Courbe du blanc-manger 📖 Wikipedia

La fonction blanc-manger est définie sur ℝ par : ${\displaystyle {\rm {blanc}}(x)=\sum _{n=0}^{+\infty }{s(2^{n}x) \over 2^{n}}}$ , où s est définie par ${\displaystyle s(y)=\min _{n\in {\mathbb {Z} }}|y-n|}$ , c'est-à-dire que s(y) est la distance entre y et l'entier relatif le plus proche^[3].

La série de fonctions définissant blanc(x) pour tout nombre x est normalement convergente donc la fonction blanc-manger est continue (et 1-périodique, donc uniformément continue), mais elle n'est dérivable en aucun point^[4],[3]. Sa courbe représentative est une fractale (c'est l'attracteur d'un système de fonctions itérées)^[5].

La courbe de Takagi-Landsberg en est une généralisation donnée par la relation

${\displaystyle T_{w}(x)=\sum _{n=0}^{+\infty }w^{n}s(2^{n}x)}$ 

pour un paramètre w. La valeur H = –log₂(w), où log₂ désigne le logarithme binaire, est appelée le « paramètre de Hurst ».

La courbe du blanc-manger est donc le cas w = 1/2, c'est-à-dire H = 1.

La courbe du blanc-manger peut être construite à partir des fonctions en triangle. Sur les illustrations ci-dessous, les fonctions triangles (en rouge) sont progressivement ajoutées à la courbe à chaque étape.

•  
  n = 0
•  
  n ≤ 1
•  
  n ≤ 2
•  
  n ≤ 3

Étant donné que l'intégrale de 0 à 1 de la fonction blanc vaut 1/2, la relation ${\displaystyle {\rm {blanc}}(x)={\rm {blanc}}(2x)/2+s(x)}$  permet de calculer la primitive I s'annulant en 0 : ${\displaystyle I(x)=\int _{0}^{x}{\rm {blanc}}(t)\,{\rm {d}}t.}$ 

Le calcul est récursif et son temps de calcul est de l'ordre du logarithme de la précision requise. ${\displaystyle I(x)={\begin{cases}1/2+I(x-1)&{\text{si }}x\geq 1\\1/2-I(1-x)&{\text{si }}1/2<x<1\\I(2x)/4+x^{2}/2&{\text{si }}0\leq x\leq 1/2\\-I(-x)&{\text{si }}x<0.\end{cases}}}$ 

La courbe de Takagi-Landsberg de paramètre de Hurst H a pour dimension de Hausdorff^[6] 2 – H.

La dimension de Hausdorff de la courbe du blanc-manger, pour laquelle H = 1, vaut donc 1, malgré son aspect fractal.

• Fonction de Bolzano
• Fonction de Weierstrass
• Fonction continue nulle part dérivable

• Takagi Explorer
• Les courbes de Weierstrass et La courbe de Bolzano

• (en) Teiji Takagi, « A Simple Example of the Continuous Function without Derivative », Proc. Phys.-Math. Soc. Jpn., vol. 1,‎ 1901, p. 176–177 (DOI 10.11429/subutsuhokoku1901.1.F176)

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