Correção de erros quânticos 📖 Wikipedia

Correção de erros quânticos (QEC) compreende um conjunto de técnicas usadas em memória quântica e computação quântica para proteger informação quântica contra erros provenientes da decoerência e de outras fontes de ruído quântico. Esquemas de QEC que empregam palavras-código estabilizadas por um conjunto de operadores que comutam são conhecidos como códigos estabilizadores, e as palavras-código correspondentes são chamadas de códigos de correção de erros quânticos (QECCs).

Conceitualmente, para usar um código de correção de erros quânticos, pode-se anexar qubits ancilla aos qubits que precisam de proteção e aplicar um circuito unitário de codificação para rotacionar o estado global para um subespaço de um espaço de Hilbert maior. Esse estado altamente emaranhado codificado corrige erros locais ruidosos. Um código de correção de erros quânticos torna a computação quântica e a comunicação quântica práticas ao fornecer uma maneira para um emissor e um receptor simularem um canal de qubit sem ruído, dado um canal quântico ruidoso cujo ruído está de acordo com um modelo de erro específico.

Grande parte da terminologia em QEC é derivada de sua contraparte clássica, o código de correção de erros clássico. Na teoria da codificação clássica, um código é comumente denotado pela notação ${\displaystyle [n,k,d]}$, que representa a codificação de ${\displaystyle k}$ bits lógicos em ${\displaystyle n}$ bits físicos com distância de código ${\displaystyle d}$; isto é, qualquer operação lógica requer a inversão de pelo menos d bits. Analogamente, um código quântico que codifica k qubits lógicos em n qubits físicos com distância de código d é denotado por ${\displaystyle [[n,k,d]]}$. Embora essa codificação qubit-para-qubit seja a configuração mais comum, existem outras variantes — como codificações entre qubits e osciladores, ou entre próprios osciladores — já que implementações físicas de informação quântica podem envolver sistemas com mais de dois níveis de energia.

Com base nos parâmetros ${\displaystyle [[n,k,d]]}$, pode-se definir uma figura de mérito chave para QECCs — a taxa de código, dada pela razão ${\displaystyle {\tfrac {k}{n}}}$. A taxa de código mede a eficiência de um código: um valor mais alto corresponde a uma menor sobrecarga de recursos. Ela geralmente depende da distância d do código. Um QECC ideal alcança simultaneamente uma grande distância e uma alta taxa de código. Consequentemente, otimizar projetos de QECC para melhorar a taxa de código enquanto mantém distância suficiente é um objetivo central em QEC, tanto teórica quanto experimentalmente. Por outro lado, para casos onde ${\displaystyle k}$ e ${\displaystyle d}$ são fixos (geralmente pequenos), aumentar a taxa de código reduz os requisitos de recursos, tornando tais códigos particularmente adequados para implementações experimentais de pequena escala ou com recursos limitados.

Antes de considerar objetivos dependentes do cenário, um esquema de QEC consiste fundamentalmente em três estágios:

1. Codificação da informação lógica em portadores físicos,
2. Transmissão ou armazenamento da informação codificada através de um canal espacial ou temporal (correspondendo respectivamente a comunicação ou memória), e
3. Extração de síndrome e recuperação (decodificação) para identificar e corrigir erros.

Um QECC é construído sob suposições específicas sobre os tipos de erros que podem ocorrer e deve ser capaz de corrigi-los. Os estabilizadores a serem medidos são cuidadosamente escolhidos de modo a não revelar nenhuma informação lógica, mas apenas informação sobre os próprios erros — caso contrário, a medição destruiria qualquer sobreposição quântica deste qubit lógico com outros qubits no computador quântico, o que impediria seu uso para transmitir informação quântica. Na maioria dos QECCs, o tipo de erro é ou uma inversão de bit, ou uma inversão de fase, ou ambos (correspondendo às matrizes de Pauli ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle Y}$ e ${\displaystyle Z}$).

Existem várias estratégias para codificação e decodificação, incluindo algoritmos clássicos que mapeiam síndromes de erro medidas para suas operações de recuperação correspondentes. A sequência de portas quânticas aplicadas também pode ser otimizada, pois portas de múltiplos qubits são geralmente mais desafiadoras de implementar do que portas de um único qubit. Além disso, o número total de síndromes possíveis é ${\displaystyle 2^{n-k}}$, que pode ser proibitivamente grande para uma abordagem simples de tabela de consulta. Consequentemente, algoritmos clássicos de decodificação eficientes são geralmente necessários, exceto em casos onde a estrutura do código é suficientemente simples.^[1]

Em comparação com a memória quântica, onde os erros induzidos pelo canal são a principal preocupação, a aplicação frequente de portas quânticas na computação quântica exige um projeto tolerante a falhas. Para QECCs implementados em plataformas baseadas em qubits, a tolerância a falhas também leva em conta portas quânticas imperfeitas, preparação de estado defeituosa e erros de medição. Em contraste, para QECCs que codificam informação em osciladores, o termo tolerância a falhas às vezes é usado como sinônimo de correção de erros quântica comum e não carrega significado adicional.^[2]

Os tipos de erros que ocorrem em um sistema quântico dependem fortemente da plataforma física subjacente, em vez de suposições independentes do dispositivo. Por exemplo, mesmo quando um qubit está sob controle ativo, ele permanece acoplado ao seu ambiente através de coeficientes de Einstein não nulos. Quando o ambiente é resfriado ao seu estado de vácuo, esse acoplamento dá origem a erros de amortecimento de amplitude (ou perda de excitação), que refletem a tendência do sistema de relaxar em direção ao equilíbrio térmico e são caracterizados por um tempo de relaxação. Além disso, mesmo um qubit isolado possui um Hamiltoniano intrínseco correspondente à sua dinâmica interna, levando a erros coerentes. Juntos, o amortecimento de amplitude e a evolução coerente contribuem para o desfasamento, um dos processos de ruído dominantes na maioria das implementações de qubits.

Como observado anteriormente, a maioria dos QECCs assume que os erros dominantes são inversões de bit, inversões de fase ou combinações de ambos — correspondendo aos operadores de Pauli. Uma suposição implícita neste quadro é que erros físicos gerais podem ser aproximados como elementos do grupo de Pauli. Sob esse modelo, o erro de cada qubit pode ser representado por dois bits clássicos (00: sem erro, 01: ${\displaystyle Z}$, 10: ${\displaystyle X}$, 11: ${\displaystyle Y}$). Consequentemente, erros em um sistema de n qubits podem ser descritos por uma cadeia binária de comprimento 2n, permitindo que técnicas clássicas de correção de erros sejam aplicadas sob restrições adequadas. Embora essa aproximação não capture todos os processos de ruído realistas, ela permanece amplamente usada porque simplifica bastante tanto a análise teórica quanto o projeto de códigos.

Os QECCs ${\displaystyle [[n,k,d]]}$ não abrangem todos os códigos quânticos possíveis. Eles pertencem à classe dos códigos aditivos, definidos dentro do formalismo de estabilizadores. Uma classe mais geral, conhecida como códigos não aditivos,^[3] estende-se além desse quadro. Por exemplo, o código ${\displaystyle ((5,6,2))}$^[4] codifica mais de dois qubits ${\displaystyle (\log _{2}6\approx 2.585)}$ em cinco qubits físicos com distância de código dois. Códigos não aditivos podem, em princípio, alcançar taxas de código mais altas do que os aditivos, mas sua construção e análise são consideravelmente mais desafiadoras. Como resultado, eles permanecem relativamente inexplorados, com apenas estudos limitados até o momento.

Além de codificar qubits em qubits, a informação quântica também pode ser armazenada em sistemas físicos mais gerais, como sistemas de ${\displaystyle d}$ níveis (qudits) ou osciladores de dimensão infinita. Codificar um sistema lógico menor em um espaço de Hilbert físico maior é uma área ativa de pesquisa.

Alguns dos primeiros e mais significativos códigos que codificam qubit(s) lógico(s) em qubits físicos

Ano		n	k	d	Nota
1995	Código de Shor[5]	9	1	3	O primeiro código quântico corrige um único erro de Pauli.
1996	Código de Steane[6]	7	1	3	Melhora a taxa de código com um design distinto do código de Shor.
1996	Código de Laflamme[7]	5	1	3	O menor código possível que corrige um único erro de Pauli.
1997	Código tórico[8]	${\displaystyle 2d^{2}}$	1	${\displaystyle d}$	O pioneiro dos códigos topológicos.
1998	Código de superfície[9]	${\displaystyle 2nm+n+m+1}$	1	${\displaystyle \min(n,m)}$	Um código topológico só precisa de verificações de estabilizadores locais.

O primeiro QECC, batizado em homenagem a Peter Shor, pode ser generalizado como um código ${\displaystyle [[d^{2},1,d]]}$, que aumenta a distância do código às custas de uma taxa de código reduzida. Sua filosofia de projeto emprega códigos de repetição internos e externos ${\displaystyle [d,1,d]}$ para corrigir independentemente erros de inversão de bit e de fase. Em contraste, Andrew Steane melhorou a taxa de código substituindo os códigos de repetição pelo código de Hamming clássico ${\displaystyle [7,4]}$ e tratando erros de inversão de bit e de fase simetricamente, sem distinguir camadas internas e externas. A abordagem de Steane pode ser generalizada como códigos de Hamming quânticos ${\displaystyle [[2^{r}-1,2^{r}-1-2r,3]]}$.^[10] Uma generalização dessas abordagens levou ao desenvolvimento dos códigos CSS — batizados em homenagem a Robert Calderbank, Peter Shor e Andrew Steane. A estrutura dos códigos CSS é particularmente adequada para medição de síndrome tolerante a falhas, pois os estabilizadores ${\displaystyle X}$ e ${\displaystyle Z}$ são separados de forma limpa.

Enquanto o código de Shor enfatiza a distância do código e o código de Steane enfatiza a taxa de código, outros códigos CSS podem ser construídos para equilibrar esses parâmetros. Por exemplo, usando códigos de repetição sobrepostos^[11][12][1] permite códigos CSS com desempenho melhorado e o código do tipo Shor ${\displaystyle [[7,1,3]]}$ é demonstrado. Além disso, este código do tipo Shor pode ser modificado como códigos de subsistema, como o código de Bacon–Shor^[13] que pode otimizar a medição de síndrome.

O teorema do limiar quântico mostra que computações quânticas de comprimento arbitrário são possíveis. Ele afirma que erros podem ser corrigidos concatenando recursivamente códigos quânticos — como códigos CSS — através de níveis logaritmicamente muitos, desde que a taxa de erro de portas quânticas individuais permaneça abaixo de um certo limiar. Acima desse limiar, tentativas de medir síndromes e corrigir erros introduziriam mais erros do que eliminariam.^[14] Em 2004, estimativas sugerem que este limiar poderia ser tão alto quanto 1–3%,^[15] assumindo que um número suficientemente grande de qubits esteja disponível. Para alcançar uma taxa de código mais alta para codificar um único qubit lógico com correção de erro único, Raymond Laflamme e colaboradores descobriram um código de cinco qubits usando quatro estabilizadores que misturam operadores ${\displaystyle X}$ e ${\displaystyle Z}$. Uma variante bem conhecida emprega quatro estabilizadores cíclicos ${\displaystyle XZZXI}$. Embora este código claramente não seja um código CSS, DiVincenzo e Shor demonstraram que ele ainda pode ser tornado tolerante a falhas.^[14] O código de cinco qubits é o menor código possível capaz de proteger um qubit lógico contra erros arbitrários de um único qubit. De acordo com o limite de Hamming quântico, codificar um único qubit lógico com a capacidade de corrigir qualquer erro de um único qubit requer pelo menos cinco qubits físicos.

Além dos projetos teóricos de codificação, os QECCs topológicos são particularmente intuitivos de visualizar e podem fornecer um layout claro de medições de estabilizadores locais, o que é experimentalmente amigável. Alexei Kitaev introduziu o código tórico sem fronteiras, que mais tarde foi adaptado para o código de superfície com fronteiras, resultando em um layout planar 2D que evita medições não locais.^[16] Códigos de superfície são fundamentais para a correção de erros quânticos escalável em 2025, permitindo qubits lógicos abaixo do limiar com fidelidade melhorada em sistemas supercondutores.^[17]

Ao contrário de um sistema de dois níveis, um oscilador harmônico quântico possui infinitos níveis de energia dentro de um único sistema físico. Esses códigos exploram a redundância inerente dentro de um único oscilador, em vez de depender de múltiplos qubits de dois níveis para codificação.

Enquanto o código gato e os códigos GKP são puramente bosônicos, sem correspondência direta com qubits, os códigos binomiais (estendidos)^[23] estão intimamente relacionados aos códigos de Shor (de alta taxa).^[12] A ideia subjacente é tratar os qubits agrupados em cada código de repetição interno como partículas idênticas, mapeando-os para um único modo bosônico na base de Fock, ligando assim códigos de qubit a códigos bosônicos.

• Códigos de excitação constante^[24] são projetados para proteger contra erros coerentes coletivos decorrentes do Hamiltoniano intrínseco de qubits físicos durante uma duração desconhecida de armazenamento ou transmissão, como quando o receptor pode estar em movimento.
• Formalismo estabilizador assistido por emaranhamento, construído por Todd Brun e colaboradores, é uma extensão do formalismo estabilizador padrão que incorpora emaranhamento quântico compartilhado entre um emissor e um receptor.
• Eric Rains^[25] e John Smolin et al.^[26] generalizam códigos não aditivos anteriores para mais casos de distância dois. Yu et al.^[27][28] melhoram ainda mais a distância do código para três.
• Noh et al. propuseram um esquema de QEC que protege um único oscilador usando um estado GKP ancilla.^[29]

Códigos clássicos de correção de erros que empregam redundância podem ser mapeados para códigos quânticos enviesados que corrigem erros de Pauli X (inversão de bit) ou Pauli Z (inversão de fase). O exemplo mais simples, embora ineficiente, é o código de repetição. Em um código de repetição, a informação lógica é armazenada como múltiplas cópias de um bit. Se essas cópias forem posteriormente encontradas em desacordo devido a erros, o valor original mais provável é inferido por votação majoritária.

Por exemplo, considere um bit lógico no estado "1" copiado três vezes. Se o ruído corromper um dos três bits, deixando os outros dois inalterados, o cenário mais provável é que ocorreu um erro de um único bit e o valor lógico original era "1". Embora seja possível que dois bits invertam, produzindo três zeros, esse resultado é menos provável. Neste exemplo, a informação lógica é o bit único, e as três cópias são a representação física.

Códigos de repetição funcionam em canais clássicos porque bits clássicos podem ser livremente medidos e duplicados. Em canais quânticos, no entanto, o teorema da não clonagem impede a cópia de um qubit desconhecido, aparentemente representando um obstáculo para a correção de erros quânticos. Esse desafio é superado codificando a informação lógica de um único qubit em um estado altamente emaranhado de múltiplos qubits físicos. Por exemplo, o código de inversão de bit de três qubits, proposto pela primeira vez por Asher Peres em 1985,^[30] usa emaranhamento e medições de síndrome para corrigir erros de maneira análoga ao código de repetição clássico. Um código de inversão de fase é construído de forma semelhante e é equivalente ao código de inversão de bit até portas de Hadamard transversais.

Considere a situação em que queremos transmitir o estado de um único qubit ${\displaystyle \vert \psi \rangle }$ através de um canal ruidoso ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$. Suponhamos também que este canal ou inverte o estado do qubit, com probabilidade ${\displaystyle p}$, ou o deixa inalterado. A ação de ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ sobre uma entrada genérica ${\displaystyle \rho }$ pode, portanto, ser escrita como ${\displaystyle {\mathcal {E}}(\rho )=(1-p)\rho +p\cdot X\rho X}$.

Seja ${\displaystyle |\psi \rangle =\alpha _{0}|0\rangle +\alpha _{1}|1\rangle }$ o estado quântico a ser transmitido. Sem nenhum protocolo de correção de erros em vigor, o estado transmitido será corretamente transmitido com probabilidade ${\displaystyle 1-p}$. Podemos, no entanto, melhorar esse número codificando o estado em um número maior de qubits, de modo que erros nos qubits lógicos correspondentes possam ser detectados e corrigidos. No caso do simples código de repetição de três qubits, a codificação consiste nos mapeamentos ${\displaystyle \vert 0\rangle \rightarrow \vert 0_{\rm {L}}\rangle \equiv \vert 000\rangle }$ e ${\displaystyle \vert 1\rangle \rightarrow \vert 1_{\rm {L}}\rangle \equiv \vert 111\rangle }$. O estado de entrada ${\displaystyle \vert \psi \rangle }$ é codificado no estado ${\displaystyle \vert \psi '\rangle =\alpha _{0}\vert 000\rangle +\alpha _{1}\vert 111\rangle }$. Este mapeamento pode ser realizado, por exemplo, usando duas portas CNOT, entrelaçando o sistema com dois qubits ancilla inicializados no estado ${\displaystyle \vert 0\rangle }$.^[31] O estado codificado ${\displaystyle \vert \psi '\rangle }$ é o que agora é passado através do canal ruidoso.

O canal age sobre ${\displaystyle \vert \psi '\rangle }$ invertendo algum subconjunto (possivelmente vazio) de seus qubits. Nenhum qubit é invertido com probabilidade ${\displaystyle (1-p)^{3}}$, um único qubit é invertido com probabilidade ${\displaystyle 3p(1-p)^{2}}$, dois qubits são invertidos com probabilidade ${\displaystyle 3p^{2}(1-p)}$, e todos os três qubits são invertidos com probabilidade ${\displaystyle p^{3}}$. Note que uma suposição adicional sobre o canal é feita aqui: assumimos que ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ age igualmente e independentemente em cada um dos três qubits nos quais o estado está agora codificado. O problema agora é como detectar e corrigir tais erros, sem corromper o estado transmitido.

Vamos supor por simplicidade que ${\displaystyle p}$ é suficientemente pequeno para que a probabilidade de mais de um qubit ser invertido seja desprezível. Pode-se então detectar se um qubit foi invertido, sem também consultar os valores sendo transmitidos, perguntando se um dos qubits difere dos outros. Isso equivale a realizar uma medição com quatro resultados diferentes, correspondendo às seguintes quatro medições projetivas:$${\displaystyle {\begin{aligned}P_{0}&=|000\rangle \langle 000|+|111\rangle \langle 111|,\\P_{1}&=|100\rangle \langle 100|+|011\rangle \langle 011|,\\P_{2}&=|010\rangle \langle 010|+|101\rangle \langle 101|,\\P_{3}&=|001\rangle \langle 001|+|110\rangle \langle 110|.\end{aligned}}}$$Isso revela quais qubits são diferentes dos outros, sem ao mesmo tempo dar informação sobre o estado dos próprios qubits. Se o resultado correspondente a ${\displaystyle P_{0}}$ for obtido, nenhuma correção é aplicada, enquanto se o resultado correspondente a ${\displaystyle P_{i}}$ for observado, então a porta Pauli X é aplicada ao ${\displaystyle i}$-ésimo qubit. Formalmente, este procedimento de correção corresponde à aplicação do seguinte mapa à saída do canal:$${\displaystyle {\mathcal {E}}_{\operatorname {corr} }(\rho )=P_{0}\rho P_{0}+\sum _{i=1}^{3}X_{i}P_{i}\rho \,P_{i}X_{i}.}$$Observe que, embora este procedimento corrija perfeitamente a saída quando zero ou uma inversão são introduzidas pelo canal, se mais de um qubit for invertido, a saída não é corrigida adequadamente. Por exemplo, se o primeiro e o segundo qubits forem invertidos, então a medição da síndrome dá o resultado ${\displaystyle P_{3}}$, e o terceiro qubit é invertido, em vez dos dois primeiros. Para avaliar o desempenho deste esquema de correção de erros para uma entrada genérica, podemos estudar a fidelidade ${\displaystyle F(\psi ')}$ entre a entrada ${\displaystyle \vert \psi '\rangle }$ e a saída ${\displaystyle \rho _{\operatorname {out} }\equiv {\mathcal {E}}_{\operatorname {corr} }({\mathcal {E}}(\vert \psi '\rangle \langle \psi '\vert ))}$. Sendo o estado de saída ${\displaystyle \rho _{\operatorname {out} }}$ correto quando no máximo um qubit é invertido, o que acontece com probabilidade ${\displaystyle (1-p)^{3}+3p(1-p)^{2}}$, podemos escrevê-lo como ${\displaystyle [(1-p)^{3}+3p(1-p)^{2}]\,\vert \psi '\rangle \langle \psi '\vert +(...)}$, onde os pontos denotam componentes de ${\displaystyle \rho _{\operatorname {out} }}$ resultantes de erros não corrigidos adequadamente pelo protocolo. Segue que $${\displaystyle F(\psi ')=\langle \psi '\vert \rho _{\operatorname {out} }\vert \psi '\rangle \geq (1-p)^{3}+3p(1-p)^{2}=1-3p^{2}+2p^{3}.}$$Esta fidelidade deve ser comparada com a fidelidade correspondente obtida quando nenhum protocolo de correção de erros é usado, que foi mostrada anteriormente como igual a ${\displaystyle {1-p}}$. Uma pequena álgebra mostra então que a fidelidade após a correção de erros é maior do que aquela sem correção para ${\displaystyle p<1/2}$. Note que isso é consistente com a suposição de trabalho que foi feita ao derivar o protocolo (de ${\displaystyle p}$ ser suficientemente pequeno).

A inversão de bit é o único tipo de erro em computadores clássicos. Em computadores quânticos, no entanto, outro tipo de erro é possível: a inversão de sinal. Através da transmissão em um canal, o sinal relativo entre ${\displaystyle |0\rangle }$ e ${\displaystyle |1\rangle }$ pode ser invertido. Por exemplo, um qubit no estado ${\displaystyle |-\rangle =(|0\rangle -|1\rangle )/{\sqrt {2}}}$ pode ter seu sinal invertido para ${\displaystyle |+\rangle =(|0\rangle +|1\rangle )/{\sqrt {2}}.}$

O estado original do qubit$${\displaystyle |\psi \rangle =\alpha _{0}|0\rangle +\alpha _{1}|1\rangle }$$será alterado para o estado$${\displaystyle |\psi '\rangle =\alpha _{0}|{+}{+}{+}\rangle +\alpha _{1}|{-}{-}{-}\rangle .}$$

Na base de Hadamard, inversões de bit tornam-se inversões de sinal e inversões de sinal tornam-se inversões de bit. Seja ${\displaystyle E_{\text{phase}}}$ um canal quântico que pode causar no máximo uma inversão de fase. Então, o código de inversão de bit acima pode recuperar ${\displaystyle |\psi \rangle }$ transformando para a base de Hadamard antes e depois da transmissão através de ${\displaystyle E_{\text{phase}}}$.

O canal de erro pode induzir uma inversão de bit, uma inversão de sinal (isto é, inversão de fase), ou ambas. É possível corrigir ambos os tipos de erro em um qubit lógico usando um código QEC bem projetado. Um exemplo de um código que faz isso é o código de Shor, publicado em 1995.^{[32][33](p10)} Como esses dois tipos de erro são os únicos tipos de erro que podem resultar após uma medição projetiva, um código de Shor corrige erros arbitrários de um único qubit.

Seja ${\displaystyle E}$ um canal quântico que pode corromper arbitrariamente um único qubit. O 1º, 4º e 7º qubits são para o código de inversão de sinal, enquanto os três grupos de qubits (1,2,3), (4,5,6) e (7,8,9) são projetados para o código de inversão de bit. Com o código de Shor, um estado de qubit ${\displaystyle |\psi \rangle =\alpha _{0}|0\rangle +\alpha _{1}|1\rangle }$ será transformado no produto de 9 qubits ${\displaystyle |\psi '\rangle =\alpha _{0}|0_{S}\rangle +\alpha _{1}|1_{S}\rangle }$, onde $${\displaystyle |0_{\rm {S}}\rangle ={\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}(|000\rangle +|111\rangle )\otimes (|000\rangle +|111\rangle )\otimes (|000\rangle +|111\rangle )}$$ $${\displaystyle |1_{\rm {S}}\rangle ={\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}(|000\rangle -|111\rangle )\otimes (|000\rangle -|111\rangle )\otimes (|000\rangle -|111\rangle )}$$

Se um erro de inversão de bit ocorrer em um qubit, a análise de síndrome será realizada em cada bloco de qubits (1,2,3), (4,5,6) e (7,8,9) para detectar e corrigir no máximo um erro de inversão de bit em cada bloco.

Se os três grupos de inversão de bit (1,2,3), (4,5,6) e (7,8,9) forem considerados como três entradas, então o circuito do código de Shor pode ser reduzido a um código de inversão de sinal. Isso significa que o código de Shor também pode reparar um erro de inversão de sinal para um único qubit.

O código de Shor também pode corrigir quaisquer erros arbitrários (tanto de inversão de bit quanto de inversão de sinal) em um único qubit. Se um erro é modelado por uma transformação unitária U, que atuará em um qubit ${\displaystyle |\psi \rangle }$, então ${\displaystyle U}$ pode ser descrito na forma$${\displaystyle U=c_{0}I+c_{1}X+c_{2}Y+c_{3}Z}$$onde ${\displaystyle c_{0}}$,${\displaystyle c_{1}}$,${\displaystyle c_{2}}$, e ${\displaystyle c_{3}}$ são constantes complexas, I é a identidade, e as matrizes de Pauli são dadas por$${\displaystyle {\begin{aligned}X&={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}};\\Y&={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}};\\Z&={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}.\end{aligned}}}$$

Se U for igual a I, então nenhum erro ocorre. Se ${\displaystyle U=X}$, ocorre um erro de inversão de bit. Se ${\displaystyle U=Z}$, ocorre um erro de inversão de sinal. Se ${\displaystyle U=iY}$, então ocorrem ambos um erro de inversão de bit e um erro de inversão de sinal. Em outras palavras, o código de Shor pode corrigir qualquer combinação de erros de bit ou fase em um único qubit.

Mais geralmente, o operador de erro U não precisa ser unitário, mas pode ser um operador de Kraus de uma operação quântica representando um sistema interagindo com seu ambiente.

A correção de erros quânticos pode ser aplicada à metrologia quântica. Assim, um qubit lógico é armazenado em vários qubits físicos. No caso de um interferômetro linear, não há interação entre os qubits lógicos. No entanto, a dinâmica é dada por operadores que contêm operadores de correlação de múltiplos qubits dos qubits físicos correspondentes a um qubit lógico. Neste esquema, os erros podem ser detectados e corrigidos seguindo as regras gerais da correção de erros quânticos.^[34][35]

Em outra abordagem, o objetivo não é corrigir o estado quântico, mas manter um estado que torne possível a metrologia quântica com alta precisão mesmo na presença de ruído. Foi observado que alguns estados quânticos que não podem superar estados separáveis em metrologia quântica podem ser melhores do que estados separáveis no caso de múltiplas cópias, portanto, suas habilidades metrológicas podem ser ativadas.^[36] Assim, em vez de armazenar cada qubit lógico em vários qubits físicos, armazenamos várias cópias de todo o estado quântico. Por exemplo, considere um estado quântico de ${\displaystyle N}$ qubits ${\displaystyle \varrho }$ vivendo no espaço

$${\displaystyle \{|0\rangle ^{\otimes N},|1\rangle ^{\otimes N}\}.}$$

Este subespaço inclui o estado quântico ruidoso

$${\displaystyle p|{\rm {GHZ}}_{N}\rangle \langle {\rm {GHZ}}_{N}|+(1-p){\frac {(|0\rangle \langle 0|)^{\otimes N}+(|1\rangle \langle 1|)^{\otimes N}}{2}},}$$

onde o estado de Greenberger-Horne-Zeilinger (GHZ) é dado como

$${\displaystyle |{\rm {GHZ}}_{N}\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle ^{\otimes N}+|1\rangle ^{\otimes N}).}$$

Vamos considerar ${\displaystyle M}$ cópias do estado

$${\displaystyle \varrho _{M{\text{-cópia}}}=\varrho ^{\otimes M}.}$$

Então, o seguinte Hamiltoniano

$${\displaystyle H=\sum _{n=1}^{N}\prod _{m=1}^{M}\sigma _{z}^{(n,m)}}$$

age sobre o estado quântico de ${\displaystyle M}$ cópias. Aqui, ${\displaystyle \sigma _{z}^{(n,m)}}$ é a matriz de spin de Pauli ${\displaystyle \sigma _{z}}$ para o n-ésimo qubit da m-ésima cópia. A utilidade metrológica caracterizada pela informação de Fisher quântica como

$${\displaystyle F_{Q}[\varrho ,H]}$$

aumenta exponencialmente com o número de cópias, ${\displaystyle M}$, e se aproxima da utilidade metrológica do estado GHZ, ${\displaystyle 4N^{2}.}$ Estados separáveis atingem ${\displaystyle 4N.}$^[37]

Se o estado estiver fora do subespaço descrito acima, então ele pode ser trazido de volta ao subespaço com os passos usuais de correção de erros com o código de inversão de bit.

Em outro exemplo, pode-se ver que neste esquema um erro de fase é suprimido mesmo sem correção de erros. Vamos chamar as três cópias do estado GHZ de ${\displaystyle N}$ qubits de

$${\displaystyle |\Psi \rangle =|{\rm {GHZ}}_{N}\rangle \otimes |{\rm {GHZ}}_{N}\rangle \otimes |{\rm {GHZ}}_{N}\rangle ,}$$

e considerar o Hamiltoniano acima. Então, a utilidade metrológica do estado é caracterizada pela informação de Fisher quântica ${\displaystyle F_{Q}[|\Psi \rangle \langle \Psi |,H]}$.

Vamos denotar o estado depois que um dos qubits passa por um canal de inversão de fase por ${\displaystyle \varrho _{\rm {phaseflip}}.}$ Pode-se mostrar que a utilidade metrológica do estado não muda

$${\displaystyle F_{Q}[\varrho _{\rm {phaseflip}},H]=F_{Q}[|\Psi \rangle \langle \Psi |,H]}$$

e permanece máxima. Assim, mesmo sem uma etapa de correção de erros, as propriedades metrológicas permanecem as mesmas. (Veja o Suplemento E na Ref.,^[37] e Ref.^[38])

Houve várias realizações experimentais de códigos baseados em CSS. A primeira demonstração foi com qubits de ressonância magnética nuclear.^[39] Posteriormente, demonstrações foram feitas com óptica linear,^[40] íons aprisionados,^[41][42] e qubits supercondutores (transmon).^[43]

• Em 2016, pela primeira vez, o tempo de vida de um bit quântico foi prolongado empregando um código QEC.^[44]
  • A demonstração de correção de erros foi realizada em estados de Schrödinger-gato codificados em um ressonador supercondutor, e empregou um controlador quântico capaz de realizar operações de realimentação em tempo real, incluindo leitura da informação quântica, sua análise e correção de seus erros detectados. O trabalho demonstrou como o sistema corrigido por erros quânticos atinge o ponto de equilíbrio no qual o tempo de vida de um qubit lógico excede o tempo de vida dos constituintes subjacentes do sistema (os qubits físicos).
  • Outros códigos de correção de erros também foram implementados, como um destinado a corrigir a perda de fótons, a fonte de erro dominante em esquemas de qubits fotônicos.^[45][46]
• Em 2021, uma porta de emaranhamento entre dois qubits lógicos codificados em códigos topológicos de correção de erros quânticos foi realizada pela primeira vez usando 10 íons em um computador quântico de íons aprisionados.^[47][48]
• 2021 também viu a primeira demonstração experimental do código de Bacon-Shor tolerante a falhas em um único qubit lógico de um sistema de íons aprisionados, ou seja, uma demonstração na qual a adição de correção de erros é capaz de suprimir mais erros do que é introduzido pela sobrecarga necessária para implementar a correção de erros, bem como o código de Steane tolerante a falhas.^[49][50][51]
  • Em uma direção diferente, usando uma codificação correspondente aos modos zero de Majorana mapeados por Jordan-Wigner de uma cadeia de Kitaev, os pesquisadores conseguiram realizar teletransporte quântico de um qubit lógico, onde uma melhoria na fidelidade de 71% para 85% foi observada.^[52]
• Em 2022, pesquisadores da Universidade de Innsbruck demonstraram um conjunto universal de portas tolerante a falhas em dois qubits lógicos em um computador quântico de íons aprisionados.
  • Eles realizaram uma porta lógica controlada-NOT de dois qubits entre duas instâncias do código de cor de sete qubits e prepararam tolerantemente a falhas um estado mágico lógico.^[53]
• Em 2022, pesquisadores da University of Engineering and Technology Lahore demonstraram cancelamento de erros inserindo portas de rotação de eixo Z de um único qubit em locais estrategicamente escolhidos de circuitos quânticos supercondutores.^[54]
  • O esquema mostrou-se eficaz para corrigir erros que, de outra forma, se acumulariam rapidamente sob interferência construtiva de ruído coerente. Este é um esquema de calibração em nível de circuito que rastreia desvios (por exemplo, mergulhos ou entalhes acentuados) na curva de decoerência para detectar e localizar o erro coerente, mas não requer codificação ou medições de paridade.^[55] No entanto, uma investigação adicional é necessária para estabelecer a eficácia deste método para ruído incoerente.
• Em fevereiro de 2023, pesquisadores da Google afirmaram ter diminuído os erros quânticos aumentando o número de qubits em experimentos; eles usaram um código de superfície tolerante a falhas medindo uma taxa de erro de 3,028% e 2,914% para uma matriz de qubits de distância 3 e uma matriz de qubits de distância 5, respectivamente.^[56][57][58]
• Em abril de 2024, pesquisadores da Microsoft afirmaram ter testado com sucesso um código de correção de erros quânticos que lhes permitiu alcançar uma taxa de erro com qubits lógicos 800 vezes melhor do que a taxa de erro física subjacente.^[59]
  • Este sistema de virtualização de qubits foi usado para criar 4 qubits lógicos com 30 dos 32 qubits no hardware de íons aprisionados da Quantinuum. O sistema usa uma técnica de extração de síndrome ativa para diagnosticar erros e corrigi-los enquanto os cálculos estão em andamento, sem destruir os qubits lógicos.^[60]
• Em janeiro de 2025, pesquisadores da UNSW Sydney conseguiram desenvolver um método de correção de erros usando materiais à base de antimônio, incluindo antimonetos, aproveitando estados quânticos de alta dimensão (qudits) com até oito estados. Usando um computador quântico de Kane empregando técnicas avançadas de controle de pulso, eles demonstraram maior resiliência a erros.^[61]

• Detecção e correção de erros
• Computação quântica tolerante a falhas
• Erro brando

• Daniel Lidar e Todd Brun, ed. (2013). Quantum Error Correction. [S.l.]: Cambridge University Press 
• La Guardia, Giuliano Gadioli, ed. (2020). Quantum Error Correction: Symmetric, Asymmetric, Synchronizable, and Convolutional Codes. [S.l.]: Springer Nature 
• Frank Gaitan (2008). Quantum Error Correction and Fault Tolerant Quantum Computing. [S.l.]: Taylor & Francis 
• Freedman, Michael H.; Meyer, David A.; Luo, Feng (2002). «Z₂-Systolic freedom and quantum codes». Mathematics of quantum computation. Col: Comput. Math. Ser. Boca Raton, FL: Chapman & Hall/CRC. pp. 287–320 
• Freedman, Michael H.; Meyer, David A. (1998). «Projective plane and planar quantum codes». Found. Comput. Math. 2001 (3): 325–332. Bibcode:1998quant.ph.10055F. arXiv:quant-ph/9810055 

• «Topological Quantum Error Correction». Quantum Light. University of Sheffield. 28 de setembro de 2018. Cópia arquivada em 22 de dezembro de 2021 – via YouTube