累积分布函数 📖 Wikipedia

對於所有實數值的随机变量${\displaystyle X}$  ，累积分布函数定義如下^{[1]: p. 77}：

其中右侧表示随机变量${\displaystyle X}$ 取值小于或等于${\displaystyle x}$ 的概率。

對於${\displaystyle X}$ 位于半闭区间${\displaystyle (a,b]}$  的概率，其中${\displaystyle a<b}$ ，因此定義是^{[1]: p. 84}:

在上面的定義中，“小於或等於”符號“≤”是一種約定，不是普遍使用的（例如匈牙利文獻使用“<”），但這種區別對於離散分佈很重要。二項式分布和泊松分布的表格的正確使用取決於此約定。此外，像數學家保羅·皮埃爾·萊維(Paul Lévy)的特徵函數反演公式等重要公式也依賴於“小於或等於”公式。

• 有界性^[2]
  • ${\displaystyle \lim _{x\to -\infty }F_{X}(x)=0}$ 
  • ${\displaystyle \lim _{x\to +\infty }F_{X}(x)=1}$ 
• 單調性：
  • ${\displaystyle F_{X}(x_{1})\leq F_{X}(x_{2}),\ {\mbox{if}}\,x_{1}<x_{2}}$ 
• 右連續性：
  • ${\displaystyle \lim _{x\rightarrow x_{0}^{+}}F_{X}(x)=F_{X}(x_{0})}$ 

${\displaystyle X}$ 之值落在一區間${\displaystyle (a,b]}$ 之內的機率為

${\displaystyle \operatorname {P} (a<X\leq b)=F_{X}(b)-F_{X}(a)}$ 

一隨機變數${\displaystyle X}$ 的CDF與其PDF的關係為

${\displaystyle F_{X}(x)=\int _{-\infty }^{x}f_{X}(t)\,dt}$ 

若累积分布函数 ${\displaystyle F}$  是连续的严格增函数，则存在其反函数${\displaystyle F^{-1}(y),y\in [0,1]}$ 。累积分布函数的反函数可以用来生成服从该随机分布的随机变量。设若${\displaystyle F_{X}(x)}$ 是概率分布${\displaystyle X}$ 的累积分布函数，并存在反函数${\displaystyle F_{X}^{-1}}$ 。若${\displaystyle a}$ 是${\displaystyle [0,1)}$ 区间上均匀分布的随机变量，则${\displaystyle F_{X}^{-1}(a)}$ 服从${\displaystyle X}$ 分布。

互补累積分布函数（complementary cumulative distribution function、CCDF），是对连续函数，所有大于${\displaystyle a}$ 的值，其出现概率的和。

${\displaystyle F(a)=P(x>a)}$ 

• 機率密度函數
• 機率質量函數