范德蒙矩陣 📖 Wikipedia

多项式插值问题就是取找到一个多项式 ${\displaystyle p\left(x\right)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\dots +a_{n}x^{n}}$  对给定的数据点 ${\displaystyle \left(x_{0},y_{0}\right),\dots ,\left(x_{m},y_{m}\right)}$  满足 ${\displaystyle p\left(x_{0}\right)=y_{0},\dots ,p\left(x_{m}\right)=y_{m}}$ ，这个问题可以在之后以范德蒙德矩阵为工具，用线性代数的语言改述。通过矩阵乘法${\displaystyle V\mathbf {a} =\mathbf {y} }$ ，${\displaystyle V}$  可以计算 ${\displaystyle p(x)}$  在点 ${\displaystyle x=x_{0},\ x_{1},\dots ,\ x_{m}}$ 处的值。其中 ${\displaystyle \mathbf {a} =\left(a_{0},\dots ,a_{n}\right)^{T}}$  是系数向量，而 ${\displaystyle \mathbf {y} =\left(y_{0},\dots ,y_{m}\right)^{T}=\left(p\left(x_{0}\right),\dots ,p\left(x_{m}\right)\right)^{T}}$  是值的向量都写作列向量的形式：

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&x_{0}&x_{0}^{2}&\dots &x_{0}^{n}\\1&x_{1}&x_{1}^{2}&\dots &x_{1}^{n}\\1&x_{2}&x_{2}^{2}&\dots &x_{2}^{n}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\1&x_{m}&x_{m}^{2}&\dots &x_{m}^{n}\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}a_{0}\\a_{1}\\\vdots \\a_{n}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}p\left(x_{0}\right)\\p\left(x_{1}\right)\\\vdots \\p\left(x_{m}\right)\end{bmatrix}}.}$$ 若 ${\displaystyle n=m}$  且 ${\displaystyle x_{0},\dots ,x_{n}}$  互异，则 ${\displaystyle V}$  是行列式不为零的方块矩阵，也就是可逆矩阵。由此，对给定的 ${\displaystyle V}$ 和${\displaystyle \mathbf {y} }$ ，可以透过求解方程 ${\displaystyle V\mathbf {a} =\mathbf {y} }$  来得到其系数${\displaystyle \mathbf {a} }$  以求出所需的 ${\displaystyle p(x)}$ :^[4]

${\displaystyle \mathbf {a} =V^{-1}\mathbf {y} }$ .

此时，从系数到多项式的值是以${\displaystyle V}$ 表示的线性双射(一一映射)，并且此插值问题有唯一解，这个结果叫做唯一性定理，是多项式环上的中国剩余定理（英语：Chinese remainder theorem#Over univariate polynomial rings and Euclidean domains）的特例。

在统计学中，方程 ${\displaystyle V\mathbf {a} =\mathbf {y} }$  表示范德蒙德矩阵是多项式回归的设计矩阵。

在数值分析中，可以朴素地使用高斯消元法作为一个算法来求解 ${\displaystyle V\mathbf {a} =\mathbf {y} }$ ，其时间复杂度为 ${\displaystyle O\left(n^{3}\right)}$ 。利用范德蒙德矩阵的结构，可利用牛顿差商插值法^[5]（或拉格朗日插值法^[6][7]）以 ${\displaystyle O\left(n^{2}\right)}$  的复杂度求解这个方程，同时也给出了 ${\displaystyle V^{-1}}$  的LU分解。即使 ${\displaystyle V}$  是病态的，这个求解算法也可以得到极其精确的结果^[2] （见多项式插值）。

范德蒙德行列式可在对称群的表示论（英语：Representation_theory_of_the_symmetric_group）使用。^[8]

当${\displaystyle x_{i}}$ 的值属于一个有限域时，范德蒙德行列式也被称作Moore行列式（英语：Moore matrix），并且具有对BCH码与里德-所罗门码理论来说重要的性质，

离散傅里叶变换由离散傅里叶变换矩阵定义，此矩阵是一特定的范德蒙德矩阵，其中 ${\displaystyle x_{i}}$  处是 ${\displaystyle n}$  次单位根(${\displaystyle \mathrm {e} ^{\frac {2i\pi \mathrm {i} }{n}}\quad \left(i=0,\dots ,n-1\right)}$ ). 快速傅里叶变换通过计算此矩阵与向量的乘积达到了 ${\displaystyle O\left(n\log ^{2}\left(n\right)\right)}$ 的时间复杂度。^[9] 详见多点多项式求值（英语：Polynomial_evaluation#Multipoint_evaluation）。

在物理学理论的量子霍尔效应中，范德蒙德行列式指出，填充因子为1的Laughlin波函数（英语：Laughlin wavefunction）等于斯莱特行列式；然而在分数量子霍尔效应中，对于不同于1的填充因子，这一说法不再成立。

在多面体几何中, 范德蒙德矩阵矩阵给出了循环多胞形（英语：cyclic polytope）任意 ${\displaystyle k}$  维面的正规化量度。 具体来说，若 ${\displaystyle F=C_{d}\left(t_{i_{1}},\dots ,t_{i_{k+1}}\right)}$  是循环多胞形 ${\displaystyle C_{d}(T)\subset \mathbb {R} ^{d}}$  的一个${\displaystyle k}$ 维面，而这个循环多胞形又与 ${\displaystyle T=\{t_{1}<\cdots <t_{N}\}\subset \mathbb {R} }$  对应，则有： $${\displaystyle \mathrm {nvol} (F)={\frac {1}{k!}}\prod _{1\leq m<n\leq k+1}{(t_{i_{n}}-t_{i_{m}})}.}$$ 

• 拉格朗日插值法
• 朗斯基行列式