Função de Cobb-Douglas 📖 Wikipedia

Em economia e econometria, a função de produção Cobb-Douglas é uma forma funcional particular da função de produção, amplamente utilizada para representar a relação tecnológica entre as quantidades de dois ou mais insumos (particularmente capital físico e trabalho) e a quantidade de produto que pode ser produzida por esses insumos. A forma Cobb-Douglas foi desenvolvida e testada contra evidências estatísticas por Charles Cobb e Paul Douglas entre 1927 e 1947;^[1] de acordo com Douglas, a própria forma funcional foi desenvolvida anteriormente por Philip Wicksteed.^[2]

Em sua forma mais padrão para a produção de um único bem com dois fatores, a função é dada por:

${\displaystyle Y(L,K)=AL^{\beta }K^{\alpha }}$

onde:

• Y = produção total (o valor real de todos os bens produzidos em um ano ou 365,25 dias)
• L = insumo de trabalho (horas-pessoa trabalhadas em um ano ou 365,25 dias)
• K = insumo de capital (uma medida de todas as máquinas, equipamentos e edifícios; o valor do insumo de capital dividido pelo preço do capital)^{[necessário esclarecer]}
• A = produtividade total dos fatores
• ${\displaystyle 0<\alpha <1}$ e ${\displaystyle 0<\beta <1}$ são as elasticidades de capital e trabalho do produto, respectivamente. Estes valores são constantes determinadas pela tecnologia disponível.

Capital e trabalho são os dois "fatores de produção" da função de produção de Cobb-Douglas.

Paul Douglas explicou que a sua primeira formulação da função de produção Cobb-Douglas foi desenvolvida em 1927; ao buscar uma forma funcional para relacionar as estimativas que havia calculado para trabalhadores e capital, ele conversou com o matemático e colega Charles Cobb, que sugeriu uma função da forma Y = AL^βK^1−β, usada anteriormente por Knut Wicksell, Philip Wicksteed e Léon Walras, embora Douglas apenas reconheça Wicksteed e Walras por suas contribuições.^[3] Não muito depois da morte de Knut Wicksell em 1926, Paul Douglas e Charles Cobb implementaram a função Cobb-Douglas em seus trabalhos cobrindo o tema da teoria do produtor pela primeira vez.^[4] Estimando isto usando o mínimos quadrados, ele obteve um resultado para o expoente do trabalho de 0,75 — o qual foi subsequentemente confirmado pelo National Bureau of Economic Research como sendo 0,741. Trabalhos posteriores na década de 1940 os levaram a permitir que os expoentes sobre K e L variassem, resultando em estimativas que subsequentemente provaram ser muito próximas de medidas aprimoradas de produtividade desenvolvidas na época.^[5]

Uma grande crítica na época foi que as estimativas da função de produção, embora aparentemente precisas, baseavam-se em dados tão escassos que era difícil dar-lhes muita credibilidade. Douglas observou "Devo admitir que fiquei desencorajado com esta crítica e pensei em desistir do esforço, mas houve algo que me disse que eu deveria aguentar."^[5] O grande avanço veio com o uso de dados do censo dos EUA, que eram transversais (cross-sectional) e forneciam um grande número de observações. Douglas apresentou os resultados destas descobertas, juntamente com os de outros países, em seu discurso de 1947 como presidente da American Economic Association. Pouco depois, Douglas entrou para a política e foi acometido de problemas de saúde — o que resultou em pouco desenvolvimento posterior de sua parte. Contudo, duas décadas depois, a sua função de produção era amplamente utilizada, sendo adotada por economistas como Paul Samuelson e Robert Solow.^[5] A função de produção Cobb-Douglas é especialmente notável por ter sido a primeira vez que uma função de produção agregada ou que englobasse toda a economia foi desenvolvida, estimada e depois apresentada à profissão para análise; ela marcou uma mudança histórica na forma como os economistas abordavam a macroeconomia sob uma perspectiva microeconômica.^[6]

A elasticidade do produto em relação a um fator de produção é a variação percentual no produto que se segue a uma variação de 1% nesse fator de produção, mantendo constantes todos os outros fatores de produção, bem como a produtividade total dos fatores.

Na função de produção Cobb-Douglas, a elasticidade de capital do produto é ${\displaystyle \alpha }$, enquanto a elasticidade de trabalho do produto é ${\displaystyle \beta }$.

${\displaystyle {\dfrac {\partial Y/Y}{\partial {K}/K}}=\alpha }$

${\displaystyle {\dfrac {\partial Y/Y}{\partial {L}/L}}=\beta }$

O produto marginal do capital é ${\displaystyle MPK={\frac {\partial Y}{\partial K}}=\alpha {\frac {Y}{K}}>0}$.

O produto marginal do trabalho é ${\displaystyle MPL={\frac {\partial Y}{\partial L}}=\beta {\frac {Y}{L}}>0}$.

Ou seja, aumentar o capital sempre leva a um aumento no produto, aumentar o trabalho sempre leva a um aumento no produto, e aumentar a produtividade total dos fatores ${\displaystyle A}$ aumenta o produto marginal do capital e o produto marginal do trabalho.

A função de produção Cobb-Douglas satisfaz a lei dos rendimentos decrescentes; ou seja, o produto marginal do capital, embora sempre positivo, é decrescente. À medida que o capital aumenta (mantendo constante o trabalho e a produtividade total dos fatores), o produto aumenta, mas a uma taxa decrescente. Um resultado análogo é válido para o trabalho.

Em fórmulas:

${\displaystyle {\frac {\partial MPK}{\partial K}}={\frac {\partial ^{2}Y}{\partial K^{2}}}<0}$

${\displaystyle {\frac {\partial MPL}{\partial L}}={\frac {\partial ^{2}Y}{\partial L^{2}}}<0}$

A taxa marginal de substituição técnica é igual a:

${\displaystyle MRTS(K,L)={\dfrac {MPK}{MPL}}={\dfrac {\alpha }{\beta }}{\dfrac {L}{K}}}$

A elasticidade de substituição é constante e igual a 1.

Um aumento no trabalho eleva o produto marginal do capital, enquanto um aumento no capital eleva o produto marginal do trabalho.

Em fórmulas: ${\displaystyle {\dfrac {\partial MPK}{\partial L}}>0}$; ${\displaystyle {\dfrac {\partial MPL}{\partial K}}>0}$.

Se ${\displaystyle \alpha +\beta =1}$, então os retornos de escala são constantes, o que significa que um aumento do capital K e do trabalho L por um fator k produzirá um aumento no produto Y de um fator k, isto é, ${\displaystyle Y(kL,kK)=kY(L,K)}$.^[7]

Se ${\displaystyle \alpha +\beta <1}$, então os retornos de escala são decrescentes, o que significa que um aumento do capital K e do trabalho L por um fator k produzirá um aumento no produto Y menor que um fator k, isto é, ${\displaystyle Y(kL,kK)<kY(L,K)}$.^[7]

Se ${\displaystyle \alpha +\beta >1}$, então os retornos de escala são crescentes, o que significa que um aumento no capital K e no trabalho L por um fator k produzirá um aumento no produto Y maior que um fator k, isto é, ${\displaystyle Y(kL,kK)>kY(L,K)}$.^[7]

Sob retornos constantes de escala, ${\displaystyle \beta =1-\alpha }$ e ${\displaystyle Y=L\cdot MPL+K\cdot MPK}$.

Numa concorrência perfeita, o produto marginal de um fator de produção é igual ao seu preço. Portanto, ${\displaystyle MPL=w}$ e ${\displaystyle MPK=r}$ onde ${\displaystyle w}$ é a taxa de salário e ${\displaystyle r}$ é o preço do capital, a taxa de juro real.

A produção total pode ser escrita da seguinte forma: ${\displaystyle Y=L\cdot w+K\cdot r}$.

Ou seja, o valor da produção é dividido entre remuneração para o trabalho e remuneração para o capital.

Na sua forma generalizada, a função Cobb-Douglas modela mais de dois bens. A função Cobb-Douglas pode ser escrita como^[8]

${\displaystyle f(x)=A\prod _{i=1}^{n}x_{i}^{\lambda _{i}},\qquad x=(x_{1},\ldots ,x_{n}).}$

onde

• A é um parâmetro de eficiência
• n é o número total de variáveis de insumo (bens)
• x₁, ..., x_n são as quantidades (não negativas) de bem consumido, produzido, etc.
• ${\displaystyle \lambda _{i}}$ é um parâmetro de elasticidade para o bem i

A função tem sido criticada por sua falta de fundamentação. Cobb e Douglas foram influenciados por evidências estatísticas que pareciam mostrar que as participações do trabalho e do capital no produto total eram constantes ao longo do tempo em países desenvolvidos; eles explicaram isso ajustando estatisticamente a regressão de mínimos quadrados de sua função de produção. É agora amplamente aceito que a participação do trabalho está em declínio nas economias industrializadas.^[9][10] A função de produção contém um pressuposto principal que pode nem sempre fornecer a representação mais precisa das capacidades produtivas de um país e das eficiências do lado da oferta. Essa premissa é a de uma "participação constante do trabalho na produção", que pode não ser eficaz quando aplicada aos casos de países cujos mercados de trabalho estão crescendo a taxas significativas.^[11] Outra questão dentro da composição fundamental da função de produção Cobb-Douglas é a presença do viés de equações simultâneas. Quando a concorrência é presumida, o viés de equações simultâneas tem impacto em todos os tipos de função que envolvem as decisões da empresa — incluindo a função de Cobb-Douglas. Nalguns casos, este viés de equações simultâneas não aparece. No entanto, é aparente quando se utilizam aproximações assintóticas dos mínimos quadrados.^[12]

Apesar disso, muitos autores modernos desenvolveram modelos que fornecem funções de produção Cobb-Douglas com base microeconômica, incluindo muitos modelos novos-keynesianos.^[13] É, no entanto, um erro matemático assumir que, só porque a função Cobb-Douglas se aplica ao nível microeconômico, ela também se aplica sempre ao nível macroeconômico. Da mesma forma, não é necessariamente o caso de que uma função Cobb-Douglas macro se aplique ao nível desagregado. Uma microfundamentação inicial da tecnologia agregada de Cobb-Douglas baseada em atividades lineares é derivada em Houthakker (1955).^[14] A função de produção Cobb-Douglas é inconsistente com as estimativas empíricas modernas da elasticidade de substituição entre capital e trabalho, que sugerem que o capital e o trabalho são complementos brutos. Uma meta-análise de 2021 de 3186 estimativas conclui que "o peso da evidência acumulada na literatura empírica rejeita enfaticamente a especificação de Cobb-Douglas."^[15]

Num artigo de 1974,^[16] o economista Anwar Shaikh demonstra que quaisquer dados econômicos, em conjunto com a premissa de uma parcela constante da produção entre capital e trabalho e respeitando o pressuposto de retornos constantes de escala, podem ser expressos na forma de uma função de produção Cobb-Douglas; ele mostra que a função de Cobb-Douglas é na verdade regida por relações algébricas referentes à distribuição do valor agregado entre capital e trabalho, e que a função de produção, portanto, não se baseia fundamentalmente em nenhum pressuposto genuíno sobre a produção em si. Para demonstrar isso, Anwar Shaikh constrói uma função Cobb-Douglas com base em dados fictícios (dados que formam a palavra “Humbug”), que está fortemente correlacionada com a função de produção fictícia subjacente (R² = 0,993). No mesmo artigo, ele também demonstra que o artigo de Robert Solow ‘Technical Change and the Aggregate Production Function’^[17] (1957), que abriu caminho para a abordagem neoclássica na análise econômica do crescimento, comete o mesmo erro."

A função de Cobb-Douglas é frequentemente usada como uma função de utilidade.^[18][8] A utilidade ${\displaystyle {\tilde {u}}}$ é uma função das quantidades ${\displaystyle x_{i}}$ dos ${\displaystyle n}$ bens consumidos:

${\displaystyle {\tilde {u}}(x)=\prod _{i=1}^{n}x_{i}^{\lambda _{i}}}$

As funções de utilidade representam preferências ordinais e não possuem unidades naturais, diferentemente das funções de produção. Como resultado, uma transformação monotônica de uma função de utilidade representa as mesmas preferências. Ao contrário da função de produção de Cobb-Douglas, onde a soma dos expoentes determina o grau das economias de escala, a soma pode ser normalizada para um no caso de uma função de utilidade, porque a normalização é uma transformação monotônica da função de utilidade original. Deste modo, definamos ${\displaystyle \lambda =\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}}$ e ${\displaystyle \alpha _{i}={\frac {\lambda _{i}}{\lambda }}}$, para que ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}=1}$, e escrevamos a função de utilidade como:

${\displaystyle u(x)=\prod _{i=1}^{n}x_{i}^{\alpha _{i}}}$

O consumidor maximiza a utilidade sujeito à restrição orçamentária de que o custo dos bens seja menor que a sua riqueza ${\displaystyle w}$. Se fizermos com que ${\displaystyle p_{i}}$ denote os preços dos bens, ele resolve:

${\displaystyle \max _{x_{i}}\prod _{i=1}^{n}x_{i}^{\alpha _{i}}\quad {\text{ sujeito à restrição }}\quad \sum _{i=1}^{n}p_{i}x_{i}=w}$

A taxa marginal de substituição entre cada dois bens é

${\displaystyle MRS_{i,j}={\frac {\alpha _{i}}{\alpha _{j}}}{x_{j} \over x_{i}}={p_{i} \over p_{j}}\Rightarrow p_{j}x_{j}={p_{i}\alpha _{j} \over \alpha _{i}}x_{i}}$

Ao inserir na restrição orçamentária obtemos

${\displaystyle p_{i}x_{i}+\textstyle \sum _{j\neq i}^{n}\displaystyle p_{i}x_{i}{\frac {\alpha _{j}}{\alpha _{i}}}=w}$

${\displaystyle \Rightarrow p_{i}x_{i}(1+\sum _{j\neq i}^{n}{\frac {\alpha _{j}}{\alpha _{i}}})=w\Rightarrow p_{i}x_{i}{\frac {(\alpha _{i}+\sum _{j\neq i}^{n}\alpha _{j})}{\alpha _{i}}}=w\Rightarrow p_{i}x_{i}{\frac {1}{\alpha _{i}}}=w}$

${\displaystyle \Rightarrow x_{i}^{*}={\frac {\alpha _{i}w}{p_{i}}}\forall i}$

Observe que ${\displaystyle p_{i}x_{i}^{*}=\alpha _{i}w}$, ou seja, o consumidor gasta a fração ${\displaystyle \alpha _{i}}$ da sua riqueza no bem i.

Observe também que cada bem é afetado exclusivamente por seu próprio preço. Ou seja, quaisquer dois bens não são bens substitutos nem bens complementares. Nomeadamente, a sua elasticidade cruzada é igual a zero e a função de demanda cruzada de qualquer bem é descrita por uma linha vertical.

Por fim, repare que quando a renda aumenta certa porcentagem, a demanda pelo bem aumenta na mesma porcentagem. Isto é, a elasticidade da demanda em relação à renda é igual a 1 e, portanto, a curva de Engel é uma linha reta partindo da origem.

Note que esta é a solução para ${\displaystyle u(x)}$ ou ${\displaystyle {\tilde {u}}(x),}$ visto que as mesmas preferências geram a mesma procura.

A função de utilidade indireta pode ser calculada substituindo as demandas ${\displaystyle x_{i}}$ na função de utilidade. Definimos a constante ${\displaystyle K=\prod _{i=1}^{n}\alpha _{i}^{\alpha _{i}}}$ e obtemos:

${\displaystyle v(p,w)=\prod _{i=1}^{n}\left({\frac {w\alpha _{i}}{p_{i}}}\right)^{\alpha _{i}}={\frac {\prod _{i=1}^{n}w^{\alpha _{i}}\cdot \prod _{i=1}^{n}\alpha _{i}^{\alpha _{i}}}{\prod _{i=1}^{n}p_{i}^{\alpha _{i}}}}=K\left({\frac {w}{\prod _{i=1}^{n}p_{i}^{\alpha _{i}}}}\right)}$

o que constitui um caso especial da forma polar de Gorman. A função despesa é o inverso da função de utilidade indireta:^[19]:112

${\displaystyle e(p,u)=(1/K)\prod _{i=1}^{n}p_{i}^{\alpha _{i}}u}$

A função de demanda marshalliana correspondente à função de utilidade Cobb-Douglas.

A forma da função de Cobb-Douglas pode ser estimada como uma relação linear usando a seguinte expressão:

${\displaystyle \ln(Y)=a_{0}+\sum _{i}a_{i}\ln(I_{i})}$

onde

• ${\displaystyle Y={\text{produto}}}$
• ${\displaystyle I_{i}={\text{insumos}}}$
• ${\displaystyle a_{i}={\text{coeficientes do modelo}}}$

O modelo também pode ser escrito como

${\displaystyle Y=e^{a_{0}}(I_{1})^{a_{1}}\cdot (I_{2})^{a_{2}}\cdots }$

Como observado, a função comum de Cobb-Douglas usada na modelagem macroeconômica é

${\displaystyle Y=K^{\alpha }L^{\beta }}$

onde K é o capital e L é o trabalho. Quando os expoentes do modelo somam um, a função de produção é homogênea de primeira ordem, o que implica retornos constantes de escala — ou seja, se todos os insumos forem escalonados por um fator comum maior que zero, a produção será escalonada pelo mesmo fator.

A função de produção de elasticidade de substituição constante (CES, do inglês constant elasticity of substitution) (no caso de dois fatores) é

${\displaystyle Y=A\left(\alpha K^{\gamma }+(1-\alpha )L^{\gamma }\right)^{1/\gamma },}$

na qual o caso limite γ = 0 corresponde a uma função de Cobb-Douglas, ${\displaystyle Y=AK^{\alpha }L^{1-\alpha },}$ com retornos de escala constantes.^[20]

Para ver isso, o logaritmo da função CES:

${\displaystyle \ln(Y)=\ln(A)+{\frac {1}{\gamma }}\ln \left(\alpha K^{\gamma }+(1-\alpha )L^{\gamma }\right)}$

pode ser levado ao limite aplicando a regra de L'Hôpital:

${\displaystyle \lim _{\gamma \to 0}\ln(Y)=\ln(A)+\alpha \ln(K)+(1-\alpha )\ln(L).}$

Logo, ${\displaystyle Y=AK^{\alpha }L^{1-\alpha }}$.

A função de produção translog é uma aproximação da função CES por um polinômio de Taylor de segunda ordem na variável ${\displaystyle \gamma }$ em torno de ${\displaystyle \gamma =0}$, isto é, o caso Cobb-Douglas.^[21][22] O nome translog significa "logarítmico transcendental". É frequentemente usada na econometria pelo fato de ser linear nos parâmetros, o que significa que o mínimos quadrados poderia ser usado se pudesse ser assumido que os insumos são exógenos.

No caso de dois fatores acima, a função de produção translog é

${\displaystyle {\begin{aligned}\ln(Y)&=\ln(A)+\alpha \ln(K)+(1-\alpha )\ln(L)+{\frac {1}{2}}\gamma \alpha (1-\alpha )\left[\ln(K)-\ln(L)\right]^{2}\\&=\ln(A)+a_{K}\ln(K)+a_{L}\ln(L)+b_{KK}\ln ^{2}(K)+b_{LL}\ln ^{2}(L)+b_{KL}\ln(K)\ln(L)\end{aligned}}}$

onde ${\displaystyle a_{K}}$, ${\displaystyle a_{L}}$, ${\displaystyle b_{KK}}$, ${\displaystyle b_{LL}}$, e ${\displaystyle b_{KL}}$ são definidos de forma apropriada. No caso de três fatores, a função de produção translog é:

${\displaystyle {\begin{aligned}\ln(Y)&=\ln(A)+a_{L}\ln(L)+a_{K}\ln(K)+a_{M}\ln(M)+b_{LL}\ln ^{2}(L)+b_{KK}\ln ^{2}(K)+b_{MM}\ln ^{2}(M)\\&{}\qquad \qquad +b_{LK}\ln(L)\ln(K)+b_{LM}\ln(L)\ln(M)+b_{KM}\ln(K)\ln(M)\\&=f(L,K,M).\end{aligned}}}$

onde ${\displaystyle A}$ = produtividade total dos fatores, ${\displaystyle L}$ = trabalho, ${\displaystyle K}$ = capital, ${\displaystyle M}$ = materiais e suprimentos, e ${\displaystyle Y}$ = produto.

• Função de produção de Leontief
• Fronteira de possibilidades de produção
• Teoria da produção

• Renshaw, Geoff (2005). Maths for Economics. New York: Oxford University Press. pp. 516–526. ISBN 0-19-926746-4 

O Commons possui uma categoria com imagens e outros ficheiros sobre Função de Cobb-Douglas

• Anatomy of Cobb–Douglas Type Production Functions in 3D
• Analysis of the Cobb–Douglas as a utility function Arquivado em 2014-10-03 no Wayback Machine
• Closed Form Solution for a firm with an N-input production function