Funkcja sinc 📖 Wikipedia

Nieznormalizowana funkcja sinc (od łac. sinus cardinalis, również funkcja interpolująca lub pierwsza sferyczna funkcja Bessela) – funkcja definiowana jako:

\operatorname {sinc} \ x={\begin{cases}{\frac {\sin x}{x}}&{\text{dla }}x\neq 0\\1&{\text{dla }}x=0\end{cases}}

gdzie $\sin$ oznacza funkcję sinus.

Znormalizowana funkcja sinc, oznaczana tym samym symbolem:

\operatorname {sinc} \ x={\begin{cases}{\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}&{\text{dla }}x\neq 0\\1&{\text{dla }}x=0\end{cases}}

Funkcja sinc jest transformatą Fouriera funkcji prostokątnej. Ma szerokie zastosowanie w przetwarzaniu sygnałów i analizie filtrów. W teorii sygnałów zwana jest też jako Sa od angielskiego słowa sampling (próbkowanie).

Własności

edytuj

Lokalne ekstrema

\sin x/x

znajdują się na przecięciu z funkcją cosinus.

Funkcja jest parzysta i różniczkowalna (a tym samym ciągła).

Miejscami zerowymi nieznormalizowanej funkcji sinc są całkowite niezerowe wielokrotności liczby $\pi ,$ dla znormalizowanej funkcji są to wszystkie niezerowe liczby całkowite.

Wykresy funkcji $\sin x/x$ i $\cos x$ przecinają się w tych punktach płaszczyzny, w których $\sin x/x$ osiąga ekstrema lokalne. Innymi słowy $\sin \xi /\xi =\cos \xi$ dla wszystkich punktów $\xi ,$ w których pierwsza pochodna funkcji $\sin x/x$ jest równa zero. W punkcie $\xi _{0}=0$ znajduje się maksimum globalne.