {C} }$ denotam os números naturais, inteiros, racionais, reais e complexos, respectivamente.
• A notação para a limitação assintótica através dos símbolos de Landau: ${\displaystyle f(x)=O(g(x))}$ significa que ${\displaystyle \limsup _{x\to a}\left|{\tfrac {f(x)}{g(x)}}\right|<\infty }$ (onde, na maioria dos casos, ${\displaystyle a=\infty }$ e ${\displaystyle \limsup }$ designa o limite superior). De forma análoga, utiliza-se ${\displaystyle f(x)\ll g(x)}$ com ${\displaystyle x\to a}$, e as possíveis dependências das constantes absolutas são indicadas por marcações no índice. Por exemplo, tem-se ${\displaystyle \log(x)\ll _{\varepsilon }x^{\varepsilon }}$ para todo ${\displaystyle \varepsilon >0}$. Além disso, ${\displaystyle f(x)=o(g(x))}$ significa ainda que ${\displaystyle \limsup _{x\to a}\left|{\tfrac {f(x)}{g(x)}}\right|=0}$.
• ${\displaystyle \mathrm {Re} (z)}$ e ${\displaystyle \mathrm {Im} (z)}$ denotam sempre a parte real e a parte imaginária, respectivamente, do número complexo ${\displaystyle z}$.
• Como é habitual, ${\displaystyle \log(x)}$ é sempre o logaritmo natural de ${\displaystyle x}$, e ${\displaystyle e^{x}}$ ou ${\displaystyle \exp(x)}$ a função exponencial natural.
• ${\displaystyle \mathrm {Li} (x)}$ denota o Logaritmo integral e ${\displaystyle \pi (x)}$ a função de contagem de números primos.
• ${\displaystyle \zeta (s)}$ denota a função zeta de Riemann e ${\displaystyle \Gamma (s)}$ a Função gama. Além disso, escreve-se ${\displaystyle s=\sigma +it}$ com ${\displaystyle \sigma }$ e ${\displaystyle t}$ reais.
• ${\displaystyle \lambda (n)}$ denota a Função de Liouville, ${\displaystyle \mu (n)}$ a Função de Möbius e ${\displaystyle \Lambda (n)}$ a Função de von Mangoldt.

Já Euclides havia demonstrado que existem infinitos números primos, motivo pelo qual a lista 2, 3, 5, 7, 11, … de todos os números primos nunca termina, tal como a lista 1, 2, 3, 4, … de todos os números naturais nunca termina. O seu resultado é conhecido como o teorema de Euclides.^[6]

O teorema de Euclides é um teorema matemático; a sua exatidão deve, portanto, ser demonstrada. Uma demonstração matemática ocorre através de uma sequência de argumentos logicamente verdadeiros, que se baseiam em axiomas ou em teoremas previamente demonstrados. Uma demonstração da infinidade dos números primos pode ser conduzida, a grosso modo, da seguinte forma:

Caso se encontre uma quantidade finita de números primos distintos, forma-se o seu produto. Em seguida, adiciona-se 1 ao resultado. Pela sua construção, o número assim formado não é divisível por nenhum número primo da lista. No entanto, uma vez que todo número é divisível por um número primo, existe, além de todos os números primos da lista, um outro número primo.

Este procedimento pode ser compreendido através do seguinte exemplo: Considerando a lista {2, 5, 11} de números primos, o seu produto 2 · 5 · 11 = 110 é divisível por 2, 5 e 11. Deste modo, 110 + 1 = 111 não pode ser divisível nem por 2, nem por 5, nem por 11; logo, existe um outro número primo que difere de 2, 5 e 11. Concretamente, o número primo 3 divide o número 111, e tem-se 111 = 3 · 37. Obviamente, o tamanho da lista de três números neste exemplo é arbitrário; tem-se, por exemplo,

2 · 3 · 5 · 7 · 11 · 13 + 1 = 59 · 509,

e nem os números primos 59 nem 509 estão contidos na lista {2, 3, 5, 7, 11, 13}. O argumento mostra, portanto, que qualquer lista de números primos, por mais longa que seja, está incompleta. Consequentemente, tem de haver infinitos números primos.

A hipótese de Riemann fornece uma ideia quantitativa da distribuição dos números primos, que vai muito além do mero conhecimento da sua infinidade.

Ao longo do tempo, foram encontradas numerosas demonstrações da infinidade dos números primos, entre as quais as de Christian Goldbach, Leonhard Euler e Paul Erdös. As descobertas de Euler, em particular, serviram como um guia para a transição futura de uma teoria dos números elementar, na tradição dos antigos gregos, para uma forma moderna da mesma. No ano de 1737, durante a sua primeira estadia em São Petersburgo, Euler investigou uma abordagem inovadora aos números primos e descobriu que eles estão "relativamente densamente" espalhados entre os números naturais. Mais precisamente, ele provou que

${\displaystyle \sum _{p\,{\text{número primo}}}{\frac {1}{p}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{11}}+{\frac {1}{13}}+{\frac {1}{17}}+\cdots =\infty .}$^[7]

Somando-se sucessivamente os inversos dos números primos, qualquer limite superior, por maior que seja, acaba por ser ultrapassado. Isso evidencia que os números primos estão espalhados de forma mais "densa" entre os números naturais do que os quadrados perfeitos,^[8] pois Euler também mostrou que

${\displaystyle 1+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{4^{2}}}+{\frac {1}{5^{2}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{2}}{6}}\approx 1{,}645<\infty .}$ (Problema de Basileia).

Os números quadrados, a longo prazo, crescem rápido o suficiente para que a soma dos seus inversos não ultrapasse o valor finito de 1,645. Na sua época, Euler não dispunha da linguagem matemática para interpretar com precisão este refinamento do teorema de Euclides, e não há evidências de que ele se tenha debruçado sobre afirmações exatas relativas à distribuição dos números primos.^[9] No entanto, em 1737, Euler já havia afirmado corretamente, sem demonstração, que a razão ${\displaystyle {\tfrac {\pi (x)}{x}}}$, onde ${\displaystyle \pi (x)}$ denota a quantidade de números primos menores que ${\displaystyle x}$, tende a 0 à medida que ${\displaystyle x}$ cresce.^[10]

A estratégia de demonstração de Euler utiliza o chamado Produto de Euler. Nesse processo, a fatorabilidade única dos números naturais em fatores primos desempenha um papel fundamental. O produto de Euler está relacionado a um objeto matemático que ainda hoje é utilizado na pesquisa dos números primos e que, na matemática moderna, é conhecido como a Função zeta de Riemann. A conquista inovadora consistiu em atacar as questões sobre os números primos de forma sistemática, através de relações funcionais entre os números. É por esse motivo que Euler é considerado um dos pioneiros da Teoria analítica dos números.^[11]

A mera infinidade de um subconjunto dos números naturais ainda não diz muito sobre a sua natureza. Por exemplo, existem infinitos números pares 2, 4, 6, 8, … e infinitos quadrados perfeitos 1, 4, 9, 16, …, contudo, observando de perto, ambas as sequências apresentam comportamentos diferentes. Enquanto a diferença entre dois números pares consecutivos é sempre 2, as distâncias entre os quadrados perfeitos aumentam cada vez mais, por exemplo

${\displaystyle 4-1=3,\quad 9-4=5\quad }$ e ${\displaystyle \quad 16-9=7.}$

Ambas as sequências partilham, no entanto, um padrão muito regular. Por exemplo, o n-ésimo número par é simplesmente 2n. Em contrapartida, até os dias de hoje, não foi descoberto nenhum padrão simples na sequência dos números primos 2, 3, 5, 7, 11, …, 59, 61, 67, …. Por exemplo, não existe nenhum algoritmo "rápido" para calcular o n-ésimo número primo. Demonstra-se, porém, que existem padrões a serem reconhecidos nos números primos a longo prazo. Se observarmos um grande conjunto de números primos em simultâneo, é possível identificar estruturas regulares através do "cálculo de médias".

O princípio por trás deste fato é de natureza estatística. Estas reflexões dizem respeito à questão de como se deve compreender a distribuição dos números primos, ou, em outras palavras, quantos números primos são esperados abaixo de um limite pré-determinado. Por exemplo, existem apenas 4 números primos, nomeadamente 2, 3, 5 e 7, menores que o número 10. Para o limite superior de 150, já existem 35 números primos menores, a saber:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149.

Nisto, estão destacados os 20 números primos, no total, entre 50 e 150. Uma das questões da teoria dos números é se existe um princípio universal e simples, pelo menos para estimar quantos números primos existem abaixo de um dado limite. Um tal princípio foi percebido pela primeira vez nos anos de 1792/93, pelo então jovem de 15 anos Carl Friedrich Gauss,^[12] após este ter estudado tábuas de logaritmos. Gauss conjecturou que a quantidade de todos os números primos desde 2 até a um número grande x corresponde aproximadamente à área entre o eixo t e a função ${\displaystyle t\mapsto {\tfrac {1}{\log(t)}}}$ no intervalo de 2 a ${\displaystyle x}$. Aqui, ${\displaystyle \log(t)}$ é o logaritmo natural. Aplica-se assim a aproximação por integral^[13]

Quantidade de números primos até ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \approx \int _{2}^{x}{\frac {1}{\log(t)}}\mathrm {d} t}$

e mais genericamente para ${\displaystyle y>x\geq 2}$:

Quantidade de números primos entre ${\displaystyle x}$ e ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \approx \int _{x}^{y}{\frac {1}{\log(t)}}\mathrm {d} t.}$

Por exemplo, tem-se

${\displaystyle \int _{50}^{150}{\frac {1}{\log(t)}}\mathrm {d} t=22{,}033\ldots ,}$

pelo que a fórmula, face ao valor exato de 20 números primos entre 50 e 150 (ver acima em negrito), equivoca-se em aproximadamente um valor de 2. A integral de ${\displaystyle {\tfrac {1}{\log(t)}}}$ não pode ser calculada de forma elementar fechada, visto que o logaritmo inverso não possui uma primitiva elementar. Define assim uma função "autônoma", também conhecida como Logaritmo integral ${\displaystyle \operatorname {Li} }$:

${\displaystyle \operatorname {Li} (x):=\int _{2}^{x}{\frac {1}{\log(t)}}\mathrm {d} t.}$

Se ${\displaystyle \pi (x)}$ denotar a função de contagem dos números primos, a qual está definida para quaisquer números reais como a quantidade de números primos que não são maiores que ${\displaystyle x}$, a afirmação anterior ${\displaystyle \pi (x)\approx \operatorname {Li} (x)}$ é precisada da seguinte forma:

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {\pi (x)}{\operatorname {Li} (x)}}=1.}$

Para valores crescentes de ${\displaystyle x}$, o quociente acima tenderá cada vez mais para 1, ou seja, o erro relativo da estimativa ${\displaystyle \pi (x)\approx \operatorname {Li} (x)}$ tende para 0. Por conseguinte, também na "estatística dos números primos" vigora o princípio de que volumes maiores de dados permitem percentualmente um prognóstico mais fidedigno. Gauss não apresentou qualquer demonstração matemática para essa conjetura sobre a distribuição dos números primos, e demoraria ainda mais de 100 anos até que uma tal fosse elaborada — de forma independente por Jacques Hadamard e Charles-Jean de La Vallée Poussin — no ano de 1896.^[14] Neste contexto, demonstração não significa que se testaram todos os valores concebíveis, o que é impossível face a uma infinidade de números, mas sim que um argumento lógico baseado nos axiomas matemáticos atesta o fato em toda a sua generalidade. O teorema assim provado é designado por Teorema do Número Primo.^[13]

Devido a ${\displaystyle \operatorname {Li} (x)\sim {\tfrac {x}{\log(x)}}\to \infty }$ (para ${\displaystyle x\to \infty }$), o teorema do número primo é consideravelmente mais forte que o teorema de Euclides, já que não apenas implica a infinidade do conjunto de todos os números primos, como também fornece uma ideia quantitativa para a sua distribuição. Em contraste com o teorema de Euclides, a sua demonstração é sensivelmente mais complexa. Classicamente, esta é conduzida com métodos da análise complexa, onde os teoremas tauberianos são uma ferramenta importante. Contudo, existem também demonstrações elementares, como as de Paul Erdős e Atle Selberg do ano de 1949,^[15][16] mas também modernas, como, por exemplo, a de Florian K. Richter do ano de 2021.^[17] A palavra "elementar" refere-se aqui primariamente à metodologia e não ao grau de dificuldade.^[18] A hipótese de Riemann é, por seu turno, um refinamento de amplo alcance do teorema do número primo.

A hipótese de Riemann implica um forte aprimoramento do teorema do número primo. Isso significa que ela postula, além da distribuição dos números primos derivada dos logaritmos, uma descrição quantitativa muito exata dos desvios da estimativa integral prevista no teorema do número primo. Ela enquadra o comportamento dos números primos no conceito de pseudoaleatoriedade. Existem algumas perspectivas diferentes e ainda assim equivalentes sobre o problema, que são listadas a seguir.

Como acima, ${\displaystyle \pi (x)}$ denota o número exato de números primos abaixo do limite ${\displaystyle x}$ e ${\displaystyle \operatorname {Li} (x)}$ o Logaritmo integral. O erro absoluto no teorema do número primo denota a diferença ${\displaystyle |\pi (x)-\operatorname {Li} (x)|}$. Nesse caso, o valor absoluto (ou módulo) garante que apenas grandezas positivas apareçam no resultado, uma vez que o interesse inicial é apenas no tamanho do erro e não no seu sinal. O erro absoluto, em contraste com o erro relativo

${\displaystyle \left|{\frac {\pi (x)-\operatorname {Li} (x)}{\pi (x)}}\right|}$

não precisa tender a 0 de forma alguma. O quociente de ${\displaystyle x^{2}}$ por ${\displaystyle x^{2}+x}$ tende a 1 com o crescimento de ${\displaystyle x}$, pois quadrados crescem mais rápido que termos lineares, mas a diferença (inclusive ilimitada) ${\displaystyle x^{2}+x-x^{2}=x}$ dos dois termos não tende. A hipótese de Riemann faz uma declaração detalhada sobre o erro absoluto no teorema do número primo.

Conjectura: O erro absoluto no teorema do número primo é "essencialmente" da ordem de uma Raiz quadrada.^[19] Mais precisamente, existe uma constante ${\displaystyle C>0}$, de modo que para todos os valores ${\displaystyle x\geq 2}$ a estimativa ${\displaystyle |\pi (x)-\operatorname {Li} (x)|<C{\sqrt {x}}\log(x)}$ é verdadeira, ou, de forma mais curta, ${\displaystyle |\pi (x)-\operatorname {Li} (x)|\ll x^{\frac {1}{2}}\log(x)}$ para ${\displaystyle x\to \infty }$.

Neste caso, ${\displaystyle \log(x)}$ denota o logaritmo natural de ${\displaystyle x}$. Esta afirmação pode ser ilustrada da seguinte forma: A raiz quadrada reduz aproximadamente à metade o número de dígitos de um número antes da vírgula (por causa do ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$ no expoente!). Por exemplo, 100.000.000 tem ao todo 9 dígitos antes da vírgula, mas sua raiz quadrada 10.000 tem apenas 5. Se a hipótese de Riemann for verdadeira, a estimativa integral do teorema do número primo deveria concordar, a longo prazo, em cerca da "metade superior" dos dígitos decimais antes da vírgula com o resultado real. Calculado exatamente, por exemplo, ${\displaystyle \pi (10^{24})=18\,435\,599\,767\,349\,200\,867\,866}$, existem, portanto, cerca de 18,4 sextilhões de números primos abaixo de um septilhão.^[20][21] Além disso, tem-se:^[19]

${\displaystyle {\begin{aligned}\pi (10^{24})&=18\,435\,599\,767\,3{\color {red}{\mathbf {49\,200\,867\,866} }}\\\operatorname {Li} (10^{24})&=18\,435\,599\,767\,3{\color {red}{\mathbf {66\,347\,775\,143} }}{,}\,\ldots \\\pi (10^{24})-\operatorname {Li} (10^{24})&={\color {white}{00\,000\,000\,0\,\,}}-\,17\,146\,907\,277{,}\,\ldots \end{aligned}}}$

Dos 23 dígitos totais antes da vírgula do valor exato ${\displaystyle \pi (10^{24})}$, há uma correspondência nos primeiros 12 dígitos com o logaritmo integral. A partir do primeiro desvio, os dígitos antes da vírgula estão em vermelho e negrito. E 12 é aproximadamente a metade de 23. Esse cálculo apoia, assim, a hipótese de Riemann. Os termos logarítmicos na estimativa, assim como em ${\displaystyle \operatorname {Li} (x)\approx {\tfrac {x}{\log(x)}}}$, são tão pequenos comparados à raiz quadrada que não alteram substancialmente essa divisão de cerca de metade.

O matemático Lowell Schoenfeld conseguiu calcular um valor adequado para a constante ${\displaystyle C>0}$, inicialmente indeterminada, na hipótese de Riemann para valores suficientemente grandes: Caso esta seja verdadeira, então vale^[22]

${\displaystyle |\pi (x)-\operatorname {Li} (x)|<{\frac {{\sqrt {x}}\log(x)}{8\pi }},\quad }$ se ${\displaystyle x\geq 2657.}$

Aqui ${\displaystyle \pi }$ denota a constante pi. Portanto, se a conjectura for verdadeira, pode-se usar essencialmente ${\displaystyle C={\tfrac {1}{8\pi }}=0{,}03978\ldots }$ na formulação acima.

Embora o termo ${\displaystyle {\sqrt {x}}\log(x)}$ aumente continuamente para valores crescentes de ${\displaystyle x}$, e com isso o erro absoluto também possa crescer arbitrariamente, a hipótese de Riemann afirma que este é, visto em termos relativos, muito pequeno, pois

${\displaystyle {\frac {{\sqrt {x}}\log(x)}{\pi (x)}}\sim {\frac {\log(x)^{2}}{\sqrt {x}}}}$

tende a 0 quase com a mesma velocidade que o inverso de uma raiz quadrada. Como observou Jürgen Neukirch, isso indica uma "suavidade" especial na representação gráfica da distribuição dos números primos quando se aumenta a escala.^[23]

• 
  Em pequena escala, a função de contagem de números primos é muito irregular, e veem-se saltos claros. Cada vez que um número primo é alcançado, a função em degraus dá um salto de 1 para cima.
• 
  Até x = 1000 também se podem ver saltos, embora menores.
• 
  Em uma escala muito grande, a curva da função de contagem parece cada vez mais suave. As flutuações em torno da curva absolutamente suave de Li(x) tornam-se, em termos relativos, menores, veja a imagem seguinte.
• 
  Em contraste com isso, as flutuações da diferença das funções = erro são fortemente pronunciadas e fáceis de ver. No entanto, o tamanho na faixa ao redor de 50 é completamente insignificante, de forma que a escala da imagem anterior não as capta mais.

Uma função em degraus ${\displaystyle \psi (x)}$ relacionada a ${\displaystyle \pi (x)}$ e mais natural na teoria da hipótese de Riemann é construída da seguinte forma. Começa-se no zero e, a cada vez que se atinge uma potência de número primo, a função em degraus dá um salto para cima igual ao logaritmo natural do número primo em questão. Por exemplo, tem-se

${\displaystyle \psi (6)=\log(2)+\log(3)+\log(2)+\log(5)}$ e ${\displaystyle \psi (8)=\log(2)+\log(3)+\log(2)+\log(5)+\log(7)+\log(2)}$.

Geralmente vale a definição

${\displaystyle \psi (x):=\sum _{n\leq x}\Lambda (n)}$

com a função de Mangoldt ${\displaystyle \Lambda }$. A hipótese de Riemann pode então ser formulada também da seguinte maneira.

Conjectura: O desvio da função ${\displaystyle \psi (x)}$ em relação a ${\displaystyle x}$, onde este último graficamente corresponde à bissetriz do 1º quadrante, é "essencialmente" da ordem de uma raiz quadrada. Existe uma constante ${\displaystyle C>0}$, de tal forma que ${\displaystyle |\psi (x)-x|<C{\sqrt {x}}\log(x)^{2}}$ para todo ${\displaystyle x\geq 2}$, ou de forma mais curta ${\displaystyle |\psi (x)-x|\ll x^{\frac {1}{2}}\log(x)^{2}}$ para ${\displaystyle x\to \infty }$.^[24]

Embora a definição da função ${\displaystyle \psi (x)}$ seja inicialmente mais complicada, o seu estudo é matematicamente mais natural. Um dos motivos para isso é a relação relativamente simples entre a função de Mangoldt e a chamada função zeta de Riemann, que, também por razões de simplicidade e clareza, é um objeto essencial no âmbito da hipótese de Riemann (veja abaixo).^[25]

• 
  Gráfico da função ${\displaystyle \psi (x)}$ no intervalo ${\displaystyle 0\leq x\leq 20}$. Para cada potência de número primo, como 2, 8 ou 9, há um salto. Os saltos têm diferentes alturas ${\displaystyle \log(p)}$ dependendo da potência do primo ${\displaystyle p^{k}}$.
• 
  Gráfico da função ${\displaystyle \psi (x)}$ no intervalo ${\displaystyle 0\leq x\leq 100}$ junto com a reta passando pela origem com inclinação 1 (bissetriz).
• 
  Em uma escala maior, como em ${\displaystyle 0\leq x\leq 1000}$, a semelhança com a bissetriz torna-se cada vez mais evidente.

A hipótese de Riemann pode ser interpretada de forma probabilística. Isso remonta ao matemático Arnaud Denjoy.^[26]

Para entender a relação entre os números primos, por um lado, e a teoria das probabilidades, por outro, é necessário o teorema central do limite. A comparação mais simples de ambos os conceitos surge da observação de um lançamento justo de moeda. Uma moeda justa com os possíveis resultados "cara" e "coroa" é lançada várias vezes seguidas. Na situação ideal, o resultado de cada lançamento em si é absolutamente aleatório e, além disso, os resultados dos lançamentos não dependem uns dos outros. Ou seja, se saiu "cara" inicialmente, isso deve ser irrelevante para a probabilidade de sair novamente "cara" ou "coroa" em seguida. A suposição errônea, nesta situação, de que após uma longa sequência de lançamentos de "cara", lançamentos de "coroa" se tornariam mais prováveis, é conhecida como a Falácia do apostador ("o acaso não tem memória").

Sob a premissa de acaso absoluto com probabilidades iguais e, além disso, independência de cada lançamento, é possível observar um determinado padrão ao se repetir várias vezes o lançamento de uma moeda. A melhor maneira de ilustrar isso é quando os eventos "cara" e "coroa" são substituídos pelos números ${\displaystyle +1}$ e ${\displaystyle -1}$, respectivamente, e, após cada série de lançamentos, for calculada a soma de todos os resultados. Isso corresponde, então, ao saldo em um jogo de azar, no qual se ganha 1 euro ao sair cara e se perde 1 euro ao sair coroa. Se a sequência for "cara" – "cara" – "coroa" – "coroa" – "cara", o ganho ficará em 1 euro, pois

${\displaystyle 1+1-1-1+1=3-2=1.}$

Ao mesmo tempo, isso corresponde à diferença entre as "caras" e as "coroas" lançadas. Com um número muito grande de lançamentos, por exemplo, 40.000, a suposição óbvia é de que "cara" e "coroa" sairão cerca de 20.000 vezes cada, visto que ambos os resultados têm a mesma probabilidade exata. Isso teria como possível consequência que o saldo de ganhos se "nivelasse" em torno do zero, uma vez que se assumiu que o valor ${\displaystyle +1}$ foi somado mais ou menos a mesma quantidade de vezes que ${\displaystyle -1}$. Por outro lado, já nessas ordens de grandeza é extremamente improvável que um resultado como exatamente 20.000 vezes cara e exatamente 20.000 vezes coroa ocorra, o que equivaleria a um saldo de ganhos de exatamente 0. É muito mais provável esperar que o acaso cause um certo "desvio" a favor de "cara" ou "coroa". Isso significa que após a série de lançamentos, é muito provável que uma determinada face tenha caído com mais frequência que a outra, embora as probabilidades iniciais fossem as mesmas. O tamanho desse "desvio" é o tema do teorema central do limite: Se ${\displaystyle X_{n}}$ denota a variável aleatória com o valor ${\displaystyle \pm 1}$ do ${\displaystyle n}$-ésimo lançamento, o ganho ${\displaystyle Z(N)}$ no jogo acima com ${\displaystyle N}$ lançamentos de moeda é calculado por

${\displaystyle Z(N)=\sum _{n=1}^{N}X_{n}=X_{1}+X_{2}+X_{3}+\cdots +X_{N-1}+X_{N}.}$

Se o jogador iniciar com 0 euros na conta, ${\displaystyle Z(N)}$ também pode ser interpretado como o saldo da conta após ${\displaystyle N}$ lançamentos (sendo que os números negativos são entendidos como dívidas). O teorema central do limite faz uma afirmação sobre o comportamento esperado do ganho ${\displaystyle Z(N)}$ quando ${\displaystyle N}$ se torna arbitrariamente grande. De acordo com o teorema, a ordem de grandeza de ${\displaystyle Z(N)}$ está sempre nos arredores da raiz quadrada do número de lançamentos ${\displaystyle N}$; de forma mais precisa, para a probabilidade de que ${\displaystyle a{\sqrt {N}}\leq Z(N)\leq b{\sqrt {N}}}$, é válida a aproximação^{[27][Anm. 2]}

${\displaystyle P(a{\sqrt {N}}\leq Z(N)\leq b{\sqrt {N}})=P\left(a\leq {\frac {Z(N)}{\sqrt {N}}}\leq b\right)\approx {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{a}^{b}e^{-{\frac {1}{2}}t^{2}}\mathrm {d} t.}$

A base dessa integral é a função de distribuição da distribuição normal padrão. Por exemplo, se uma moeda for lançada sucessivamente 40.000 vezes, a probabilidade de que o saldo da conta termine na faixa ${\displaystyle -200\leq Z(40\,000)\leq 200}$ é de aproximadamente 68,2% devido a ${\displaystyle 200={\sqrt {40\ 000}}}$ (veja a imagem à direita; o desvio padrão aqui é ${\displaystyle \sigma =1}$).

• 
  Uma possível evolução do saldo da conta ${\displaystyle Z(x)=\sum _{1\leq n\leq x}X_{n}}$ ao longo de um jogo com 40.000 lançamentos de moeda corresponde matematicamente a um passeio aleatório. Para uma noção de escala, as funções ${\displaystyle x\mapsto \pm {\sqrt {x}}}$ estão marcadas em verde e laranja. Pouco antes do final do jogo observa-se uma "maré de azar". Eventos extremos, como uma subida acentuada até 40.000 (apenas "cara"), não são impossíveis, mas são muito improváveis e não correspondem a um "desenrolar típico" deste jogo.

O teorema central do limite ilustra de modo intuitivo o "meio-termo" ${\displaystyle 1\ll {\sqrt {N}}\ll N}$ entre dois eventos extremos e bastante improváveis: de que (quase) tantas vezes irá sair "cara" quanto "coroa" ou, alternativamente, de que vai cair "muito mais" vezes "cara" do que "coroa" ou vice-versa. Um padrão de distribuição por demais regular iria entrar em conflito com a exigida independência dos lançamentos, enquanto um desvio forte em relação ao valor médio de 0 conflitaria com a mesma probabilidade. Determinar a ordem de grandeza exata ${\displaystyle N^{\frac {1}{2}}}$ não é uma tarefa fácil, sendo objeto de prova no próprio teorema central do limite, a qual se realiza por meio da análise de nível superior.^[28]

Pelas probabilidades dadas com a distribuição normal, especificamente para cada número ${\displaystyle \varepsilon >0}$, temos:

${\displaystyle \lim _{N\to \infty }{\frac {Z(N)}{N^{{\frac {1}{2}}+\varepsilon }}}=0}$ com probabilidade de 100 % (em um sentido assintótico).

Dito isto, observe a notação de potência ${\displaystyle N^{\frac {1}{2}}={\sqrt {N}}}$.

Uma "ligação" entre os números primos e os múltiplos lançamentos de moeda, nos moldes do teorema central do limite, pode ser estabelecida da seguinte maneira:^[29] consideram-se os números naturais um a um, e em sua decomposição em fatores primos única. A cada vez que o número de fatores for par, atribui-se o valor ${\displaystyle +1}$, e caso seja ímpar, conta-se ${\displaystyle -1}$. Mediante este procedimento, é possível definir uma função ${\displaystyle \lambda }$ nos números naturais:

${\displaystyle \lambda (n)=(-1)^{\Omega (n)}}$, onde ${\displaystyle \Omega (n)=}$ número de fatores primos de ${\displaystyle n}$.

Esta também é conhecida como Função de Liouville, nomeada em homenagem a Joseph Liouville.^[30] É importante observar que um produto com uma quantidade ímpar de fatores −1 resulta novamente em −1, e com uma quantidade par de fatores −1 resulta exatamente em +1, uma vez que multiplicar negativo com negativo é positivo. Por exemplo, o número ${\displaystyle 62678}$ é formado no total por cinco fatores primos, por conta de

${\displaystyle 62678=2\cdot 7\cdot 11\cdot 11\cdot 37=2\cdot 7\cdot 11^{2}\cdot 37,}$

e, deste modo, ${\displaystyle \lambda (62678)=(-1)^{5}=-1}$. A tabela abaixo exibe as respectivas análises em relação a alguns valores adicionais de ${\displaystyle n}$.

O comportamento exato das decomposições em fatores primos é, para números crescentes, imprevisível sem um cálculo complexo e sujeito a fortes flutuações. A hipótese de Riemann afirma que a sequência definida pela função de Liouville é pseudoaleatória.^[30] Apesar de ser determinística, podendo ser teoricamente calculada e com todos os valores "já definidos", as suas propriedades assemelham-se a um passeio aleatório de natureza estocástica.^[31] Dessa forma, segundo consta a conjectura, o resultado da adição da função de Liouville tende a ter, num horizonte distante, o comportamento igual ao do "perfil típico" do jogo de azar do lançamento justo de uma moeda anteriormente citado.^[30] A partir disso, para

${\displaystyle L(N):=\lambda (1)+\lambda (2)+\lambda (3)+\cdots +\lambda (N)}$

pode-se constatar:

Conjectura: No sentido do teorema central do limite, tem-se ${\displaystyle \lim _{N\to \infty }{\tfrac {L(N)}{N^{{\frac {1}{2}}+\varepsilon }}}=0}$ para qualquer ${\displaystyle \varepsilon >0}$. Uma afirmação equivalente é de que existe para todo ${\displaystyle \varepsilon >0}$ uma constante ${\displaystyle C_{\varepsilon }>0}$, de tal modo que a desigualdade ${\displaystyle |L(N)|\leq C_{\varepsilon }N^{{\frac {1}{2}}+\varepsilon }}$ é válida para todos os ${\displaystyle N\in \mathbb {N} }$, ou seja, ${\displaystyle |L(N)|\ll _{\varepsilon }N^{{\frac {1}{2}}+\varepsilon }}$.^[32]

Essa forma de pseudoaleatoriedade ilustra de maneira intuitiva que os números primos se comportam "o mais aleatoriamente possível" e "o mais independentemente possível" em suas propriedades, como distribuição e fatoração. Por exemplo, a resposta para a pergunta se um número ${\displaystyle m}$ escolhido aleatoriamente tem uma quantidade par ou ímpar de fatores primos deve, à medida que ${\displaystyle m}$ cresce, poder ser respondida com "probabilidade igual".^[30] Ao mesmo tempo, os valores ${\displaystyle \lambda (n)}$ e ${\displaystyle \lambda (m)}$ devem ser "independentes" para valores crescentes de ${\displaystyle n\not =m}$. Assim, não deveria existir nenhuma forma simples de determinar o comportamento de um valor a partir do comportamento do outro. Por exemplo, se considerarmos

${\displaystyle 123\ 456\ 788=2^{2}\cdot 7\cdot 13\cdot 17\cdot 71\cdot 281}$

e o seu sucessor

${\displaystyle 123\ 456\ 789=3^{2}\cdot 3607\cdot 3803}$,

não é imediatamente evidente como as quantidades de fatores primos se relacionam causalmente.

• 
  A função ${\displaystyle L(x)=\sum _{1\leq n\leq x}\lambda (n)}$ até x = 40.000 juntamente com ${\displaystyle x\mapsto -{\sqrt {x}}}$ (laranja). Aproximadamente entre 18.000 e 20.000, há uma incidência frequente de números com uma quantidade par de fatores primos, mas isso pode ser justificado pelas flutuações usuais de um processo aleatório.

Se a hipótese de Riemann fosse falsa, haveria um desequilíbrio na distribuição dos números primos, no sentido de que, por exemplo, haveria trechos com uma quantidade anormalmente maior de números com um número par de fatores primos, como 10, 14, 25, 132, do que de números com uma quantidade ímpar de fatores primos, como 7, 8, 12, 18 e 125. O fracasso da hipótese de Riemann iria desordenar a distribuição dos números primos.^[33]

De forma análoga, a hipótese de Riemann também pode ser formulada para a Função de Möbius ${\displaystyle \mu (n)}$. Ela assume o valor ${\displaystyle -1}$ ou ${\displaystyle +1}$ para números compostos por uma quantidade ímpar ou par de fatores primos distintos, respectivamente, e é ${\displaystyle 0}$ para números divisíveis mais de uma vez pelo mesmo número primo. Assim, tem-se por exemplo ${\displaystyle \mu (6)=\mu (2\cdot 3)=1}$, ${\displaystyle \mu (110)=\mu (2\cdot 5\cdot 11)=-1}$ e ${\displaystyle \mu (54)=\mu (2\cdot 3\cdot 3\cdot 3)=0}$, já que no último caso o 3 apareceu mais de uma vez.

A hipótese de Riemann é verdadeira se, e somente se, para todo ${\displaystyle \varepsilon >0}$ a restrição ${\displaystyle |M(N)|=|\mu (1)+\mu (2)+\cdots +\mu (N)|\ll _{\varepsilon }N^{{\frac {1}{2}}+\varepsilon }}$ for satisfeita para ${\displaystyle N\to \infty }$.

Portanto, aqui também se conjectura uma forma de pseudoaleatoriedade.

• 
  Gráfico da Função de Mertens (Mertens-Funktion) ${\displaystyle M(x):=\sum _{1\leq n\leq x}\mu (n)}$ até x = 40.000 juntamente com ${\displaystyle x\mapsto \pm {\sqrt {x}}}$ (em verde e laranja).

O conceito de "aleatoriedade" entre os números primos ainda é hoje, primariamente, uma intuição mesmo nos círculos especializados, e até agora não foi nem completamente compreendido nem rigorosamente descrito. Heuristicamente, certos problemas importantes, como a confirmação da conjectura de Goldbach, podem ser deduzidos a partir dessa propriedade, mas a mesma heurística leva a contradições em outros casos.^[34][35]

Para conseguir atacar as questões relativas aos números primos com os métodos da análise, as séries infinitas são uma primeira ferramenta.

Por série, entende-se visualmente uma soma de números que nunca termina. Estes podem ser números reais ou mesmo complexos. A representação decimal de um número real pode ser entendida como uma série, por exemplo

${\displaystyle {\frac {1}{3}}=0{,}333333\ldots =0{,}3+0{,}03+0{,}003+0{,}0003+0{,}00003+0{,}000003+\cdots }$

ou também

${\displaystyle \pi =3{,}14159\ldots =3+0{,}1+0{,}04+0{,}001+0{,}0005+0{,}00009+\cdots }$

com a constante pi ${\displaystyle \pi }$. As somas indicadas pelos pontos nunca terminam, pois a representação decimal de ${\displaystyle {\tfrac {1}{3}}}$ é uma dízima periódica e o número pi é irracional. Existem séries que não podem ser representadas de forma fechada como um número, por exemplo

${\displaystyle 1+2+3+4+\cdots ,}$

mas também há aquelas que convergem para um limite (como os exemplos acima com limites ${\displaystyle {\tfrac {1}{3}}}$ e ${\displaystyle \pi }$). Séries como ${\displaystyle 1+2+3+\cdots }$, que não convergem, são chamadas de divergentes. De forma ilustrativa, uma série ${\displaystyle \textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}:=a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots }$ só pode convergir se os termos ${\displaystyle a_{n}}$ "tenderem a 0 suficientemente rápido". Contudo, não é toda série cujos termos tendem a 0 que converge, como se observa na série harmônica

${\displaystyle 1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}+\cdots =\infty }$

Algumas séries desempenham um papel muito especial na matemática, por exemplo, a série geométrica, que, devido aos produtos de Euler, também é importante no contexto da hipótese de Riemann: O princípio é somar todas as potências naturais de um número ${\displaystyle |x|<1}$. Assim obtém-se

${\displaystyle 1+x+x^{2}+x^{3}+x^{4}+x^{5}+x^{6}+\cdots ={\frac {1}{1-x}}.}$

Dessa forma, para cada ${\displaystyle x}$ com ${\displaystyle |x|<1}$, é possível indicar o limite da série geométrica de forma fechada. Esse também é um primeiro exemplo de que uma função ${\displaystyle f}$ pode ser definida por uma série: tem-se

${\displaystyle f(x)=\sum _{n=1}^{\infty }f_{n}(x)=f_{1}(x)+f_{2}(x)+f_{3}(x)+\cdots }$

e os termos da série dependem todos de ${\displaystyle x}$. A série geométrica é assim o exemplo de ${\displaystyle f(x)={\tfrac {1}{1-x}}}$ e ${\displaystyle f_{n}(x)=x^{n-1}}$, onde para o primeiro somando a regra ${\displaystyle x^{0}=1}$ (e formalmente ${\displaystyle 0^{0}:=1}$) deve ser observada.

A determinação do limite de uma série, em geral, não é simples, mas em alguns casos, até mesmo a questão da convergência é difícil de responder. Na história da matemática, foram desenvolvidos critérios para decidir se certas séries convergem ou não. Um deles é o teste da majorante: este baseia-se na constatação simples de que uma soma infinita de números não negativos, que é limitada superiormente, tem de convergir. Portanto, se ${\displaystyle x_{n}}$ é uma sequência numérica e ${\displaystyle |x_{n}|\leq y_{n}}$ para todo ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$, então:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }y_{n}}$ converge ${\displaystyle \implies }$ ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }x_{n}}$ converge.

Intuitivamente, os valores de ${\displaystyle y_{n}}$ tendem a 0 rápido o suficiente para a convergência, motivo pelo qual, devido a ${\displaystyle |x_{n}|\leq y_{n}}$, os valores de ${\displaystyle x_{n}}$ também devem fazê-lo. Uma consequência importante desse princípio é que da convergência da série sobre os valores absolutos ${\displaystyle |x_{1}|+|x_{2}|+|x_{3}|+\cdots }$ segue necessariamente a convergência da série ${\displaystyle x_{1}+x_{2}+x_{3}+\cdots }$. Uma majorante particularmente importante é a série

${\displaystyle 1+{\frac {1}{2^{\sigma }}}+{\frac {1}{3^{\sigma }}}+{\frac {1}{4^{\sigma }}}+\cdots ,}$

que converge para números reais ${\displaystyle \sigma >1}$, o que pode ser visto com o Critério da integral. Ela pode servir para comprovar a convergência das chamadas séries de Dirichlet.

Outra técnica diz respeito ao manuseio de séries da forma

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}b_{n}=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}+a_{4}b_{4}+\cdots .}$

Nela, as sequências ${\displaystyle a_{n}}$ e ${\displaystyle b_{n}}$ são "separadas":

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}b_{n}=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}+a_{4}b_{4}+\cdots =a_{1}(b_{1}-b_{2})+(a_{1}+a_{2})(b_{2}-b_{3})+(a_{1}+a_{2}+a_{3})(b_{3}-b_{4})+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }A_{n}(b_{n}-b_{n+1}),\qquad }$ onde ${\displaystyle A_{n}:=a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}}$, contanto que ${\displaystyle \lim _{N\to \infty }A_{N}b_{N}=0}$.

Esse truque de rearranjo remonta ao matemático Niels Henrik Abel e é conhecido como somação por partes. Retrospectivamente, isso pode ser confirmado multiplicando-se sucessivamente os termos (expandindo-os) e combinando-os. Esse truque é usado principalmente quando os números ${\displaystyle a_{n}}$ "oscilam" (por exemplo, mudanças constantes de sinal), com o que suas somas ${\displaystyle A_{n}}$ são relativamente pequenas, enquanto os números ${\displaystyle b_{n}}$ tornam-se sucessivamente menores, uma vez que as diferenças ${\displaystyle b_{n}-b_{n+1}}$ possivelmente tendem a zero muito mais rápido do que os próprios ${\displaystyle b_{n}}$. A condição necessária ${\displaystyle \lim _{N\to \infty }A_{N}b_{N}=0}$, por sua vez, significa que o decaimento dos ${\displaystyle b_{n}}$ para zero domina o crescimento do termo ${\displaystyle A_{n}=a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots +a_{n}}$.

Em resumo, desde que a condição adicional ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }A_{n}b_{n}=0}$ seja satisfeita, com ${\displaystyle x_{n}=A_{n}(b_{n}-b_{n+1})}$ e ${\displaystyle y_{n}=|x_{n}|}$, pode-se citar a seguinte variante do teste da majorante:^[36]

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }|A_{n}(b_{n}-b_{n+1})|\,\,}$ converge ${\displaystyle \,\,{\overset {\text{Teste da majorante}}{\implies }}\,\,\sum _{n=1}^{\infty }A_{n}(b_{n}-b_{n+1})\,\,}$ converge ${\displaystyle \,\,{\overset {\text{Som. por partes}}{\implies }}\,\,\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}b_{n}\,\,}$ converge.

No âmbito da hipótese de Riemann, a série

${\displaystyle \lambda (1)+\lambda (2)+\lambda (3)+\lambda (4)+\lambda (5)+\lambda (6)+\lambda (7)+\cdots =1-1-1+1-1+1-1-\cdots }$

é de interesse, onde ${\displaystyle \lambda (n)}$ denota a Função de Liouville. No entanto, esta não é convergente, pois os ${\displaystyle \lambda (n)\in \{\pm 1\}}$ não tendem a zero. Contudo, é possível adicionar outros termos aos somandos ${\displaystyle \lambda (n)}$ que forcem a convergência. Se os termos adicionados dependerem de uma variável, uma função pode ser gerada a partir da sequência investigada. Por exemplo,

${\displaystyle 1+1+1+1+\cdots }$

também não é convergente, mas se observarmos a série de potências associada, obtém-se para ${\displaystyle |x|<1}$ a função

${\displaystyle 1+x+x^{2}+x^{3}+\cdots ={\frac {1}{1-x}}}$.

Assim como os próprios números primos, a função de Liouville extrai estrutura de leis de natureza multiplicativa. Aplica-se a lei ${\displaystyle \lambda (mn)=\lambda (m)\lambda (n)}$, logo, ela é uma função estritamente multiplicativa. Essa propriedade oferece muitas vantagens matemáticas e, portanto, deve ser preservada para a análise posterior. Em vez de adicionar termos ${\displaystyle x^{n}}$ com base constante e expoente variável, são consideradas expressões ${\displaystyle n^{x}}$ com base variável e expoente constante. Com as propriedades das potências, segue-se que

${\displaystyle \lambda (mn)(mn)^{x}=\lambda (m)m^{x}\cdot \lambda (n)n^{x}}$

e a multiplicatividade é mantida na transição ${\displaystyle \lambda (n)\mapsto \lambda (n)n^{x}}$. Por razões históricas, os expoentes são denotados por ${\displaystyle -s}$ em vez de ${\displaystyle x}$ e o tipo de série resultante é chamado de Série de Dirichlet. As séries de Dirichlet ${\displaystyle \textstyle \sum _{n\geq 1}a_{n}n^{-s}}$ podem ser bem analisadas com a somação por partes: os ${\displaystyle b_{n}=n^{-s}}$ são funções de potência em ${\displaystyle n}$, e ao calcular as diferenças, eles se tornam menores pelo fator ${\displaystyle {\tfrac {1}{n}}}$:

${\displaystyle (\mathrm {D} )\quad |b_{n}-b_{n+1}|=\left|{\frac {1}{n^{s}}}-{\frac {1}{(n+1)^{s}}}\right|\ll _{s}\left|{\frac {1}{n^{s+1}}}\right|={\frac {|b_{n}|}{n}},\quad }$ (por exemplo, de ${\displaystyle n^{2}-(n+1)^{2}=-2n-1}$ surge uma função linear, e esse princípio é transferido de ${\displaystyle s=-2}$ para expoentes arbitrários).

Aqui, o símbolo ${\displaystyle \ll _{s}}$ significa que o lado esquerdo é sempre menor que o lado direito, a menos de um fator dependente de ${\displaystyle s}$, mas independente de ${\displaystyle n}$. O fator adicional ${\displaystyle {\tfrac {1}{n}}}$ faz com que o termo ${\displaystyle |b_{n}-b_{n+1}|}$ seja de uma ordem de grandeza de potência menor que ${\displaystyle |b_{n}|}$. Se prosseguirmos e definirmos ${\displaystyle a_{n}=\lambda (n)}$ com a função de Liouville, estes apresentam alternância de sinais. A frequência com que os termos se anulam dentro de ${\displaystyle L(n):=\lambda (1)+\lambda (2)+\cdots +\lambda (n)}$ está em conexão direta com o número de fatores com quantidade par ou ímpar de fatores primos abaixo de ${\displaystyle n}$, e a hipótese de Riemann (HR) afirma que ${\displaystyle |L(n)|\ll _{\varepsilon }n^{{\frac {1}{2}}+\varepsilon }}$ para todo ${\displaystyle \varepsilon >0}$ (veja acima). Assumindo isto, a condição adicional ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\tfrac {L(n)}{n^{\sigma }}}=0}$ é válida para todo ${\displaystyle \sigma >{\tfrac {1}{2}}}$, e segue-se para esses mesmos ${\displaystyle \sigma }$, com o teste da majorante e a somação por partes:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\left|L(n)\right|\left|{\frac {1}{n^{\sigma }}}-{\frac {1}{(n+1)^{\sigma }}}\right|\,\,\,\,{\overset {(\mathrm {D} )}{\ll _{\sigma }}}\,\,\,\,\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {|L(n)|}{n^{\sigma +1}}}\,\,\,\,{\overset {(\mathrm {HR} )}{\ll _{\varepsilon }}}\,\,\,\,\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n^{{\frac {1}{2}}+\varepsilon }}{n^{\sigma +1}}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{\sigma +{\frac {1}{2}}-\varepsilon }}}\,\,\,\,{\overset {\varepsilon \,\,{\text{suficientemente pequeno}}}{<}}\,\,\,\,\infty \,\,\,\,\implies \,\,\,\,\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\lambda (n)}{n^{\sigma }}}\,\,}$ converge.

No último passo, ${\displaystyle \varepsilon >0}$ pode ser escolhido de forma tão pequena que ${\displaystyle \sigma +{\tfrac {1}{2}}-\varepsilon >1}$, por exemplo através de ${\displaystyle \varepsilon ={\tfrac {\sigma -{\tfrac {1}{2}}}{2}}>0}$. As mesmas considerações aplicam-se à função de Möbius. A partir disso, motiva-se:

Conjectura: As séries ${\displaystyle \textstyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\lambda (n)}{n^{\sigma }}}}$ e ${\displaystyle \textstyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n^{\sigma }}}}$ convergem para todos os ${\displaystyle \sigma >{\tfrac {1}{2}}}$.

Com ${\displaystyle |\lambda (n)|\leq 1}$, conclui-se para ${\displaystyle \sigma >1}$ usando o teste da majorante

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\left|{\frac {\lambda (n)}{n^{\sigma }}}\right|\leq \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{\sigma }}}<\infty ,}$

motivo pelo qual a série afetada aqui converge "trivialmente". O mesmo se aplica à função de Möbius. Esse método simples não é mais possível para ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}<\sigma \leq 1}$. O caso ${\displaystyle \sigma =1}$ por si só já é difícil e frutifica através de uma consequência na teoria dos números: Da convergência da série

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\lambda (n)}{n}}=1-{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}-{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{6}}-{\frac {1}{7}}-{\frac {1}{8}}+\cdots =0}$

para o limite 0, o Teorema do número primo pode ser deduzido. O fato de o limite ser de fato 0 surge como um "bônus" durante a demonstração da convergência.^[37] Sobre os casos ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}<\sigma <1}$, nada é sabido até hoje. Neste sentido, a hipótese de Riemann é também, sob este aspecto, um aprimoramento significativo do teorema do número primo.

Em sua versão original, a hipótese de Riemann não é inicialmente um problema da teoria dos números, mas sim um problema da análise complexa. A análise complexa lida com as propriedades de funções holomorfas, da mesma forma que a análise (real) clássica lida com as propriedades das funções diferenciáveis.

A hipótese de Riemann afirma, entre outras coisas, que a série de Dirichlet da função de Liouville

${\displaystyle s\mapsto 1+{\frac {\lambda (2)}{2^{s}}}+{\frac {\lambda (3)}{3^{s}}}+{\frac {\lambda (4)}{4^{s}}}+\cdots }$

representa uma função holomorfa em uma "região tão ampla quanto possível". Neste caso, "região ampla" deve ser especificada de maneira mais precisa. De forma semelhante à questão da convergência nos números reais, a holomorfia mede o comportamento da série ${\displaystyle \lambda (1)+\lambda (2)+\lambda (3)+\cdots }$, e um grande domínio de holomorfia implica um "forte" cancelamento mútuo dos termos ${\displaystyle \lambda (n)}$ nessa série.

Para visualizar as séries de Dirichlet como funções holomorfas, elas devem também ser avaliadas em números complexos. Utilizando a Fórmula de Euler, que interpreta números imaginários de forma lógica no expoente, isso se torna possível para ${\displaystyle s=\sigma +it}$ da seguinte maneira:

${\displaystyle {\frac {1}{n^{s}}}=n^{-s}=e^{-\log(n)s}=e^{-\log(n)(\sigma +it)}=e^{-\log(n)\sigma }\cdot e^{-\log(n)it}=n^{-\sigma }(\cos(\log(n)t)-i\sin(\log(n)t)).}$