Fonction caractéristique (probabilités) 📖 Wikipedia

Théorème — Si la fonction caractéristique φ_X d'une variable aléatoire X est intégrable, alors F_X est absolument continue, et X admet donc une fonction de densité. Dans le cas où X est une variable scalaire, la fonction de densité est donnée par $${\displaystyle f_{X}(x)=F_{X}'(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{\mathbf {R} }\operatorname {e} ^{-\mathrm {i} tx}\varphi _{X}(t)\,\mathrm {d} t.}$$ 

Dans le cas multivarié, on a $${\displaystyle f_{X}(x)={\frac {1}{(2\pi )^{n}}}\int _{\mathbf {R} ^{n}}\operatorname {e} ^{-\mathrm {i} (t\cdot x)}\varphi _{X}(t)\lambda (\mathrm {d} t)}$$ 

où ${\textstyle t\cdot x}$  désigne le produit scalaire. La fonction de densité est la dérivée de Radon-Nikodym de la loi μ_X par rapport à la mesure de Lebesgue λ: $${\displaystyle f_{X}(x)={\frac {\mathrm {d} \mu _{X}}{\mathrm {d} \lambda }}(x).}$$ 

Théorème (Paul Lévy) — Si φ_X est la fonction caractéristique d'une loi de fonction de répartition F_X, soit deux points a < b sont tels que x | a < x < b est un ensemble de continuité de μ_X (dans le cas scalaire, cela revient à dire que F_X est continue en a et b), alors

• Si X est scalaire : $${\displaystyle F_{X}(b)-F_{X}(a)={\frac {1}{2\pi }}\lim _{T\to \infty }\int _{-T}^{+T}{\frac {\operatorname {e} ^{-\mathrm {i} ta}-\operatorname {e} ^{-\mathrm {i} tb}}{\mathrm {i} t}}\,\varphi _{X}(t)\,\mathrm {d} t.}$$ 

On peut réécrire cette formule sous une forme plus simple pour le calcul numérique^[3]: $${\displaystyle {\frac {F_{X}(x+h)-F_{X}(x-h)}{2h}}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\sin ht}{ht}}\operatorname {e} ^{-\mathrm {i} tx}\varphi _{X}(t)\,\mathrm {d} t.}$$  Pour une variable aléatoire minorée, on peut obtenir ${\displaystyle F(b)}$  en choisissant ${\displaystyle a}$  tel que ${\displaystyle F(a)=0.}$  Sinon, une variable n'est pas minorée, la limite pour ${\displaystyle a\to -\infty }$  donne ${\displaystyle F(b)}$ , mais n'est pas utile numériquement^[3].

• Si X est un vecteur aléatoire de taille n :

$${\displaystyle \mu _{X}\left(\{a<x<b\}\right)={\frac {1}{(2\pi )^{n}}}\lim _{T_{1}\to \infty }\cdots \lim _{T_{n}\to \infty }\int \limits _{-T_{1}\leq t_{1}\leq T_{1}}\cdots \int \limits _{-T_{n}\leq t_{n}\leq T_{n}}\prod _{k=1}^{n}\left({\frac {\operatorname {e} ^{-\mathrm {i} t_{k}a_{k}}-\operatorname {e} ^{-\mathrm {i} t_{k}b_{k}}}{it_{k}}}\right)\varphi _{X}(t)\lambda (\mathrm {d} t_{1}\times \cdots \times \mathrm {d} t_{n})}$$ 

Théorème — Si a est un atome (éventuel) de X (dans le cas scalaire, un point de discontinuité de F_X) alors

• si X est scalaire : $${\displaystyle F_{X}(a)-F_{X}(a-0)=\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{2T}}\int _{-T}^{+T}\operatorname {e} ^{-\mathrm {i} ta}\varphi _{X}(t)\,\mathrm {d} t}$$ 
• si X est un vecteur aléatoire^[4]: $${\displaystyle \mu _{X}(\{a\})=\lim _{T_{1}\to \infty }\cdots \lim _{T_{n}\to \infty }\left(\prod _{k=1}^{n}{\frac {1}{2T_{k}}}\right)\int \limits _{[-T_{1},T_{1}]\times \dots \times [-T_{n},T_{n}]}\operatorname {e} ^{-\mathrm {i} (t\cdot a)}\varphi _{X}(t)\lambda (\mathrm {d} t)}$$ 

Théorème — Pour une variable aléatoire univariée X, si x est continue en F_X alors

${\displaystyle F_{X}(x)={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\infty }{\frac {\operatorname {Im} [\operatorname {e} ^{-\mathrm {i} tx}\varphi _{X}(t)]}{t}}\,\mathrm {d} t}$ 

et:

${\displaystyle f_{X}(x)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\infty }\operatorname {Re} [\operatorname {e} ^{-\mathrm {i} tx}\varphi _{X}(t)]\,\mathrm {d} t}$