Integral pada Trigonometri 📖 Wikipedia

Dalam matematika, Integral pada trigonometri adalah kelopak integral yang melibatkan pada fungsi trigonometri.

Definisi integral sinus dengan nilai berbeda adalah adalah:

${\displaystyle \operatorname {Si} (x)=\int _{0}^{x}{\frac {\sin t}{t}}\,dt}$

${\displaystyle \operatorname {si} (x)=-\int _{x}^{\infty }{\frac {\sin t}{t}}\,dt~.}$

Perhatikan jika not integral sin x ⁄ x adalah niali fungsi sinus, dan apabila nilai nol adalah hasil bilangan bulat pada fungsi Bessel.

Definisi, Si(x) adalah antiturunan dari nilai sin x / x yang terdapat nilai nol pada x = 0, dan si(x) adalah antiturunan yang hasil nilai nol pada x = ∞. Perbedaan mereka diberikan oleh Integral Dirichlet,

${\displaystyle \operatorname {Si} (x)-\operatorname {si} (x)=\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin t}{t}}\,dt={\frac {\pi }{2}}\quad {\text{ or }}\quad \operatorname {Si} (x)={\frac {\pi }{2}}+\operatorname {si} (x)~.}$

Dalam pemrosesan sinyal, osilasi integral sinus menyebabkan overshoot dan artefak dering saat menggunakan filter sinus, dan dering domain frekuensi jika menggunakan filter sinus terpotong sebagai filter low-pass.

Definisi dari integral kosinus yang berbeda adalah

${\displaystyle \operatorname {Cin} (x)=\int _{0}^{x}{\frac {1-\cos t}{t}}\operatorname {d} t~,}$

${\displaystyle \operatorname {Ci} (x)=-\int _{x}^{\infty }{\frac {\cos t}{t}}\operatorname {d} t=\gamma +\ln x-\int _{0}^{x}{\frac {1-\cos t}{t}}\operatorname {d} t\qquad ~{\text{ for }}~\left|\operatorname {Arg} (x)\right|<\pi ~,}$

Darimana nilai γ ≈ 0.5772 1566 ... adalah hasil nilai Konstanta Euler–Mascheroni. Beberapa kosakata banyak yang menggunakan ci bukannya kosakata Ci.

Ci(x) adalah hasil nilai pada antiturunan dari cos x / x (yang menghilang sebagai nilai ${\displaystyle x\to \infty }$). Kedua definisi tersebut terkait dengan:

${\displaystyle \operatorname {Ci} (x)=\gamma +\ln x-\operatorname {Cin} (x)~.}$

Sinus hiperbolik terpisahkan dapat didefinisikan sebagai:

${\displaystyle \operatorname {Shi} (x)=\int _{0}^{x}{\frac {\sinh(t)}{t}}\,dt.}$

Hasil tersebut terkait dengan integral sinus biasa oleh

${\displaystyle \operatorname {Si} (ix)=i\operatorname {Shi} (x).}$

Rumus pada hiperbolik kosinus dengan nilai terpisahkan adalah

${\displaystyle \operatorname {Chi} (x)=\gamma +\ln x+\int _{0}^{x}{\frac {\;\cosh t-1\;}{t}}\operatorname {d} t\qquad ~{\text{ for }}~\left|\operatorname {Arg} (x)\right|<\pi ~,}$

Darimana ${\displaystyle \gamma }$ adalah Konstanta Euler–Mascheroni.

Rumus ini memiliki konstansa:

${\displaystyle \operatorname {Chi} (x)=\gamma +\ln(x)+{\frac {x^{2}}{4}}+{\frac {x^{4}}{96}}+{\frac {x^{6}}{4320}}+{\frac {x^{8}}{322560}}+{\frac {x^{10}}{36288000}}+O(x^{12}).}$

${\displaystyle f(x)\equiv \int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(t)}{t+x}}dt=\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-xt}}{t^{2}+1}}dt=\operatorname {Ci} (x)\sin(x)+\left[{\frac {\pi }{2}}-\operatorname {Si} (x)\right]\cos(x)}$

${\displaystyle g(x)\equiv \int _{0}^{\infty }{\frac {\cos(t)}{t+x}}dt=\int _{0}^{\infty }{\frac {te^{-xt}}{t^{2}+1}}dt=-\operatorname {Ci} (x)\cos(x)+\left[{\frac {\pi }{2}}-\operatorname {Si} (x)\right]\sin(x)}$.

__________________________________ (cf Abramowitz & Stegun, p. 232)

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}\operatorname {Si} (x)&=&{\frac {\pi }{2}}-f(x)\cos(x)-g(x)\sin(x)\\\operatorname {Ci} (x)&=&f(x)\sin(x)-g(x)\cos(x).\\\end{array}}}$

• Integral pada Logaritma

• http://mathworld.wolfram.com/SineIntegral.html
• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001) [1994], "Integral sine", Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4
• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001) [1994], "Integral cosine", Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4