Trójkąt Pascala 📖 Wikipedia

Trójkąt Pascala – rodzaj matematycznego diagramu, przeważnie w kształcie trójkątnej tablicy liczb. Trójkąt Pascala jest przedstawieniem pewnego nieskończonego ciągu:

• jego wyrazami są skończone ciągi liczb naturalnych. Przeważnie te ciągi są wypisywane w kolejnych wierszach diagramu; innymi słowy trójkąt Pascala to lista list;
• kolejne wiersze są coraz dłuższe. Początkowy ma tylko jeden wyraz, następny ma dwa i każdy następny jest dłuższy od poprzedniego o jeden wyraz^[a];
• każdy z tych skończonych ciągów – zapisywanych wierszami – zaczyna się i kończy jedynką (liczbą 1)^[1]. Przez to na bokach trójkąta znajdują się wyłącznie jedynki;
• pozostałe elementy da się skonstruować z poprzednich wierszy. Każdy wyraz pomiędzy jedynkami jest sumą dwóch wyrazów poprzedniego ciągu – tych znajdujących się bezpośrednio nad wypełnianą komórką^[1]. Tę regułę przedstawia jedna z ilustracji obok i da się ją zapisać wzorem podanym niżej.

Ta struktura ma związki z różnymi obszarami matematyki, np. algebrą i kombinatoryką. To pozwala na inne, równoważne definicje tego trójkąta:

• liczby w kolejnych wierszach to współczynniki dwumianu Newtona – wzoru skróconego mnożenia na potęgę sumy, czyli na ${\displaystyle (a+b)^{n},}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} .}$ Przykładowo^[1]:

${\displaystyle (a+b)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3},}$

przez co wiersz numer trzy (3)^[a] to liczby 1, 3, 3, 1;

${\displaystyle (a+b)^{4}=a^{4}+4a^{3}b+6a^{2}b^{2}+4ab^{3}+b^{4},}$

przez co wiersz numer cztery (4) to liczby 1, 4, 6, 4, 1;

• te same liczby są też opisem kombinacji bez powtórzeń, czyli podzbiorów zbioru skończonego^[2][3]. Zbiór czteroelementowy ma sześć podzbiorów dwuelementowych – zawiera sześć par nieuporządkowanych: ${\displaystyle C_{4}^{2}=6,}$ przez co w wierszu numer cztery (4) na miejscu numer dwa (2) jest właśnie liczba sześć (6).

Te trzy zgodne wielkości – elementy trójkąta Pascala, współczynniki dwumienne i liczby kombinacji bez powtórzeń – zapisuje się tym samym symbolem, znanym jako symbol Newtona^[3]: ${\textstyle {n \choose k},}$ gdzie:

• ${\displaystyle n}$ to numer wiersza, odpowiadający wykładnikowi potęgi oraz mocy nadzbioru w problemie kombinacji;
• ${\displaystyle k}$ to numer miejsca w wierszu, odpowiadający numerowi członu (składnika) w sumie i mocom podzbiorów w problemie kombinacji.

Przykład: W wierszu numer cztery (4) na miejscu numer dwa (2) stoi liczba sześć (6), co zapisuje się: ${\textstyle {4 \choose 2}=6.}$ Konstrukcja trójkąta podana na początku – oparta na jedynkach i dodawaniu – może być zwięźle zapisana wzorem rekurencyjnym^[1]:

${\displaystyle {\begin{cases}{n \choose 0}={n \choose n}=1,\\{n \choose k}={n-1 \choose k-1}+{n-1 \choose k}.\end{cases}}}$

Istnieją bezpośrednie wzory na symbol Newtona – np. używające silni i innych iloczynów^[3] – co pozwala na jeszcze więcej definicji i konstrukcji trójkąta Pascala, bez budowania go wiersz po wierszu dodawaniem. Ten diagram ma też związki z innymi działami matematyki jak teoria liczb i geometria fraktali^[4].

Trójkąt ten opisało niezależnie kilku matematyków:

• Omar Chajjam – perski uczony na przełomie XI i XII wieku^[4];
• Yang Hui(inne języki) – Chińczyk z XIII wieku^[4];
• Niccolò Tartaglia – włoski naukowiec z XVI wieku^[4];
• Blaise Pascal – francuski intelektualista z XVII wieku. Połączył studia nad prawdopodobieństwem z tym trójkątem, osiągając tak znakomite wyniki, że trójkąt ten nazwano trójkątem Pascala^{[potrzebny przypis]}.

chińska wersja trójkąta
(XIII wiek)

trójkąt w publikacji Tartaglii (XVI wiek)

Niccolò Tartaglia
(1500–1557)

wariant trójkąta w pismach Pascala (XVII wiek)

Blaise Pascal
(1623–1662)

• Na obu końcach każdego wiersza są jedynki – zgodnie z różnymi definicjami:

${\displaystyle {n \choose 0}={n \choose n}=1.}$

• Oba „ukośne” ciągi jedynek sąsiadują z ciągami kolejnych dodatnich liczb naturalnych: 1, 2, 3, 4, ... Symbolicznie:

${\displaystyle {n \choose 1}={n \choose n-1}=n.}$

• Dalsze „ukośne” ciągi w tym trójkącie są ciągami niektórych liczb figurowych(inne języki)^[4].

• Ciąg numer dwa (2) to sumy kolejnych liczb naturalnych, czyli liczby trójkątne^[5][6]: 1, 3, 6, 10, 15, ...

${\displaystyle {\begin{aligned}{n \choose 2}&={n \choose n-2}={\frac {1}{2}}n(n-1)=\\&={\frac {1}{2}}(n-1)(n-1+1)=T_{n-1}.\end{aligned}}}$

• Ciąg numer trzy (3) to sumy kolejnych liczb trójkątnych^[5], czyli liczby czworościenne^[6][7]: 1, 4, 10, 20, 35, ...

${\displaystyle {\begin{aligned}{n \choose 3}&={n \choose n-3}={\frac {1}{3!}}n(n-1)(n-2)=\\&={\frac {1}{6}}(n-2)(n-2+1)(n-2+2)=\\&=T_{n-2}^{+}.\end{aligned}}}$

• Ciąg numer cztery (4) to sumy kolejnych liczb czworościennych, czyli ich odpowiednik wielokomórkowowy w przestrzeni czterowymiarowej.

• Każdy wiersz jest symetryczny – odwrócenie kolejności jego komórek daje taki sam wiersz, czyli jest to palindrom. Opisuje to wzór^[8]:

${\displaystyle {n \choose k}={n \choose n-k}.}$

• Suma wszystkich liczb z jednego wiersza to potęga liczby dwa (2), a jej wykładnik jest numerem tego wiersza^[5][7][4]:

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{n \choose k}=2^{n}.}$

• Każdy element trójkąta zawiera liczbę różnych dróg, jakimi można do niego dotrzeć z wierzchołka poruszając się do sąsiednich elementów w lewo w dół oraz w prawo w dół.
• Po usunięciu z trójkąta wszystkich liczb parzystych pozostałe liczby nieparzyste układają się w geometryczny wzór trójkąta Sierpińskiego^[7][4].

Udowodniono też inne tożsamości związane z tym diagramem, opisane w odpowiedniej sekcji artykułu: symbol Newtona.

Usuwanie liczb parzystych z takich diagramów prowadzi do przybliżeń trójkąta Sierpińskiego

Wacław Sierpiński (1882–1969)

W genetyce w odniesieniu do genów kumulatywnych. Biorąc co drugi wiersz zaczynając od wiersza drugiego (1:2:1) trójkąt pokazuje stosunki rozszczepień w przypadku cech determinowanych przez geny kumulatywne^[9].

Każdy współczynnik obrazuje liczbę dróg, którymi można dojść od wierzchołka do danego punktu – ma to wykorzystanie przy analizie prawdopodobieństwa przy użyciu Deski Galtona^[10].

Przykład prostej (ale nieekonomicznej) funkcji rekurencyjnej w języku Pascal, obliczającej element trójkąta Pascala. Wzór wynika z definicji rekurencyjnej elementów trójkąta.

function pascal(n,k:integer):integer;
begin
  if (k=0) or (k=n) then
     pascal := 1
  else
     pascal := pascal(n-1, k-1) + pascal(n-1,k);
end;

Przykład drzewa Pascala napisany w języku C++, n – liczba wierszy, tablica zwraca wartość współczynnika w zadanym wierszu i kolumnie:

  long long **trojkatPascala;
  trojkatPascala= new long long *[n];
  for (int j=0;j<n;j++)
  {
    trojkatPascala[j]=new long long [j+1];
    trojkatPascala[j][0]=1;
    trojkatPascala[j][j]=1;

    for (int i=0; i<j-1; i++)
      trojkatPascala[j][i+1]=trojkatPascala[j-1][i]+trojkatPascala[j-1][i+1];
  }

A oto przykład programu w Pythonie wypisującego liczby z trójkąta Pascala dla zadanej liczby rzędów:

def write_list(list):
    print(' '.join([str(item) for item in list]).center(30))

x = input("Podaj liczbe poziomow: ")
line = [1]
write_list(line)
for i in range(int(x) - 1):
    next_line = [1]
    for j in range(len(line) - 1):
        next_line.append(line[j] + line[j + 1])
    next_line.append(1)
    line = next_line
    write_list(line)

Zobacz multimedia związane z tematem: Trójkąt Pascala

• Szymon Charzyński, Dwumian Newtona, Khan Academy, kanał „KhanAcademyPoPolsku” na YouTube, 22 lipca 2013 [dostęp 2026-02-15].
• Praca Pascala Traité du triangle arithmétique z 1654 (po francusku) wraz z opisem w j. angielskim