Silnia 📖 Wikipedia

Silnia jest funkcją liczbową, której dziedziną są liczby naturalne z zerem, a przeciwdziedziną liczby naturalne bez zera

${\displaystyle !\colon \mathbb {N} _{0}\to \mathbb {N} _{+}}$ 

Silnią liczby naturalnej dodatniej ${\displaystyle n}$  nazywa się iloczyn wszystkich liczb naturalnych dodatnich nie większych niż ${\displaystyle n}$  oraz dodatkowo przyjmuje się ${\displaystyle 0!=1}$ , tj.^[2]

${\displaystyle n!={\begin{cases}1&{\mbox{ dla }}n=0\\[2pt]1\cdot 2\cdot 3\cdot \ldots \cdot (n-2)\cdot (n-1)\cdot n&{\mbox{ dla }}n\geqslant 1\end{cases}}}$ 

co można zapisać równoważnie używając greckiej litery ${\displaystyle \Pi }$ :

${\displaystyle n!={\begin{cases}1&{\mbox{ dla }}n=0\\[2pt]\prod _{k=1}^{n}k&{\mbox{ dla }}n\geqslant 1\end{cases}}}$ 

Definicja rekurencyjna silni:

${\displaystyle n!={\begin{cases}1&{\mbox{ dla }}n=0\\[2pt]n\cdot (n-1)!&{\mbox{ dla }}n\geqslant 1\end{cases}}}$ 

${\displaystyle 1!=1}$ 

${\displaystyle 2!=1\cdot 2=2}$ 

${\displaystyle 3!=1\cdot 2\cdot 3=6}$ 

${\displaystyle 4!=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4=24}$ 

${\displaystyle 5!=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5=120}$ 

${\displaystyle 6!=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot 6=720}$ 

Ze względu na szybki wzrost wartości silni w obliczeniach komputerowych może wystąpić przekroczenie zakresu liczb całkowitych. Jeśli wynik przechowywany jest w zmiennej 32-bitowej (ze znakiem lub bez), to przepełnienie nastąpi już dla ${\displaystyle n=13.}$  Dla zmiennej 64-bitowej przepełnienie nastąpi dla ${\displaystyle n=21.}$ 

n = 7 n! = 5040
n = 8 n! = 40320
n = 9 n! = 362880
n = 10 n! = 3628800
n = 11 n! = 39916800
n = 12 n! = 479001600
n = 13 int overflow

Problem dokładnych obliczeń wartości silni został rozwiązany z chwilą wprowadzenia arytmetyki dowolnej precyzji, która operuje na liczbach całkowitych dowolnego rozmiaru (ograniczeniem jest tu zasadniczo jedynie dostępna pamięć RAM komputera). Podane wartości silni w tabeli powyżej dla bardzo wielkich liczb mogą zostać precyzyjnie obliczone tą właśnie metodą.

Gdy nie jest konieczne uzyskanie dokładnej wartości silni, to wygodne jest wykorzystanie jej przybliżeń.

(1) Przybliżenie za pomocą wzoru Stirlinga^[2]:

${\displaystyle n!\approx {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}(1+{\frac {1}{12n}}+{\frac {1}{288n^{2}}}+\dots )}$ 

(2) Wyrazy szeregu w nawiasie powyższego wzoru są coraz mniejsze; dla dużych ${\displaystyle n}$  można ograniczyć się do pierwszego wyrazu

${\displaystyle n!\approx {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}}$ 

(3) Z powyższego wzoru wynika wzór na postać logarytmu naturalnego silni:

${\displaystyle \ln(n!)\approx n\ln n-n+{\frac {1}{2}}\ln(2\pi n).}$ 

(4) Przydatne jest również oszacowanie:

${\displaystyle n!=o(n^{n}),}$ 

gdzie ${\displaystyle o}$  to tzw. małe o, co oznacza, że dla rosnących wartości ${\displaystyle n}$  wartość ${\displaystyle n!}$  jest coraz mniejsza od ${\displaystyle n^{n};}$  formalnie wyraża to wzór:

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {n!}{n^{n}}}=0}$ .

Symbol ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }}$  oznacza granicę ciągu liczbowego.

(5) Inne przybliżenie silni:

${\displaystyle n!={\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}e^{\alpha _{n}},}$ 

gdzie wykładnik ${\displaystyle \alpha _{n}}$  spełnia nierówności

${\displaystyle {\frac {1}{12n+1}}\leqslant \alpha _{n}\leqslant {\frac {1}{12n}}}$ 

${\displaystyle n!=n\cdot (n-1)!}$ 

Wzrost funkcji ${\displaystyle n!}$  wraz ze wzrostem ${\displaystyle n}$  jest szybszy niż wzrost wykładniczy funkcji ${\displaystyle e^{n}}$ , ale wolniejszy niż podwójnej funkcji wykładniczej(inne języki) ${\displaystyle e^{e^{n}}}$  ^[3].

Dla dużych wartości n tempo wzrostu silni jest proporcjonalne do ${\displaystyle n^{n+1/2}\approx n^{n},}$  ale odwrotnie proporcjonalne do czynnika wykładniczego ${\displaystyle e^{n}}$ .

Jeżeli liczba ${\displaystyle n!}$  rozkłada się na czynniki pierwsze ${\displaystyle p_{i},i=1,2,\dots ,k}$  takie że

${\displaystyle n!=\prod _{i=1}^{k}p_{i}^{\alpha _{i}}=p_{1}^{\alpha _{1}}\cdot p_{2}^{\alpha _{2}}\cdot \ldots \cdot p_{k}^{\alpha _{k}},}$ 

to wykładnik liczby pierwszej ${\displaystyle p_{i}}$  oblicza się ze wzoru

${\displaystyle \alpha _{i}=\sum _{j=1}^{\left\lfloor \log _{p_{i}}n\right\rfloor }\left\lfloor {\frac {n}{p_{i}^{j}}}\right\rfloor ,}$ 

gdzie ${\displaystyle \lfloor x\rfloor }$  oznacza część całkowitą liczby ${\displaystyle x.}$ 

Liczbę zer na końcu w zapisie dziesiętnym ${\displaystyle n!,}$  gdzie ${\displaystyle n}$  jest liczbą naturalną, można ustalić na podstawie wzoru

${\displaystyle f(n)=\sum _{i=1}^{k}\left\lfloor {\frac {n}{5^{i}}}\right\rfloor =\left\lfloor {\frac {n}{5^{1}}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {n}{5^{2}}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {n}{5^{3}}}\right\rfloor +\ldots +\left\lfloor {\frac {n}{5^{k}}}\right\rfloor ,}$ 

przy czym ${\displaystyle k}$  wyznacza się z nierówności

${\displaystyle 5^{k}\leqslant n<5^{k+1}.}$ 

Przykłady

(1) Dla ${\displaystyle n=26}$  mamy ${\displaystyle 5^{2}<26<5^{3}}$ , czyli ${\displaystyle k=2;}$  liczba ${\displaystyle 26!}$  ma na końcu

${\displaystyle f(26)=\left\lfloor {\frac {26}{5}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {26}{5^{2}}}\right\rfloor =5+1=6}$  zer.

Dokładne obliczenie za pomocą arytmetyki wielkiej precyzji potwierdza to, gdyż

${\displaystyle 26!=403\,291461\,126605\,635584\,000000}$ 

(2) Jeżeli ${\displaystyle n<5,}$  to nierówności są spełnione przez ${\displaystyle k=0;}$  w tym wypadku mamy ${\displaystyle f(n)=0,}$  co oznacza że silnie liczb ${\displaystyle <5}$  nie mają zer na końcu; jest to zgodne z tabelą podana na początku artykułu.

Oznaczenie ${\displaystyle n!}$  dla silni wprowadził w 1808 roku Christian Kramp.

Silnia pozwala zwięźle zapisać wzory i zależności z różnych działów matematyki jak:

• analiza matematyczna, np. mianownik każdego składnika wzoru Taylora ma postać ${\displaystyle k!,}$ 
• geometria ${\displaystyle n}$ -wymiarowa, np. stosunek miary ${\displaystyle n}$ -wymiarowego równoległościanu do miary sympleksu rozpiętego na wszystkich wierzchołkach równoległościanu z wyjątkiem jednego jest równy ${\displaystyle n!,}$ 
• kombinatoryka, np. liczba wszystkich permutacji zbioru ${\displaystyle n}$ -elementowego jest równa ${\displaystyle n!.}$ 

Liczba, która jest równa sumie silni swoich cyfr zapisu dziesiętnego, w języku angielskim nosi nazwę factorion. Istnieją tylko cztery liczby naturalne o tej własności: 1, 2, 145 i 40585^[4].

Uogólnieniem silni na zbiór liczb rzeczywistych i zespolonych jest funkcja Γ, która spełnia zależność rekurencyjną^[5]

${\displaystyle \Gamma (z+1)=z\cdot \Gamma (z).}$ 

Ponieważ ${\displaystyle \Gamma (1)=1}$ ^[6], więc z powyższego wynika

${\displaystyle \Gamma (n+1)=n!}$ 

dla wszystkich liczb naturalnych ${\displaystyle n.}$ 

Funkcja ${\displaystyle \Gamma }$  jest jedyną funkcją meromorficzną logarytmicznie wypukłą będącą uogólnieniem silni. W punktach całkowitych niedodatnich ma bieguny.

Silnią podwójną liczby naturalnej ${\displaystyle n}$  określa się iloczyn liczb naturalnych z krokiem 2 do ${\displaystyle n.}$  Silnię podwójną oznacza się ${\displaystyle n!!.}$ 

Rekurencyjna definicja silni podwójnej^[7] :

${\displaystyle n!!={\begin{cases}1&{\mbox{ dla }}n=0{\mbox{ lub }}n=1\\[2pt]n\cdot (n-2)!!&{\mbox{ dla }}n\geqslant 2\end{cases}}}$ 

Przykład:

${\displaystyle 8!!=2\cdot 4\cdot 6\cdot 8=384}$ 

${\displaystyle 9!!=1\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 9=945}$ 

Własności podwójnej silni:

${\displaystyle n!=n!!(n-1)!!}$ 

${\displaystyle (2n)!!=2^{n}n!}$ 

${\displaystyle (2n+1)!!={\frac {(2n+1)!}{(2n)!!}}={\frac {(2n+1)!}{2^{n}n!}}}$ 

Zależność od funkcji gamma:

${\displaystyle (2n-1)!!=\Gamma \left(n+{\frac {1}{2}}\right)\left({\frac {2^{n}}{\sqrt {\pi }}}\right)}$ 

gdyż^[7] 

${\displaystyle \Gamma \left(n+{\frac {1}{2}}\right)={\sqrt {\pi }}{\frac {(2n-1)!!}{2^{n}}}.}$ 

Silnia podwójna jest szczególnym przypadkiem silni wielokrotnej. Analogicznie definiuje się silnię potrójną ${\displaystyle n!!!}$ , poczwórną ${\displaystyle n!^{(4)}}$  i ogólnie, silnię ${\displaystyle k}$ -tą, ${\displaystyle k=1,2,\dots }$ , którą oznaczamy symbolem ${\displaystyle n!^{(k)}.}$  Definiuje się ją następująco^[8] :

${\displaystyle n!^{(k)}={\begin{cases}1&{\mbox{ gdy }}n=0\\[2pt]n&{\mbox{ gdy }}0<n\leqslant k\\[2pt]n\cdot (n-k)!^{(k)}&{\mbox{ gdy }}n>k\end{cases}}}$ 

Czyli np.:

${\displaystyle n!=n(n-1)(n-2)\cdots 2\cdot 1}$ 

${\displaystyle n!!=n(n-2)(n-4)\cdots }$ 

${\displaystyle n!!!=n(n-3)(n-6)\cdots }$ 

${\displaystyle n^{(4)}!=n(n-4)(n-8)\cdots }$ 

• M. Abramowitz, I. Stegun, Handbook of Mathematical Functions, Washington 1970, str. 255 .
• I. N. Bronsztejn, K. A. Siemiendiajew, Poradnik encyklopedyczny Matematyka, Warszawa: PWN, 2019, str. 191-193. .
• Koshy T., Discrete Mathematics with Applications, Elsevier Publications 2006, s. 219.

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Factorial, [w:] MathWorld, Wolfram Research [dostęp 2020-12-12]  (ang.).
• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Double Factorial, [w:] MathWorld [online], Wolfram Research [dostęp 2026-04-26]  (ang.).
• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Multifactorial, [w:] MathWorld [online], Wolfram Research [dostęp 2026-04-26]  (ang.).
• How to Take the Factorial of Any Number, [w:] Lines That Connect [online], YouTube, 13 sierpnia 2022  (ang.).
• http://factorielle.free.fr (ang. • fr. • cz.)