Nucleo di sommabilità 📖 Wikipedia

In matematica, un nucleo di sommabilità è una famiglia o sequenza di funzioni integrabili periodiche che soddisfano un certo insieme di proprietà, elencate di seguito. Alcuni nuclei, come il nucleo di Fejér, sono particolarmente utili nell'analisi di Fourier. I kernel di sommabilità sono legati all'approssimazione dell'identità.^[1]

Sia ${\displaystyle \mathbb {T} :=\mathbb {R} /2\pi \mathbb {Z} }$ il toro. Un nucleo di sommabilità è una sequenza ${\displaystyle (k_{n})}$ in ${\displaystyle L^{1}(\mathbb {T} )}$ che soddisfa

1. ${\displaystyle {\frac {1}{2\pi }}\int _{\mathbb {T} }k_{n}(t)\,dt=1}$
2. ${\displaystyle \|k_{n}\|_{1}\leq M}$ (uniformemente limitata)
3. ${\displaystyle \int _{\delta \leq |t|\leq \pi }|k_{n}(t)|\,dt\to 0}$ come ${\displaystyle n\to \infty }$, per ogni ${\displaystyle \delta >0}$ .

Si noti che se ${\displaystyle k_{n}\geq 0}$ per ogni ${\displaystyle n}$, allora ${\displaystyle (k_{n})}$ è detto essere un nucleo di sommabilità positivo, quindi il secondo requisito segue automaticamente dal primo.

• Il nucleo di Fejér è un nucleo di sommabilità.
• Il nucleo di Dirichlet non è un nucleo di sommabilità, poiché non soddisfa il secondo requisito.

Sia ${\displaystyle (k_{n})}$ un nucleo di sommabilità, e denotiamo con ${\displaystyle *}$ l'operatore di convoluzione.

• Se ${\displaystyle f\in {\mathcal {C}}(\mathbb {T} )}$ (funzioni continue su ${\displaystyle \mathbb {T} }$), allora ${\displaystyle k_{n}*f\to f}$ in ${\displaystyle {\mathcal {C}}(\mathbb {T} )}$ uniformemente (cioè in norma infinito) quando ${\displaystyle n\to \infty }$.
• Se ${\displaystyle f\in L^{1}(\mathbb {T} )}$, poi ${\displaystyle k_{n}*f\to f}$ in ${\displaystyle L^{1}(\mathbb {T} )}$, come ${\displaystyle n\to \infty }$ .
• In generale, se ${\displaystyle f\in L^{p}(\mathbb {T} ),\ 1\leq p<\infty }$, allora ${\displaystyle k_{n}*f\to f}$ in ${\displaystyle L^{p}(\mathbb {T} )}$, per ${\displaystyle n\to \infty }$
• Se ${\displaystyle (k_{n})}$ è simmetrico radialmente decrescente e ${\displaystyle f\in L^{1}(\mathbb {T} )}$, allora ${\displaystyle k_{n}*f\to f}$ puntualmente quasi ovunque per ${\displaystyle n\to \infty }$ . Questo fatto utilizza la funzione massimale di Hardy–Littlewood . Se ${\displaystyle (k_{n})}$ non è simmetrico radialmente decrescente, ma la simmetrizzazione decrescente ${\displaystyle {\widetilde {k}}_{n}(x):=\sup _{|y|\geq |x|}k_{n}(y)}$ soddisfa ${\displaystyle \sup _{n\in \mathbb {N} }\|{\widetilde {k}}_{n}\|_{1}<\infty }$, allora la convergenza quasi ovunque è ancora valida, usando un argomento simile.