複素解析 📖 Wikipedia

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数学の一分野である複素解析（ふくそかいせき、英: complex analysis）は、複素数上で定義された関数（複素関数）の性質、特に正則関数としての性質や、その微分法、積分法などを研究する解析学の分野である^[1]。複素関数論 あるいは単に関数論とも呼ばれる^[2][3][4]。初等教育以降で扱う実解析に対比して複素解析というが、現代数学の基礎が複素数であることから、単に解析といえば複素解析を意味することもある。複素解析の手法は、応用数学を含む数学全般、（流体力学などの）理論物理学、（数値解析^[5][6]や回路理論^[7]をはじめとした）工学などの多くの分野で用いられている。

複素解析は最も古くからある数学の分野の一つであり、その起源は18世紀あるいはそれより以前にまでたどることができる。レオンハルト・オイラー、カール・フリードリッヒ・ガウス、ベルンハルト・リーマン、オーギュスタン＝ルイ・コーシー、ヨースタ・ミッタク＝レフラー、ワイエルシュトラスといった数学者や他の多くの20世紀の数学者たちが複素解析の理論に貢献している^[1][5][6][8]。

歴史的に複素解析、特に等角写像の理論は工学・地図学・物理学に多くの応用があるが^[6][8][9]、解析的整数論全般にわたっても応用されている^[10]。近年は複素力学系の勃興や正則関数の繰り返しによって与えられるフラクタル図形（有名な例としてマンデルブロ集合が挙げられる）の研究などによって有名になっている^[11]。

他の重要な応用として共形変換に対して作用が不変な場の量子論である共形場理論が挙げられる。また電気工学におけるフェーザ表示、固体力学における応力関数、流体力学における複素速度ポテンシャル^[12]など、工学の様々な分野にも応用されている。

複素関数とは、自由変数と従属変数がともに複素数の範囲で与えられるような関数である^[1][8]。より正確に言えば複素平面の部分集合上で定義された複素数値の関数が複素関数と呼ばれる。複素関数に対し自由変数や従属変数を実部と虚部とに分けて考えることができる。

従って複素関数の成分

${\displaystyle u=u(x,y),}$

${\displaystyle v=v(x,y)}$

は、2つの実変数 x, y についての実数値関数だと考えることができる。複素解析の基本的な概念は、指数関数、対数関数、三角関数などの実関数を複素関数に拡張することにより与えられることが多い。

正則関数とは、複素平面のある領域 D で定義され、定義域の全体で複素微分可能、つまり任意の a ∈ D に対し z の a への近づき方に依らずに極限

${\displaystyle f'(a)={\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} z}}(a)=\lim _{z\to a}{\frac {f(z)-f(a)}{z-a}}}$

が定まる複素関数 f(z) をいう^[1][8]。

複素関数 ${\displaystyle f(z)=u(x,y)+iv(x,y)}$ が点 ${\displaystyle z=x+iy}$ において複素微分可能であるためには、その点において実部 ${\displaystyle u}$ と虚部 ${\displaystyle v}$ が全微分可能であり、かつ以下のコーシー・リーマンの方程式を満たすことが必要十分である。

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial x}}={\frac {\partial v}{\partial y}},\quad {\frac {\partial u}{\partial y}}=-{\frac {\partial v}{\partial x}}}$

複素関数については複素微分可能であることと解析的であること、つまり

• 任意の a ∈ D に対して複素係数のべき級数

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }c_{n}\left(z-a\right)^{n}=c_{0}+c_{1}(z-a)^{1}+c_{2}(z-a)^{2}+\cdots }$

が定まり、

• a から一定の距離（収束半径）の範囲でこの級数が収束して、
• 収束値が関数値 f(z) に一致すること

が同値である^[13]。そのため、複素解析においては正則関数 (holomorphic function) 、複素微分可能関数 (complex differentiable function) 、解析関数 (analytic function) という用語は同義になる。複素関数が複素微分可能でない点を特異点 (singularity) という。

複素解析は解析的な領域を主として探求する分野であるが、複素関数に特異点がある場合、特異点を含む領域全体における大局的な挙動は特異点に支配される。したがって、特異点の位置や性質を研究することは複素解析の範疇に含まれる。

特異点には孤立したものと孤立しないものとがあるが、複素解析の対象となるのは主に孤立した特異点である。

孤立特異点は、可除特異点、極 、真性特異点に分類される。除去可能な特異点とは、その点における値を適当に取り直すことにより、複素函数をその近傍で解析的にすることができるときに言う。極とは、複素函数 f(z) の特異点 z = a であって、ある自然数 n を選べば (z − a)ⁿf(z) が z = a で除去可能（正則）となるものをいう。そのような最小の n を極の位数という。真性特異点とは、除去可能でも極でもない孤立特異点をいう^[1]。

孤立特異点ではない特異点として、特異点の集積点や分岐点などが挙げられる。

特異点の集積点とは、その近傍に必ず他の特異点を含んでしまうような特異点をいう。例えば f(z) = 1/sin(1/z) は z = 1/(n\pi) （n は整数）に孤立特異点（極）を持つため、それらの極限点である z = 0 は孤立していない特異点（集積点）となる。

また、対数関数や根号関数などの多価関数を一価関数として扱うために、定義域に分岐切断 (branch cut)^[1] を導入する場合がある。分岐切断の端点を分岐点 (branch point) という。分岐点は、その点の近傍で一価正則な関数の分枝をとることができないという意味で特異点である。分岐切断は（分岐点を固定してホモトープである限り）動かすことができるため、リーマン面^[1][8]を導入することで、分岐点を幾何学的に捉え直すことができる。分岐点は代数分岐点と対数分岐点（代数特異点、対数特異点^[14]）に分類される。

複素関数が微分可能であるということは、実関数が微分可能であるということに比べて遥かに強い制約条件である。一階微分可能な複素関数は無限階微分可能であり^[15]、積分可能であり、解析的である。定義域（もしくは考察の対象となっている領域）の全体で正則な関数を正則関数といい^[1][8]、特に複素平面全体を定義域とする正則関数を整関数という^[1][8]。孤立した極を除いて正則な関数を有理型関数という^[1][8]。指数関数、正弦関数、余弦関数、多項式関数など、多くの初等関数は整関数であるが^[1]、正接関数(${\displaystyle \tan }$)などは極を持つから有理型であり、対数関数は負の実軸に分岐を持ち正則でない^[1][8]。ガンマ関数は負の整数に極を持つから有理型であるが、右半平面に限れば正則である^[1][16][17]。

複素解析においてよく用いられる道具立てに複素線積分がある。コーシーの積分定理によって、閉じた経路で囲まれた領域の内側全体で正則になっている関数を、その経路上で線積分した値はかならず 0 になる^{[1][5][8][11][13]}。

領域内に特異点（極など）を持つ場合、その経路上の積分値は、特異点における留数によって決定される（留数定理）。この定理を用いることで、閉曲線上の積分値を容易に計算できるだけでなく、複雑な実定積分の値を決定することも可能になる^{[1][5][8][11][13]}。

また、正則関数の値は、その点のまわりの円周上での積分値として表すことができる（コーシーの積分公式^{[1][5][8][11][13]}）。

カゾラーティ・ワイエルシュトラスの定理によって真性特異点のまわりでの正則関数の挙動に関する驚くべき性質が導かれる。特異点のまわりでの関数の挙動はテイラー級数に類似のローラン級数によって記述される。

リウヴィルの定理によって複素平面全体で有界な正則関数は定数関数に限られることがわかるが^[1][8]、これをもちいて複素数体が代数的閉体であるという代数学の基本定理の自然で簡単な証明が与えられる。

正則関数の重要な性質に、正則関数の連結な領域上全体での挙動が任意のより小さい領域上の挙動によって決定されてしまう（一致の定理^[1]）、というものがある。大きい領域全体でのもとの関数は小さい領域上に制限して考えたものの解析接続とよばれる^[1][8]。このような原理によってリーマンゼータ関数など、限られた領域上でしか収束しない級数によって定義されていた関数を複素平面全体に正則関数や有理型関数として拡張することが可能になる^[11][18]。場合によっては自然対数などのように複素平面内の単連結でない領域への解析接続が不可能なこともあるが、リーマン面とよばれる曲面を導入することでその上の正則関数としての「解析接続」を考えることができる^{[1][8][11][19][20][21][22]}。

上記の結果はすべて一変数に関する複素解析のものであるが、多変数複素解析についても豊かな理論が存在し^{[23][24][25][26][27][28]}、べき級数展開などの解析的な性質が成立している。一方で共形性などの一変数正則関数が持つ幾何学的な性質は拡張されず、リーマンの写像定理^[8]が示すような複素平面の領域に関する共形関係性などの複素一変数の理論では成立する重要な性質が複素二変数以上の理論ではもはや成立しない。

• 今井功『複素解析と流体力学』日本評論社、1989年。ISBN 9784535606012。国立国会図書館書誌ID:000001999222。https://ndlsearch.ndl.go.jp/books/R100000002-I000001999222。 

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