Weierstraßsche ℘-Funktion 📖 Wikipedia

In der Mathematik bezeichnet die Weierstraßsche ℘-Funktion (sprich „… p-Funktion“, siehe Weierstraß-p) eine bestimmte elliptische Funktion in Abhängigkeit eines Gitters. Benannt ist sie nach dem Mathematiker Karl Weierstraß. Mithilfe der Weierstraßschen ℘-Funktion und ihrer Ableitung lassen sich elliptische Kurven über den komplexen Zahlen parametrisieren.

Seien ${\displaystyle \omega _{1},\omega _{2}\in \mathbb {C} \setminus \{0\}}$ zwei komplexe Zahlen, welche über ${\displaystyle \mathbb {R} }$ linear unabhängig sind und sei ${\displaystyle \Lambda :=\{m\omega _{1}+n\omega _{2}:m,n\in \mathbb {Z} \}}$ das Gitter, das von ${\displaystyle \omega _{1}}$ und ${\displaystyle \omega _{2}}$ erzeugt wird. Dann ist die ℘-Funktion zum Gitter ${\displaystyle \Lambda }$ wie folgt definiert:

${\displaystyle \wp (z,\omega _{1},\omega _{2}):=\wp (z,\Lambda ):={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{\lambda \in \Lambda \setminus \{0\}}\left({\frac {1}{(z-\lambda )^{2}}}-{\frac {1}{\lambda ^{2}}}\right)}$

Die Reihe konvergiert lokal gleichmäßig absolut in ${\displaystyle \mathbb {C} \setminus \Lambda }$. Häufig wird statt ${\displaystyle \wp (z,\omega _{1},\omega _{2})}$ auch nur ${\displaystyle \wp (z)}$ geschrieben.

Die Weierstraßsche ℘-Funktion ist gerade so konstruiert, dass sie einen Pol der Ordnung 2 an jeder Stelle ${\displaystyle \lambda \in \Lambda }$ hat. Da die Summe ${\displaystyle \textstyle \sum _{\lambda \in \Lambda }{\frac {1}{(z-\lambda )^{2}}}}$ alleine nicht absolut konvergieren würde, ist es nötig, den Term ${\displaystyle -{\tfrac {1}{\lambda ^{2}}}}$ hinzuzufügen.^[1]

Eine Kubik der Form ${\displaystyle C_{g_{2},g_{3}}^{\mathbb {C} }=\{(x,y)\in \mathbb {C} ^{2}:y^{2}=4x^{3}-g_{2}x+g_{3}\}}$, wobei ${\displaystyle g_{2},g_{3}\in \mathbb {C} }$ komplexe Zahlen sind mit ${\displaystyle g_{2}^{3}-27g_{3}^{2}\neq 0}$, lässt sich nicht rational parametrisieren.^[2] Dennoch würde man gerne eine Parametrisierung finden.

Für die Quadrik ${\displaystyle K=\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}:x^{2}+y^{2}=1\}}$, also den Einheitskreis, existiert bekanntlich eine (nichtrationale) Parametrisierung durch die Sinusfunktion und deren Ableitung, die Kosinusfunktion:

${\displaystyle \psi :\mathbb {R} /2\pi \mathbb {Z} \to K}$, ${\displaystyle t\mapsto (\sin(t),\cos(t))}$.

Wegen der Periodizität des Sinus und des Kosinus ist hier ${\displaystyle \mathbb {R} /2\pi \mathbb {Z} }$ als Definitionsbereich gewählt, um eine injektive Abbildung zu erhalten.

Auf ganz analoge Weise erhält man auch eine Parametrisierung der Kubik ${\displaystyle C_{g_{2},g_{3}}^{\mathbb {C} }}$ mit der doppeltperiodischen ℘-Funktion (siehe im Abschnitt „Zusammenhang mit elliptischen Kurven“). Diese Parametrisierung hat dann den Definitionsbereich ${\displaystyle \mathbb {C} /\Lambda }$, was topologisch einem Torus entspricht.^[3]

Es gibt noch eine weitere Analogie zu den trigonometrischen Funktionen. Betrachtet man die Integralfunktion

${\displaystyle a(x)=\int _{0}^{x}{\frac {dy}{\sqrt {(1-y^{2})}}}}$,

dann lässt sich diese durch die Substitution ${\displaystyle y=\sin(t)}$ und ${\displaystyle s=\arcsin(x)}$ vereinfachen. Dadurch ergibt sich:

${\displaystyle a(x)=\int _{0}^{s}dt=s=\arcsin(x)}$

Das bedeutet, ${\displaystyle a^{-1}(x)=\sin(x)}$. Also erhält man den Sinus als Umkehrfunktion einer Integralfunktion.^[4]

Auch elliptische Funktionen sind Umkehrfunktionen von Integralfunktionen, den elliptischen Integralen. Insbesondere erhält man die ℘-Funktion auf folgende Weise:

Sei

${\displaystyle u(z)=-\int _{z}^{\infty }{\frac {ds}{\sqrt {4s^{3}-g_{2}s-g_{3}}}}}$.

Dann lässt sich ${\displaystyle u^{-1}}$ auf die komplexe Ebene fortsetzen und entspricht der ℘-Funktion.^[5]

• ${\displaystyle \wp }$ ist eine meromorphe Funktion mit einem Pol der Ordnung 2 an jedem Gitterpunkt ${\displaystyle \lambda \in \Lambda }$.^[6]
• ${\displaystyle \wp }$ ist eine homogene Funktion, denn es gilt

${\displaystyle \wp (\lambda z,\lambda \omega _{1},\lambda \omega _{2})=\lambda ^{-2}\wp (z,\omega _{1},\omega _{2})}$ für ${\displaystyle z\in \mathbb {C} }$ und ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} \setminus \{0\}}$.

• ℘ ist eine gerade Funktion. Das heißt, es gilt ${\displaystyle \wp (z)=\wp (-z)}$ für alle ${\displaystyle z\in \mathbb {C} \setminus \Lambda }$, wie man auf folgende Weise sieht:

${\displaystyle {\begin{aligned}\wp (-z)&={\frac {1}{(-z)^{2}}}+\sum _{\lambda \in \Lambda \setminus \{0\}}\left({\frac {1}{(-z-\lambda )^{2}}}-{\frac {1}{\lambda ^{2}}}\right)\\&={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{\lambda \in \Lambda \setminus \{0\}}\left({\frac {1}{(z+\lambda )^{2}}}-{\frac {1}{\lambda ^{2}}}\right)\\&={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{\lambda \in \Lambda \setminus \{0\}}\left({\frac {1}{(z-\lambda )^{2}}}-{\frac {1}{\lambda ^{2}}}\right)=\wp (z)\end{aligned}}}$

Die vorletzte Gleichheit folgt aus ${\displaystyle \{-\lambda :\lambda \in \Lambda \}=\Lambda }$. Da die Summe absolut konvergiert, ändert diese Umordnung am Grenzwert nichts.

• Die Ableitung von ${\displaystyle \wp }$ ist gegeben durch

${\displaystyle \wp '(z)=-2\sum _{\lambda \in \Lambda }{\frac {1}{(z-\lambda )^{3}}}}$.^[7]

• ${\displaystyle \wp }$ und ${\displaystyle \wp '}$ sind doppeltperiodisch mit den Perioden ${\displaystyle \omega _{1}}$ und ${\displaystyle \omega _{2}}$. Das bedeutet, es gilt^[7]:

${\displaystyle \wp (z+\omega _{1})=\wp (z)=\wp (z+\omega _{2})}$ und ${\displaystyle \wp '(z+\omega _{1})=\wp '(z)=\wp '(z+\omega _{2})}$.

Daraus folgt, dass für alle ${\displaystyle \lambda \in \Lambda }$ gilt: ${\displaystyle \wp (z+\lambda )=\wp (z)}$ und ${\displaystyle \wp '(z+\lambda )=\wp '(z)}$. Funktionen, die meromorph und doppeltperiodisch sind, nennt man auch elliptische Funktionen.

Sei ${\displaystyle r:=\min\{{|\omega }|:\omega \neq 0\}}$. Dann hat die ℘-Funktion für ${\displaystyle 0<|z|<r}$ folgende Laurent-Reihe:

${\displaystyle \wp (z)={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{n=1}^{\infty }(2n+1)G_{2n+2}z^{2n}}$,

wobei

${\displaystyle G_{n}=\sum _{0\neq \omega \in \Lambda }\omega ^{-n}}$ für ${\displaystyle n\geq 3}$ sogenannte Eisensteinreihen sind.^[7]

Wir setzen ${\displaystyle g_{2}=60G_{4}}$ und ${\displaystyle g_{3}=140G_{6}}$. Dann erfüllt die ℘-Funktion folgende Differentialgleichung^[7]:

${\displaystyle \wp '^{2}(z)=4\wp ^{3}(z)-g_{2}\wp (z)-g_{3}}$.

Dies lässt sich verifizieren, indem man den Pol an der Stelle ${\displaystyle z=0}$ durch eine Linearkombination von Potenzen von ${\displaystyle \wp }$ und ${\displaystyle \wp '}$ eliminiert. Dann erhält man eine ganze, elliptische Funktion, die nach dem Satz von Liouville konstant sein muss.

Die Koeffizienten ${\displaystyle g_{2}}$ und ${\displaystyle g_{3}}$, die in der Differentialgleichung auftauchen, heißen die Invarianten. Man betrachtet ${\displaystyle g_{2}}$ und ${\displaystyle g_{3}}$ als Funktionen in ${\displaystyle \omega _{1}}$ und ${\displaystyle \omega _{2}}$ und definiert die Diskriminante ${\displaystyle \Delta :=g_{2}^{3}-27g_{3}^{2}}$.

Wie man an der Eisensteinreihe erkennen kann, sind ${\displaystyle g_{2}}$ und ${\displaystyle g_{3}}$ homogene Funktionen vom Grad −4 und −6. Das heißt, es gilt:

${\displaystyle g_{2}(\lambda \omega _{1},\lambda \omega _{2})=\lambda ^{-4}g_{2}(\omega _{1},\omega _{2})}$, ${\displaystyle g_{3}(\lambda \omega _{1},\lambda \omega _{2})=\lambda ^{-6}g_{3}(\omega _{1},\omega _{2})}$, ${\displaystyle \Delta (\lambda \omega _{1},\lambda \omega _{2})=\lambda ^{-12}\Delta (\omega _{1},\omega _{2})}$ für ${\displaystyle \lambda \neq 0}$.^[8]

Wenn ${\displaystyle \omega _{1}}$ und ${\displaystyle \omega _{2}}$ so gewählt sind, dass ${\displaystyle \operatorname {Im} \left({\frac {\omega _{2}}{\omega _{1}}}\right)>0}$, können ${\displaystyle g_{2},g_{3}}$ und ${\displaystyle \Delta }$ als Funktionen in einer komplexen Variablen in der oberen Halbebene ${\displaystyle \mathbb {H} :=\{z\in \mathbb {C} :\operatorname {Im} (z)>0\}}$ aufgefasst werden.

Dazu setzt man ${\displaystyle \tau ={\frac {\omega _{2}}{\omega _{1}}}}$ und erhält:

${\displaystyle g_{2}(1,\tau )=\omega _{1}^{4}g_{2}(\omega _{1},\omega _{2})}$, ${\displaystyle g_{3}(1,\tau )=\omega _{1}^{6}g_{3}(\omega _{1},\omega _{2})}$ und ${\displaystyle \Delta (1,\tau )=\omega _{1}^{12}\Delta (\omega _{1},\omega _{2})}$.^[8]

Also werden ${\displaystyle g_{2}}$, ${\displaystyle g_{3}}$ und ${\displaystyle \Delta }$ dadurch nur skaliert. Man setzt nun:

${\displaystyle g_{2}(\tau ):=g_{2}(1,\tau )}$, ${\displaystyle g_{3}(\tau ):=g_{3}(1,\tau )}$, ${\displaystyle \Delta (\tau ):=\Delta (1,\tau )}$

Damit erhält man sogenannte Modulformen. Auch die ℘-Funktion kann auf diese Weise als Modulform aufgefasst werden.

Mit ${\displaystyle e_{1}}$, ${\displaystyle e_{2}}$ und ${\displaystyle e_{3}}$ werden die folgendermaßen definierten Halbwerte der ${\displaystyle \wp }$-Funktion bezeichnet.

${\displaystyle {\begin{aligned}e_{1}&:=\wp \left({\frac {\omega _{1}}{2}}\right)\\e_{2}&:=\wp \left({\frac {\omega _{2}}{2}}\right)\\e_{3}&:=\wp \left({\frac {\omega _{1}+\omega _{2}}{2}}\right)\end{aligned}}}$

Sie sind paarweise verschieden und hängen vom Gitter ${\displaystyle \Lambda }$ ab, aber nicht von der Basis ${\displaystyle \omega _{1},\omega _{2}}$.^[9]

${\displaystyle e_{1}}$, ${\displaystyle e_{2}}$ und ${\displaystyle e_{3}}$ sind Nullstellen von ${\displaystyle 4\wp (z)^{3}-g_{2}\wp (z)-g_{3}}$ und erfüllen die Gleichung

${\displaystyle e_{1}+e_{2}+e_{3}=0.}$

Weil diese Nullstellen verschieden sind, verschwindet die Diskriminante ${\displaystyle \Delta }$ nicht in der oberen Halbebene.^[10] Die Differentialgleichung lässt sich in der folgenden Form schreiben:

${\displaystyle \wp '^{2}(z)=4\,(\wp (z)-e_{1})\,(\wp (z)-e_{2})\,(\wp (z)-e_{3})}$

Dies bedeutet, dass die Halbperioden Nullstellen von ${\displaystyle \wp '}$ sind.

Die Invarianten ${\displaystyle g_{2}}$ und ${\displaystyle g_{3}}$ lassen sich auf folgende Weise durch die Konstanten ${\displaystyle e_{1},e_{2},e_{3}}$ ausdrücken:^[11]

${\displaystyle {\begin{aligned}g_{2}&=-4\,(e_{1}e_{2}+e_{1}e_{3}+e_{2}e_{3})\\g_{3}&=4\,e_{1}e_{2}e_{3}\end{aligned}}}$

${\displaystyle e_{1}}$, ${\displaystyle e_{2}}$ und ${\displaystyle e_{3}}$ hängen mit der elliptischen Lambda-Funktion zusammen:

${\displaystyle \lambda (\tau )={\frac {e_{3}-e_{2}}{e_{1}-e_{2}}},\quad \tau ={\frac {\omega _{2}}{\omega _{1}}}.}$

Für numerische Zwecke ist es oft zweckmäßig, die weierstraßsche ${\displaystyle \wp }$-Funktion durch die jacobischen elliptischen Funktionen auszudrücken.

Die grundlegenden Beziehungen dafür sind:^[12]

${\displaystyle \wp (z)=e_{3}+{\frac {e_{1}-e_{3}}{\operatorname {sn} ^{2}w}}=e_{2}+(e_{1}-e_{3}){\frac {\operatorname {dn} ^{2}w}{\operatorname {sn} ^{2}w}}=e_{1}+(e_{1}-e_{3}){\frac {\operatorname {cn} ^{2}w}{\operatorname {sn} ^{2}w}}.}$

Dabei sind ${\displaystyle e_{1}}$, ${\displaystyle e_{2}}$ und ${\displaystyle e_{3}}$ die oben beschriebenen Halbwerte. Das Argument ${\displaystyle w}$ ist gegeben durch

${\displaystyle w=z{\sqrt {e_{1}-e_{3}}}.}$

Für den elliptischen Modul ${\displaystyle k}$ der Funktionen ${\displaystyle \operatorname {sn} ,\operatorname {cn} ,\operatorname {dn} }$ gilt

${\displaystyle k={\sqrt {\frac {e_{2}-e_{3}}{e_{1}-e_{3}}}}.}$

Die Funktion ${\displaystyle \wp }$ lässt sich auch durch die jacobischen Thetafunktionen ${\displaystyle \vartheta _{1},\vartheta _{2},\vartheta _{3},\vartheta _{4}}$ ausdrücken:^[13]

${\displaystyle \wp (z,\omega _{1},\omega _{2})=e_{1}+\left({\frac {\pi \vartheta _{3}(0,\tau )\vartheta _{4}(0,\tau )\vartheta _{2}(\pi z/\omega _{1},\tau )}{\omega _{1}\vartheta _{1}(\pi z/\omega _{1},\tau )}}\right)^{2}}$

Dabei ist ${\displaystyle \tau ={\frac {\omega _{2}}{\omega _{1}}}}$ das Verhältnis der Perioden. Der Halbwert ${\displaystyle e_{1}=\wp \left({\frac {\omega _{1}}{2}}\right)}$ kann berechnet werden durch

${\displaystyle e_{1}={\frac {\pi ^{2}}{3\omega _{1}^{2}}}\left((\vartheta _{2}(0,\tau ))^{4}+2(\vartheta _{4}(0,\tau ))^{4}\right)}$.

Sei ein Gitter ${\displaystyle \Lambda :=\{m\omega _{1}+n\omega _{2}:m,n\in \mathbb {Z} \}}$, wobei ${\displaystyle \omega _{1},\omega _{2},g_{2},g_{3}\in \mathbb {C} \setminus \{0\}}$ komplexe Zahlen sind, sodass ${\displaystyle \omega _{1}}$ und ${\displaystyle \omega _{2}}$ linear unabhängig über ${\displaystyle \mathbb {R} }$ sind.

Betrachte nun die ebene kubische Kurve

${\displaystyle C_{g_{2},g_{3}}^{\mathbb {C} }=\{(x,y)\in \mathbb {C} ^{2}:y^{2}=4x^{3}-g_{2}x+g_{3}\}}$

bzw. die projektive Kurve

${\displaystyle {\bar {C}}_{g_{2},g_{3}}^{\mathbb {C} }=\{(x,y)\in \mathbb {C} ^{2}:y^{2}=4x^{3}-g_{2}x+g_{3}\}\cup \{\infty \}\subset \mathbb {P} _{\mathbb {C} }^{2}}$.

Für diese Kubiken, auch Weierstraßkubiken genannt, existieren keine Parametrisierungen durch rationale Funktionen, falls ${\displaystyle \Delta \neq 0}$ ist.^[2] Trotzdem gibt es eine explizite Parametrisierung mittels der ℘-Funktion und ihrer Ableitung ${\displaystyle \wp '}$.

Damit erhält man die Abbildung

${\displaystyle \varphi \colon \mathbb {C} \setminus \Lambda \to C_{g_{2},g_{3}}^{\mathbb {C} },z\mapsto (\wp (z),\wp '(z))}$.

Indem man das Gitter ${\displaystyle \Lambda }$ auf den Punkt ${\displaystyle \infty }$ abbildet, kann die Abbildung fortgesetzt werden zu

${\displaystyle \varphi \colon \mathbb {C} \to {\bar {C}}_{g_{2},g_{3}}^{\mathbb {C} }}$.

Aufgrund der Periodizität von ${\displaystyle \wp }$ und ${\displaystyle \wp '}$ ist diese Abbildung jedoch nicht injektiv. Wählt man stattdessen ${\displaystyle \mathbb {C} /\Lambda }$, erhält man dann die Abbildung

${\displaystyle {\tilde {\varphi }}\colon \mathbb {C} /\Lambda \to {\bar {C}}_{g_{2},g_{3}}^{\mathbb {C} }}$.^[14]

${\displaystyle \mathbb {C} /\Lambda }$ ist dabei sowohl eine abelsche Gruppe als auch ein topologischer Raum, versehen mit der Quotiententopologie.

Die Abbildung ${\displaystyle {\tilde {\varphi }}}$ ist nun bijektiv und parametrisiert die Kurve ${\displaystyle {\bar {C}}_{g_{2},g_{3}}^{\mathbb {C} }}$.

Weiter lässt sich zeigen, dass jede glatte Weierstraßkubik auf diese Weise gegeben ist. Also dass es für jedes Paar ${\displaystyle g_{2},g_{3}\in \mathbb {C} }$ mit ${\displaystyle \Delta =g_{2}^{3}-27g_{3}^{2}\neq 0}$ ein Gitter ${\displaystyle \Lambda :=\{m\omega _{1}+n\omega _{2}:m,n\in \mathbb {Z} \}}$ gibt, sodass

${\displaystyle g_{2}=g_{2}(\omega _{1},\omega _{2})}$ und ${\displaystyle g_{3}=g_{3}(\omega _{1},\omega _{2})}$.^[15]

Die Aussage, dass alle elliptischen Kurven über ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ durch Modulformen über ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ parametrisiert werden können, ist als Modularitätssatz bekannt. Dieser Satz ist von großer Bedeutung in der Zahlentheorie. Andrew Wiles konnte mit einem Teilbeweis des Modularitätssatzes 1995 den Großen Fermatschen Satz beweisen.

Seien ${\displaystyle z,w\in \mathbb {C} }$, sodass ${\displaystyle z,w,z+w,z-w\notin \Lambda }$. Dann gilt:^[16]

${\displaystyle \wp (z+w)={\frac {1}{4}}\left[{\frac {\wp '(z)-\wp '(w)}{\wp (z)-\wp (w)}}\right]^{2}-\wp (z)-\wp (w)}$.

Darüber hinaus gibt es noch die Verdopplungsformel:^[16]

${\displaystyle \wp (2z)={\frac {1}{4}}\left[{\frac {\wp ''(z)}{\wp '(z)}}\right]^{2}-2\wp (z)}$.

Diese Formeln haben auch eine geometrische Bedeutung, wenn man wie im vorherigen Abschnitt die elliptische Kurve ${\displaystyle {\bar {C}}_{g_{2},g_{3}}^{\mathbb {C} }}$ zusammen mit der Abbildung ${\displaystyle {\tilde {\varphi }}\colon \mathbb {C} /\Lambda \to {\bar {C}}_{g_{2},g_{3}}^{\mathbb {C} }}$ betrachtet.

${\displaystyle \mathbb {C} /\Lambda }$ ist als Faktorgruppe selbst eine Gruppe. Diese Gruppenstruktur überträgt sich auch auf die Kurve ${\displaystyle {\bar {C}}_{g_{2},g_{3}}^{\mathbb {C} }}$ (siehe Gruppenoperationen auf elliptischen Kurven) und kann dort geometrisch interpretiert werden.

Damit ist ${\displaystyle {\tilde {\varphi }}}$ dann insbesondere ein Gruppenisomorphismus^[17]. Nun lässt sich das Additionstheorem auch auf folgende Weise geometrisch formulieren:

Die Summe dreier paarweise verschiedener Punkte ${\displaystyle a,b,c\in {\bar {C}}_{g_{2},g_{3}}^{\mathbb {C} }}$ist genau dann Null, wenn sie auf einer gemeinsamen Geraden in ${\displaystyle \mathbb {P} _{\mathbb {C} }^{2}}$ liegen^[17].

Dies ist äquivalent dazu, dass gilt:

${\displaystyle \det \left({\begin{array}{rrr}1&\wp (u+v)&-\wp '(u+v)\\1&\wp (v)&\wp '(v)\\1&\wp (u)&\wp '(u)\\\end{array}}\right)=0}$,

wobei ${\displaystyle \wp (u)=a}$, ${\displaystyle \wp (v)=b}$ und ${\displaystyle u,v\notin \Lambda }$ gelte.^[18]

• äquianharmonischer Fall

1. ↑ Apostol, Tom M.: Modular functions and Dirichlet series in number theory. Springer-Verlag, New York 1976, ISBN 0-387-90185-X, S. 9. 
2. ↑ ^{a b} Hulek, Klaus.: Elementare Algebraische Geometrie : Grundlegende Begriffe und Techniken mit zahlreichen Beispielen und Anwendungen. 2., überarb. u. erw. Aufl. 2012. Vieweg+Teubner Verlag, Wiesbaden 2012, ISBN 978-3-8348-2348-9, S. 8. 
3. ↑ Eberhard Freitag, Rolf Busam: Funktionentheorie 1. 4., korr. und erw. Auflage. Springer, Berlin 2006, ISBN 978-3-540-32058-6, S. 259. 
4. ↑ Jeremy Gray: Real and the complex : a history of analysis in the 19th century. Cham 2015, ISBN 978-3-319-23715-2, S. 71. 
5. ↑ Eberhard Freitag, Rolf Busam: Funktionentheorie 1. 4., korr. und erw. Auflage. Springer, Berlin 2006, ISBN 978-3-540-32058-6, S. 294. 
6. ↑ Eberhard Freitag, Rolf Busam: Funktionentheorie 1. 4., korr. und erw. Auflage. Springer, Berlin 2006, ISBN 978-3-540-32058-6, S. 268. 
7. ↑ ^{a b c d} Apostol, Tom M.: Modular functions and Dirichlet series in number theory. Springer-Verlag, New York 1976, ISBN 0-387-90185-X, S. 11. 
8. ↑ ^{a b} Apostol, Tom M.: Modular functions and Dirichlet series in number theory. Springer-Verlag, New York 1976, ISBN 0-387-90185-X, S. 14. 
9. ↑ Eberhard Freitag, Rolf Busam: Funktionentheorie 1. 4., korr. und erw. Auflage. Springer, Berlin 2006, ISBN 978-3-540-32058-6, S. 270. 
10. ↑ Tom M. Apostol: Modular functions and Dirichlet series in number theory. Springer, New York 1976, ISBN 0-387-90185-X, S. 13 (englisch). 
11. ↑ K. Chandrasekharan: Elliptic functions. Springer, Berlin 1985, ISBN 0-387-15295-4, S. 33 (englisch). 
12. ↑ Theresa M. Korn: Mathematical Handbook for Scientists and Engineers. McGraw–Hill, New York 1961, S. 721 (englisch). 
13. ↑ NIST Digital Library of Mathematical Functions. Abgerufen am 21. Oktober 2025 (Bezeichnungen angepasst). 
14. ↑ Hulek, Klaus.: Elementare Algebraische Geometrie : Grundlegende Begriffe und Techniken mit zahlreichen Beispielen und Anwendungen. 2., überarb. u. erw. Aufl. 2012. Vieweg+Teubner Verlag, Wiesbaden 2012, ISBN 978-3-8348-2348-9, S. 12. 
15. ↑ Hulek, Klaus.: Elementare Algebraische Geometrie : Grundlegende Begriffe und Techniken mit zahlreichen Beispielen und Anwendungen. 2., überarb. u. erw. Aufl. 2012. Vieweg+Teubner Verlag, Wiesbaden 2012, ISBN 978-3-8348-2348-9, S. 111. 
16. ↑ ^{a b} Eberhard Freitag, Rolf Busam: Funktionentheorie 1. 4., korr. und erw. Auflage. Springer, Berlin 2006, ISBN 978-3-540-32058-6, S. 286. 
17. ↑ ^{a b} Eberhard Freitag, Rolf Busam: Funktionentheorie 1. 4., korr. und erw. Auflage. Springer, Berlin 2006, ISBN 978-3-540-32058-6, S. 287. 
18. ↑ Eberhard Freitag, Rolf Busam: Funktionentheorie 1. 4., korr. und erw. Auflage. Springer, Berlin 2006, ISBN 978-3-540-32058-6, S. 288.