Fonction caractéristique (théorie des ensembles) 📖 Wikipedia

Le principal intérêt de ces fonctions est de transformer des relations entre ensembles en relations entre des fonctions^[1].

Si A et B sont deux sous-ensembles de E alors

et

L'application

${\displaystyle \chi :{\mathcal {P}}(E)\to \{0,1\}^{E},\quad A\mapsto \chi _{A}}$ 

est une bijection, de l'ensemble ${\displaystyle {\mathcal {P}}(E)}$  des parties de E dans l'ensemble {0, 1}^E des applications de E dans {0, 1}.

Sa bijection réciproque est l'application

${\displaystyle \{0,1\}^{E}\to {\mathcal {P}}(E),\quad f\mapsto f^{-1}(\{1\})}$ ,

où f ⁻¹({1}) désigne l'image réciproque par f du singleton {1}, c'est-à-dire la partie de E constituée des éléments x tels que f(x) = 1.

Si ${\displaystyle F}$  est une partie d'un espace topologique E et si la paire {0, 1} est munie de la topologie discrète (qui est la topologie induite par la topologie usuelle de ℝ), l'ensemble des points de E en lesquels la fonction χ_F : E → {0, 1} est discontinue est la frontière de F.

Exemple

${\displaystyle E=\mathbb {R} }$  et ${\displaystyle F=}$  ℚ

χ_ℚ : ℝ → {0, 1} est la fonction qui associe 1 à tout rationnel et 0 à tout irrationnel.

La fonction de Dirichlet : ℝ → ℝ est définie de la même manière (autrement dit : sa corestriction à {0, 1} est χ_ℚ).

Dans ${\displaystyle \mathbb {R} }$ , la frontière de ${\displaystyle \mathbb {Q} }$  est ${\displaystyle \mathbb {R} }$  (puisque ℚ et ℝ\ℚ sont denses dans ℝ) donc χ_ℚ est discontinue partout.

La fonction de Dirichlet est donc également discontinue partout.

Si (E, Ω) est un espace mesurable (c'est-à-dire si Ω est une tribu sur E), une partie de E est un ensemble mesurable (c'est-à-dire appartient à cette tribu) si et seulement si son indicatrice est une fonction mesurable.

La fonction indicatrice régularisée de l'intervalle ${\displaystyle [a,b]}$  dans ${\displaystyle \mathbb {R} }$  peut être obtenue par la formule ${\displaystyle {\tilde {\chi }}_{[a,b]}=((\operatorname {sgn}((x-a)(b-x))+1)/2}$  où ${\displaystyle \operatorname {sgn} }$  est la fonction signe ; elle vaut 1/2 au lieu de 1 aux bornes de l'intervalle. Pour un pavé ${\displaystyle \Pi [a_{i},b_{i}]}$  on utilise un produit de telles fonctions.

• Fonction simple (combinaison linéaire de fonctions indicatrices)
• Fonction étagée (fonction simple mesurable)
• Fonction porte

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Indicator function » (voir la liste des auteurs).
• (en) Gerald Folland (en), Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications, 2^e éd., John Wiley & Sons, 1999
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• (en) Martin Davis (ed.), The Undecidable, Raven Press Books, New York, 1965
• (en) Stephen Cole Kleene (1952), Introduction to Metamathematics, Wolters-Noordhoff et North Holland, Netherlands, 6^e éd. corrigée, 1971
• (en) George Boolos, John P. Burgess et Richard Jeffrey (en), Computability and Logic, Cambridge University Press, 2002 (ISBN 978-0-521-00758-0)
• (en) Lotfi Zadeh, « Fuzzy sets », Information and Control, vol. 8,‎ 1965, p. 338-353 (lire en ligne)
• (en) Joseph Goguen (en), « L-fuzzy sets », Journal of Mathematical Analysis and Applications, vol. 18, 1967, p. 145-174

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