简单函数 📖 Wikipedia

对每个正整數 ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ，把 ${\displaystyle [0,\,\infty )}$  分成 ${\displaystyle 2^{2n}+1}$ 個區間，也就是取

${\displaystyle I_{n,k}=\left[k2^{-n},\,(k+1)2^{-n}\right)}$  ，对于 ${\displaystyle k=0,1,\ldots ,2^{2n}-1}$ 。

以及

${\displaystyle I_{n,2^{2n}}=[2^{n},\infty )}$ 

然後定义可测集合

${\displaystyle A_{n,k}=f^{-1}(I_{n,k})}$ ，对于 ${\displaystyle k=0,1,\ldots ,2^{2n}}$ 。

則可對每個正整數 ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$  定義非負简单函数 ${\displaystyle f_{n}:\Omega \to [0,\,\infty )}$  如下

${\displaystyle f_{n}(\omega )=\sum _{k=0}^{2^{2n}}{\frac {k}{2^{n}}}\cdot {\mathbf {1} }_{A_{n,k}}(\omega )}$ 

也就構成了一個非負遞增簡單函數序列 ${\displaystyle {\{f_{n}\}}_{n\in \mathbb {N} }}$  。

這樣的話，取任意 ${\displaystyle \omega \in \Omega }$  ， 都存在正整數 ${\displaystyle n_{\omega }\in \mathbb {N} }$  使得

${\displaystyle 2^{n_{\omega }}>f(\omega )}$ 

這樣的話，只要 ${\displaystyle n>n_{\omega }}$  的話，都會存在正整數 ${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$  使得

${\displaystyle k2^{-n}\leq f(\omega )<(k+1)2^{-n}}$ 

所以有

${\displaystyle |f(\omega )-f_{n}(\omega )|<2^{-n}}$ 

再考慮到，對任意正實數 ${\displaystyle \epsilon \in (0,\,\infty )}$  ，都存在正整數 ${\displaystyle m\in \mathbb {N} }$  使得

${\displaystyle 2^{m}\epsilon >1}$ 

所以總結一下，對任意正實數 ${\displaystyle \epsilon \in (0,\,\infty )}$ ，取正整數 ${\displaystyle n>\operatorname {max} \{m,\,n_{\omega }\}}$  ，就會有

${\displaystyle |f(\omega )-f_{n}(\omega )|<2^{-n}<\epsilon }$ 

所以簡單函數序列 ${\displaystyle \{f_{n}\}}$  的確會逐点收敛至 ${\displaystyle f}$ 。

注意到若 ${\displaystyle f}$  是有界的，那存在一個跟點 ${\displaystyle \omega \in \Omega }$  選取無關的正整數 ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$  使得

${\displaystyle 2^{n}>f(\omega )}$ 

那這樣的話，對任意正實數 ${\displaystyle \epsilon \in (0,\,\infty )}$ ，取正整數 ${\displaystyle n^{\prime }>\operatorname {max} \{m,\,n\}}$ ，就會得到一致收斂。${\displaystyle \Box }$