Problèmes non résolus en mathématiques 📖 Wikipedia

Sur les sept problèmes du prix du millénaire fixés par l'Institut de mathématiques Clay, les six qui restent ouverts sont^[1] :

• le problème P = NP ;
• la conjecture de Hodge ;
• l'hypothèse de Riemann ;
• la question de l'existence de la théorie de Yang-Mills avec un gap de masse ;
• la question de l'existence et des propriétés de solutions des équations de Navier-Stokes ;
• la conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer.

Seule la conjecture de Poincaré a été démontrée.

• conjecture de Goldbach et sa version faible (1742)
• conjecture de Syracuse (problème 3x + 1)
• conjecture de Gilbreath
• conjecture abc
• conjecture de Szpiro

• problème de Brocard : existe-t-il des entiers n et m (n > 7) tels que n! + 1 = m² ?
• déterminer les valeurs de ${\displaystyle g(k)}$  et ${\displaystyle G(k)}$  dans le problème de Waring (1770)

• existe-t-il un nombre parfait impair ?
• existe-t-il un nombre quasi parfait ?
• existe-t-il un nombre étrange impair ?
• dix est-il un nombre solitaire ?
• existe-t-il taxicab(5, 2, n) pour n > 1 ?
• la liste des soixante cinq nombres idoines d'Euler est-elle complète ?

• conjecture de Polignac
• conjecture de Fortune : primalité systématique des nombres fortunés
• conjecture des nombres premiers jumeaux

• problèmes de Landau

• existe-t-il une infinité de quadruplets de nombres premiers ?
• existe-t-il une infinité de nombres premiers de Mersenne ?
• existe-t-il une infinité de nombres premiers réguliers ?
• existe-t-il une infinité de nombres de Cullen premiers ?
• existe-t-il une infinité de nombres de Fibonacci qui sont premiers ?
• existe-t-il un nombre double de Mersenne premier pour n plus grand que 31 ?
• les nombres de Fermat ${\displaystyle F_{n}=2^{2^{n}}+1}$  sont-ils tous composés pour ${\displaystyle n\geqslant 5}$  ?

• conjecture de Hadamard

• seizième problème de Hilbert

• existe-t-il un cuboïde parfait ?
• Pour quels entiers m, n > 0 le groupe de Burnside B(m, n) est-il fini ?

• conjecture de Schanuel
• conjecture de Lehmer (en)

• problème de Pompeiu

• la constante d'Euler-Mascheroni, ${\displaystyle \gamma }$ , est-elle rationnelle ?

• Conjecture du coureur solitaire

• nombre de carrés magiques
• établir une formule donnant la probabilité que deux éléments choisis au hasard engendrent le groupe symétrique

• conjecture des familles stables par unions

• les valeurs de nombres de van der Waerden
• les valeurs de nombres de Ramsey, en particulier R(5,5)

• conjecture d'Erdős-Gyárfás
• conjecture d'Erdős-Hajnal
• conjecture d'Erdős-Faber-Lovász (résolue en 2021 pour des graphes suffisamment grands)
• conjecture de Hadwiger
• conjecture de Ringel-Kotzig (alias conjecture de von Koch)
• conjecture de 1-factorisation
• conjecture du graphe trop plein
• conjecture de coloration totale (en)
• conjecture de reconstruction (en) : les graphes sont déterminés par leurs sous-graphes (due à Kelly et Ulam)

• problème de Hadwiger-Nelson

• trouver une formule générale pour le seuil de percolation

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• Liste de conjectures mathématiques
• Problèmes de Hilbert
• Problèmes de Landau
• Problèmes de Smale

• (en) Vincent Blondel et Alexandre Megrestski, Unsolved Problems in Mathematical Systems and Control Theory, PUP, 2009 (1^re éd. 2004), 352 p. (ISBN 978-1-4008-2615-5, lire en ligne).
• (en) Fan Chung et Ronald Graham, Erdős on Graphs: His Legacy of Unsolved Problems, A K Peters, 1999, 142 p. (ISBN 978-1-56881-079-9).
• (en) Hallard T. Croft, Kenneth J. Falconer (en) et Richard K. Guy, Unsolved Problems in Geometry, Springer, coll. « Unsolved Problems in Intuitive Mathematics » (n^o 2), 2013 (1^re éd. 1991) (ISBN 978-1-4612-6962-5).
• (en) Richard K. Guy, Unsolved Problems in Number Theory, New York, Springer, coll. « Unsolved Problems in Intuitive Mathematics » (n^o 1), 2004 (1^re éd. 1981), 437 p. (ISBN 978-0-387-20860-2, lire en ligne).
• (en) Victor Klee et Stan Wagon, Old and New Unsolved Problems in Plane Geometry and Number Theory, MAA, 1991, 333 p. (ISBN 978-0-88385-315-3, lire en ligne).

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