Funkcja meromorficzna 📖 Wikipedia

Funkcja meromorficzna – funkcja ${\displaystyle f,}$ określona na otwartym podzbiorze ${\displaystyle D}$ płaszczyzny zespolonej, która jest funkcją holomorficzną w zbiorze ${\displaystyle D\setminus S,}$ gdzie ${\displaystyle S}$ oznacza zbiór punktów izolowanych, z których każdy jest biegunem funkcji ${\displaystyle f}$^[1][2].

Termin ten pochodzi od greckiego meros (μέρος), oznaczającego „część”.

Funkcjami meromorficznymi są:

• wszystkie funkcje wymierne, np.

${\displaystyle f(z)={\frac {z^{3}-2z+1}{z^{5}+3z-1}}}$

• ${\displaystyle f(z)={\tfrac {1}{\sin(z)}}}$ jest funkcją meromorficzną o nieskończenie wielu biegunach.
• ${\displaystyle f(z)={\frac {\mathrm {e} ^{z}}{z}}}$,
• ${\displaystyle f(z)=\tan(z)}$,
• ${\displaystyle f(z)={\frac {\sin(z)}{(z-1)^{2}}}}$
• Funkcja Γ (gamma Eulera),
• funkcja ζ (dzeta Riemanna)

Funkcjami meromorficznymi nie są:

• wszystkie (niewymierne) funkcje algebraiczne (np.${\displaystyle {\sqrt {z}}}$)
• funkcja logarytmiczna ${\displaystyle f(z)=\ln(z)}$
• dowolna funkcja mająca punkt rozgałęzienia
• ${\displaystyle f(z)=\mathrm {e} ^{\frac {1}{z}}}$ oraz każda funkcja posiadająca zasadniczą osobliwość gdzie indziej niż w nieskończoności
• wszystkie funkcje posiadające kumulację osobliwości (np.: punkt generujący szereg podziałów ).

• Każda funkcja holomorficzna jest meromorficzna^[2].
• Funkcje wymierne, w szczególności homograficzne, są funkcjami meromorficznymi^[2].
• Każda funkcja meromorficzna na płaszczyźnie domkniętej (tzn. na Sfera Riemanna ), jest funkcją wymierną^[2].
• Funkcje eliptyczne są „dwuokresowymi” funkcjami meromorficznymi określonymi na ${\displaystyle \mathbb {C} .}$
• Funkcje modularne, czyli funkcje meromorficzne określone na górnej półpłaszczyźnie hiperbolicznej, są niezmiennicze na działanie grupy modularnej; w szczególności istnieje tzw. niezmiennik j.

Tw. 1 Każdą funkcję meromorficzną na sferze Riemanna można wyrazić za pomocą ilorazu dwóch funkcji holomorficznych:

${\displaystyle f(z)={\frac {h_{1}(z)}{h_{2}(z)}},}$

przy czym funkcja ${\displaystyle h_{2}}$ nie może być stale równa ${\displaystyle 0.}$ Zbiór biegunów ${\displaystyle S}$ jest zbiorem zer funkcji ${\displaystyle h_{2}.}$

Tw. 2 Jeżeli zbiór ${\displaystyle D}$ jest spójny, to zbiór wszystkich określonych na nim funkcji meromorficznych tworzy ciało (które można utożsamiać z ciałem ułamków pierścienia funkcji holomorficznych w ${\displaystyle D}$).

Tw. 3 Funkcje meromorficzne można utożsamiać z odwzorowaniami powierzchni Riemanna

${\displaystyle f\colon D\to \mathbb {P} _{1},}$

gdzie ${\displaystyle \mathbb {P} _{1}}$ oznacza sferę Riemanna, nazywana okresem funkcji ${\displaystyle \infty .}$

• biegun (analiza zespolona)

• Franciszek Leja: Funkcje zespolone. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1976.

• Funkcje meromorficzne na MathWorld