Distribuzione di Poisson 📖 Wikipedia

Distribuzione di Poisson ${\displaystyle {\mathcal {P}}(\lambda )}$
Funzione di distribuzione discreta
Funzione di ripartizione
Parametri	${\displaystyle \lambda >0\ }$
Supporto	${\displaystyle \mathbb {N} }$
Funzione di densità	${\displaystyle {\frac {\lambda ^{n}}{n!}}e^{-\lambda }}$
Funzione di ripartizione	${\displaystyle {\frac {\Gamma (n+1,\lambda )}{n!}}}$ (dove ${\displaystyle \Gamma (x,y)}$ è la funzione gamma incompleta)
Valore atteso	${\displaystyle \lambda \ }$
Mediana	circa ${\displaystyle \left[\lambda +{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{50\lambda }}\right]}$
Moda	${\displaystyle [\lambda ]\ }$ sia ${\displaystyle \lambda }$ che ${\displaystyle \lambda -1}$ se ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {N} }$
Varianza	${\displaystyle \lambda }$
Indice di asimmetria	${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {\lambda }}}}$
Curtosi	${\displaystyle {\frac {1}{\lambda }}}$
Entropia	${\displaystyle \lambda -\lambda \log \lambda +e^{-\lambda }\sum {\frac {\lambda ^{n}\log(n!)}{n!}}}$
Funzione generatrice dei momenti	${\displaystyle e^{\lambda (e^{t}-1)}}$
Funzione caratteristica	${\displaystyle e^{\lambda (e^{it}-1)}}$

In teoria delle probabilità la distribuzione di Poisson (o poissoniana) è una distribuzione di probabilità discreta che esprime le probabilità per il numero di eventi che si verificano successivamente ed indipendentemente in un dato intervallo di tempo, noto il numero atteso ${\displaystyle \lambda }$ di eventi. Ad esempio, si utilizza una distribuzione di Poisson per misurare il numero di chiamate ricevute in un call-center in un determinato arco temporale, come una mattinata lavorativa. Questa distribuzione è anche nota come legge degli eventi rari.

Prende il nome dal matematico francese Siméon-Denis Poisson.

La distribuzione di Poisson ${\displaystyle {\mathcal {P}}_{\lambda }(n)}$ è una distribuzione di probabilità discreta data da

${\displaystyle {\mathcal {P}}_{\lambda }(n)={\frac {\lambda ^{n}}{n!}}e^{-\lambda }}$ per ogni ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$,

dove ${\displaystyle \lambda }$ è il numero medio di eventi per intervallo di tempo, mentre ${\displaystyle n}$ è il numero di eventi per intervallo di tempo (lo stesso col quale si misura ${\displaystyle \lambda }$) di cui si vuole la probabilità.

Dallo sviluppo in serie dell'esponenziale ${\displaystyle e^{\lambda }=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\lambda ^{n}}{n!}}}$ si trova ${\displaystyle {\mathcal {P}}(\mathbb {N} )=1}$.

La distribuzione di Poisson può essere ottenuta come limite delle distribuzioni binomiali ${\displaystyle {\mathcal {B}}(n,p)}$, con ${\displaystyle \lambda =np}$, ovvero si ha una convergenza in legge di ${\displaystyle {\mathcal {B}}(n,\lambda /n)}$ a ${\displaystyle {\mathcal {P}}(\lambda )}$. Per questa convergenza la distribuzione di Poisson è anche nota come legge (di probabilità) degli eventi rari.

In statistica si adotta l'approssimazione della distribuzione binomiale tramite la distribuzione di Poisson quando n>20 e p<1/20, o preferibilmente quando n>100 e np<10.

Una variabile aleatoria Y di distribuzione di Poisson ha

• valore atteso

${\displaystyle E[Y]=\sum _{n=0}^{\infty }n{\frac {\lambda ^{n}}{n!}}e^{-\lambda }=\sum _{n=1}^{\infty }n{\frac {\lambda ^{n}}{n!}}e^{-\lambda }=\lambda e^{-\lambda }\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\lambda ^{n-1}}{(n-1)!}}=\lambda e^{-\lambda }\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\lambda ^{n}}{n!}}=\lambda }$

• varianza

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{Var}}(Y)&=E[Y^{2}]-(E[Y])^{2}\\&=\sum _{n=0}^{\infty }n^{2}{\frac {\lambda ^{n}}{n!}}e^{-\lambda }-\lambda ^{2}\\&=\sum _{n=0}^{\infty }n(n-1){\frac {\lambda ^{n}}{n!}}e^{-\lambda }+\sum _{n=0}^{\infty }n{\frac {\lambda ^{n}}{n!}}e^{-\lambda }-\lambda ^{2}\\&=\sum _{n=2}^{\infty }n(n-1){\frac {\lambda ^{n}}{n!}}e^{-\lambda }+\lambda -\lambda ^{2}\\&=\lambda ^{2}e^{-\lambda }\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {\lambda ^{(n-2)}}{(n-2)!}}+\lambda -\lambda ^{2}\\&=\lambda ^{2}+\lambda -\lambda ^{2}\\&=\lambda \end{aligned}}}$

(Riscriviamo ${\displaystyle n^{2}}$ come ${\displaystyle n(n-1)+n}$)

• funzione generatrice dei momenti

${\displaystyle g(t,Y)=E[e^{tY}]=e^{-\lambda }\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\lambda ^{n}e^{tn}}{n!}}=e^{-\lambda }e^{\lambda e^{t}}=e^{\lambda (e^{t}-1)}}$

• indici di antisimmetria (in inglese: skewness) e di curtosi

${\displaystyle \gamma _{1}={\frac {1}{\sqrt {\lambda }}}}$, ${\displaystyle \gamma _{2}={\frac {1}{\lambda }}}$

• entropia

${\displaystyle \lambda -\lambda \log \lambda +e^{-\lambda }\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\lambda ^{n}\log(n!)}{n!}}}$

che ha un andamento ${\displaystyle {\frac {1+\log(2\pi )}{2}}\ +\ {\frac {1}{2}}\log \lambda \ -\ {\frac {1}{12}}\lambda ^{-1}\ -\ {\frac {1}{24}}\lambda ^{-2}\ -\ {\frac {19}{360}}\lambda ^{-3}\ +\ O(\lambda ^{-4})}$

Se ${\displaystyle Y_{1}}$ e ${\displaystyle Y_{2}}$ sono due variabili aleatorie indipendenti con distribuzioni di Poisson di parametri ${\displaystyle \lambda _{1}}$ e ${\displaystyle \lambda _{2}}$ rispettivamente, allora

• la loro somma ${\displaystyle Y=Y_{1}+Y_{2}}$ segue ancora una distribuzione di Poisson, di parametro ${\displaystyle \lambda =\lambda _{1}+\lambda _{2}}$;
• la distribuzione di ${\displaystyle Y_{1}}$ condizionata da ${\displaystyle Y=n}$ è la distribuzione binomiale di parametri ${\displaystyle \lambda _{1}/\lambda }$ e ${\displaystyle n}$.

Più in generale, la somma ${\displaystyle Y=Y_{1}+...+Y_{n}}$ di n variabili aleatorie indipendenti con distribuzioni di Poisson di parametri ${\displaystyle \lambda _{1},...,\lambda _{n}}$ segue una distribuzione di Poisson di parametro ${\displaystyle \lambda =\lambda _{1}+...+\lambda _{n}}$, mentre la distribuzione di ${\displaystyle Y_{1}}$ condizionata da ${\displaystyle Y=n}$ è la distribuzione binomiale di parametri ${\displaystyle \lambda _{1}/\lambda }$ e ${\displaystyle n}$.

Se la distribuzione di Poisson di parametro ${\displaystyle \lambda }$ descrive il numero di eventi in un intervallo di tempo, il tempo di attesa tra due eventi successivi è descritto dalla distribuzione esponenziale di parametro ${\displaystyle \lambda }$.

La distribuzione di Skellam è definita come la distribuzione della differenza tra due variabili aleatorie indipendenti aventi entrambe distribuzioni di Poisson.

La mistura di distribuzioni tra la distribuzione di Poisson e la distribuzione Gamma (che governa il parametro ${\displaystyle \lambda }$) è la distribuzione di Pascal, che talvolta è anche detta Gamma-Poisson.

La distribuzione di Panjer, definita per ricorsione, generalizza la distribuzione di Poisson: ${\displaystyle P(n)={\frac {\lambda }{n}}P(n-1)}$.

Per ${\displaystyle \lambda >1000}$ una variabile aleatoria con distribuzione di Poisson ${\displaystyle {\mathcal {P}}(\lambda )}$ viene solitamente approssimata con la distribuzione normale ${\displaystyle {\mathcal {N}}(\lambda ,\lambda )}$; per parametri più piccoli (${\displaystyle \lambda >10}$) sono invece necessarie delle correzioni di continuità, legate ai diversi domini delle due distribuzioni (una discreta, una continua).

La radice quadrata di una variabile aleatoria con distribuzione di Poisson è approssimata da una distribuzione normale meglio di quanto lo sia la variabile stessa.

Il parametro ${\displaystyle \lambda }$ può essere stimato come la media delle osservazioni effettuate. Questo stimatore è privo di bias, ovvero ha come valore atteso ${\displaystyle \lambda }$ stesso.

Se il parametro ${\displaystyle \lambda }$ di una distribuzione di Poisson è distribuito a priori secondo la distribuzione Gamma, allora lo è anche a posteriori dell'osservazione ${\displaystyle Y=y}$.

Questa distribuzione fu introdotta da Siméon-Denis Poisson nel 1838 nel suo articolo Recherches sur la probabilité des jugements en matière criminelle et en matière civile^[1][2]. Secondo alcuni storici questa variabile casuale dovrebbe portare il nome di Ladislaus Bortkevič considerati gli studi fatti da questo nel 1898.^[3]

In realtà la poissoniana come approssimazione della binomiale era già stata introdotta nel 1718 da Abraham de Moivre in Doctrine des chances.^[4]

• (EN) Donald E. Knuth, Seminumerical Algorithms, The Art of Computer Programming, Volume 2, Addison-Wesley, 1969.
• (EN) Ronald J. Evans, J. Boersma, N. M. Blachman, A. A. Jagers, The Entropy of a Poisson Distribution: Problem 87-6, in SIAM Review, vol. 30, n. 2, 1988, pp. 314-317, DOI:10.1137/1030059.
• Sheldon M. Ross, Probabilità e statistica per l'ingegneria e le scienze, Trento, Apogeo, 2003, ISBN 88-7303-897-2.

• Distribuzione binomiale
• Mistura di distribuzioni
• Convergenza di variabili casuali

• Wikimedia Commons contiene immagini o altri file sulla distribuzione di Poisson

• Poisson, distribuzione di, in Enciclopedia della Matematica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013.
• Poisson, distribuzione di, in Dizionario di Economia e Finanza, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2012.
• (EN) Richard Routledge, Poisson distribution, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.
• (EN) Eric W. Weisstein, Poisson Distribution, su MathWorld, Wolfram Research.
• (EN) Poisson distribution, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.
• (EN) Denis Howe, Poisson distribution, in Free On-line Dictionary of Computing. Disponibile con licenza GFDL
• (EN) IUPAC Gold Book, "Poisson distribution", su goldbook.iupac.org.

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