John Forbes Nash 📖 Wikipedia

John Forbes Nash, Jr
Nome completo	John Forbes Nash Jr.
Conhecido(a) por	Equilíbrio de Nash Teorema do encaixe de Nash Geometria algébrica Décimo nono problema de Hilbert
Nascimento	13 de junho de 1928 Bluefield, Virgínia Ocidental Estados Unidos
Morte	23 de maio de 2015 (86 anos) Nova Jérsei, Estados Unidos
Causa da morte	Acidente rodoviário
Nacionalidade	norte-americano
Cônjuge	Alicia Lopez-Harrison de Lardé (cas. 1957–1963) (divorciados); (cas. 2001–2015) (suas mortes)
Alma mater	Universidade Carnegie Mellon Bel. e Me. Universidade de Princeton Ph.D.
Prêmios	Prêmio Teoria John von Neumann (1978) Prêmio Nobel de Ciências Econômicas (1994) Prêmio Leroy P. Steele (1999) Medalha Dupla Hélice (2010) Prêmio Abel (2015)
Carreira científica
Orientador(es)(as)	Albert William Tucker
Orientado(a)(s)	Bert F. Hoselitz Christian Morgenstern
Instituições	Instituto Tecnológico de Massachusetts Universidade de Princeton
Campo(s)	Matemática, economia
Notas	«Página pessoal» (em inglês)

John Forbes Nash Jr. (Bluefield, 13 de junho de 1928 – Nova Jérsei, 23 de maio de 2015), foi um matemático norte-americano que trabalhou com teoria dos jogos, geometria diferencial e equações diferenciais parciais, onde atuou como pesquisador sênior na Universidade de Princeton. Compartilhou o Prêmio de Ciências Econômicas em Memória de Alfred Nobel de 1994 com Reinhard Selten e John Harsanyi.

Nash também foi conhecido por ter tido sua vida retratada no filme Uma Mente Brilhante, vencedor de quatro Oscares (indicado para oito), baseado no livro-biográfico homônimo, que apresentou seu gênio para a matemática e sua luta contra a esquizofrenia.

John Nash nasceu no estado da Virgínia Ocidental e foi batizado na Igreja Episcopal dos Estados Unidos.^[1] Seus pais foram o engenheiro eletricista John Forbes Nash e a professora de inglês e latim Virginia Margaret Martin. Em 16 de novembro de 1930, sua irmã Martha Nash nasceu.^[2]

Aos doze anos, começou a realizar algumas experiências científicas em seu quarto; nessa época, era bastante evidente seu gosto pela solidão, pois preferia fazer as coisas sozinho a estar em contato e trabalhar em grupo. Ele relacionou a rejeição social de seus colegas com piadas e superioridade intelectual, acreditando que as danças e os esportes deles eram uma distração a partir de suas experiências e estudos.^[3]

Em sua biografia, Nash observa que foi o livro Homens da Matemática, de Eric Temple Bell^[4][5] - em particular o ensaio sobre Pierre de Fermat - que o fez se interessar pela área. John assistiu às aulas do Colégio de Bluefield, enquanto na escola secundária.^[3]

Nash sempre foi um ávido leitor da Time, da Enciclopédia Compton e da Life. Mais tarde conseguiu um emprego na Bluefield Daily Telegraph, um jornal diário da região.^[3]

Nash aprendeu com livros fornecidos por seus pais e avôs. Os pais de Nash buscaram oportunidades para fornecer uma boa educação ao filho, arranjando um curso de matemática avançada na Universidade de Bluefield durante seus últimos anos no Ensino Médio.^[2]

Martha, sua irmã mais nova, parece ter sido uma criança comum, enquanto seu irmão parecia ser bem diferente das outras crianças. Ela escreveu mais tarde: "Johnny sempre foi diferente. Meus pais sabiam disso. E eles também sabiam que ele era brilhante. John sempre quis fazer as coisas a sua maneira. Minha mãe insistia para eu fazer as coisas por ele, para eu incluí-lo nas minhas amizades... mas eu não estava muito interessada em mostrar o meu estranho irmão".^[1]

Mais tarde, frequentou a Universidade Carnegie Mellon, em Pittsburgh, Pensilvânia, onde estudou primeiramente engenharia química, antes de mudar para química. Mais tarde, com o conselho do professor John Lighton Synge, Nash trocou para o curso de matemática. Recebeu tanto seu bacharelado quanto seu mestrado em 1948, no Instituto Carnegie.^[2]

Após sua formatura, Nash teve um emprego em White Oak (Maryland), onde trabalhou para um projeto da Marinha dos Estados Unidos, dirigido por Clifford Truesdell.^[3]

Richard Duffin, que era professor em Carnegie, escreveu uma carta de recomendação para Nash ingressar em Princeton. Nela, dizia: "Ele é um gênio da matemática".^[6]

Embora tivesse sido aceito pela Universidade de Harvard, que tinha sido sua primeira escolha devido ao prestígio da instituição e pelos cursos superiores de matemática, além da Universidade de Chicago e da Universidade de Michigan, Nash recebeu muitas ofertas insistentes do então presidente do departamento de matemática da Universidade de Princeton, Solomon Lefschetz, cuja oferta de uma bolsa John S. Kennedy foi o bastante para convencê-lo de que Princeton o valorizava mais.^[7] Além disso, também considerou a proximidade de Princeton com sua família em Bluefield.^[2]

Assim, em White Oak, partiu para a Universidade de Princeton, onde trabalhou e desenvolveu o Equilíbrio de Nash.^[1] Obteve um doutorado em 1950, com uma tese sobre os jogos não-cooperativos.^[8] A tese, escrita sob a supervisão de Albert William Tucker, continha definições e propriedades daquilo que, mais tarde, seria chamado de Equilíbrio de Nash. Esses estudos levaram a três artigos: Equilibrium Points in N-person Games;^[9] The Bargaining Problem^[10] e Non-cooperative Games.^[11]

Seu mais famoso trabalho tem relação com a matemática pura: o teorema da imersão de Nash.^[3]

Em 1951, Nash foi para o Instituto Tecnológico de Massachusetts como instrutor de matemática. Após cerca de um ano, ele iniciou um relacionamento com Eleanor Stier, uma enfermeira que ele conheceu quando era um paciente. Eles tiveram um filho, John David Stier, mas Nash abandonou Eleanor Stier após saber da gravidez.^[12]

Também no MIT, Nash conheceu Alicia López-Lardé de Harrison (nascida em 1 de janeiro de 1933), uma acadêmica de física de El Salvador,^[13] com quem se casou em fevereiro de 1957.^[14] Alicia enviou Nash a um hospital psiquiátrico em 1959, devido a sua esquizofrenia; seu filho, John Charles Martin Nash, nasceu pouco tempo depois deste acontecimento.

Nash e Alicia se divorciaram em 1963, mas voltaram a viver juntos em 1970, numa relação não-romântica, em que ela abrigou-o como um companheiro. O casal renovou seu relacionamento após Nash ter sido galardoado com o Prêmio de Ciências Econômicas em Memória de Alfred Nobel de 1994. Casaram-se novamente em 1 de junho de 2001.^[3]

Nash começou a mostrar sinais de esquizofrenia em 1958. Nash desenvolveu um comportamento errático de acordo com Alicia. Uma vez, entrando na sala comunal do MIT, chegou na frente de seus colegas e jogando o jornal na mesa, disse que num dos artigos, seres intergalácticos tinham deixado uma mensagem em código que apenas ele era capaz de ler. Devido a sua excentricidade habitual, muitos tomaram esses primeiros sinais como brincadeiras. Mas seu quadro se agravou: chegou a escrever cartas para embaixadas em Washington, se autointitulou "imperador da Antártica" e começou a criar diversas teorias conspiratórias. Quando ameaçou retirar todo seu dinheiro do banco e se mudar para a Europa, Alicia buscou auxílio médico. E com o consenso do MIT, foi internado no Hospital McLean (que abrigava pacientes como professores de Harvard e pessoas famosas) em 1959, quando foi diagnosticado com esquizofrenia paranoide e depressão com baixa autoestima. Depois de uma problemática estadia em Paris e Genebra, Nash retornou a Princeton em 1960. Permaneceu dentro e fora de hospitais psiquiátricos até 1970, onde passou por tratamentos que utilizavam eletroconvulsoterapia e medicamentos antipsicóticos. Depois de 1970, à sua escolha, ele nunca mais tomou medicação antipsicótica novamente. Segundo Nasar, sua biógrafa, Nash começou a desenvolver uma recuperação gradativa com o passar do tempo.^[3]

Em 1978, foi atribuído a Nash o Prêmio Teoria John von Neumann, por suas descobertas quanto aos equilíbrios não-cooperativos, agora chamado de Equilíbrio de Nash. Ganhou também o Prêmio Leroy P. Steele da American Mathematical Society em 1999.^[15]

Em 1994, como resultado de seu trabalho com a teoria dos jogos, que desenvolveu quando estudante de Princeton, recebeu o Prêmio de Ciências Económicas em Memória de Alfred Nobel (junto com Reinhard Selten e John Harsanyi)^[16] por sua análise pioneira em equilíbrio na teoria de jogos não cooperativos. Fez dedicatórias do prêmio a Alicia.^[17]

Entre 29 de junho e 4 de agosto de 2010, John Nash esteve na Faculdade de Economia e Administração da Universidade de São Paulo, durante o II encontro da Sociedade de Teoria dos Jogos em Comemoração aos 60 anos da Teoria do Equilíbrio de Nash.^[18] E, entre os dias 25 e 31 de julho de 2014, a FEA recebeu o workshop “Game Theory and Economic Applications of the Game Theory Society” em que Nash participou, junto a outros três ganhadores do Nobel de Economia: Robert Aumann, Eric Maskin e Alvin Roth.^[19]

Nash faleceu no dia 23 de maio de 2015, aos 86 anos de idade, em um acidente de trânsito em Monroe Township, Nova Jersey (no condado de Middlesex). Sua esposa Alicia Nash de 82 anos também morreu no acidente.^[20][21]

O motorista do táxi que os levava do Aeroporto Newark perdeu o controle do carro. Como nenhum dos passageiros estavam usando cinto de segurança, foram ejetados e morreram.^[22] Nash deixou os dois filhos.^[17]

Nash não publicou extensivamente, embora muitos de seus artigos sejam considerados marcos em suas áreas.^[23] Como estudante de pós-graduação em Princeton, ele fez contribuições fundamentais para a teoria dos jogos e a geometria algébrica real. Como pesquisador de pós-doutorado no MIT, Nash voltou-se para a geometria diferencial. Embora os resultados do trabalho de Nash sobre geometria diferencial sejam expressos em linguagem geométrica, o trabalho é quase inteiramente relacionado à análise matemática de equações diferenciais parciais.^[24] Após provar seus dois teoremas de imersão isométrica, Nash voltou-se para pesquisas lidando diretamente com equações diferenciais parciais, onde descobriu e provou o teorema de De Giorgi-Nash, resolvendo assim uma forma do décimo nono problema de Hilbert.

Em 2011, a Agência de Segurança Nacional tornou públicas cartas escritas por Nash na década de 1950, nas quais ele havia proposto uma nova máquina de criptografia-decodificação.^[25] As cartas mostram que Nash havia antecipado muitos conceitos da criptografia moderna, que se baseiam na dificuldade computacional.^[26]

Nash obteve um Ph.D. em 1950 com uma dissertação de 28 páginas sobre jogos não cooperativos.^[27][28]

A tese, escrita sob a supervisão do orientador de doutorado Albert W. Tucker, continha a definição e as propriedades do equilíbrio de Nash, um conceito crucial em jogos não cooperativos. Nash ganhou o Prêmio Nobel de Ciências Econômicas em 1994.

As publicações de autoria de Nash relacionadas ao conceito estão nos seguintes documentos:

• 1950: Equilibrium Points in N-person Games.^[9]
• 1950: The Bargaining Problem.^[10]
• 1951: Non-cooperative Games.^[11]
• 1953: Two-person Cooperative Games.^[29]

Além disso, Nash criou dois jogos populares: Hex (criado independentemente em 1942),^[30] e So Long Sucker em 1950 com Melvin Hausner e Lloyd Shapley.^[31]

Nash também fez um trabalho inovador na área da geometria algébrica real com Real algebraic manifolds.^[32][33]

Seu trabalho em matemática inclui o teorema de incorporação de Nash, que mostra que toda variedade Riemanniana abstrata pode ser realizada isometricamente como uma subvariedade do espaço euclidiano. Nash também fez contribuições significativas à teoria das equações diferenciais parciais parabólicas não lineares e à teoria da singularidade. Mikhail Leonidovich Gromov escreve sobre o trabalho de Nash:^[34]

Nash estava resolvendo problemas matemáticos clássicos, problemas difíceis, algo que ninguém mais era capaz de fazer, nem mesmo imaginar como fazer. ... Mas o que Nash descobriu no curso de suas construções de embeddings isométricos está longe de ser 'clássico' - é algo que provoca uma alteração dramática em nossa compreensão da lógica básica da análise e da geometria diferencial. A julgar pela perspectiva clássica, o que Nash conseguiu em seus artigos é tão impossível quanto a história de sua vida ... [H] é o trabalho em imersões isométricas ... abriu um novo mundo da matemática que se estende diante de nossos olhos em ainda direções desconhecidas e ainda espera para ser explorado.

John Milnor fornece uma lista de 21 publicações.^[34]

Na biografia de Nash, A Beautiful Mind, a autora Sylvia Nasar explica que Nash estava trabalhando na prova do décimo nono problema de Hilbert, um teorema envolvendo equações diferenciais parciais elípticas quando, em 1956, ele sofreu uma grande decepção. Ele soube que um matemático italiano, Ennio de Giorgi, publicou uma prova poucos meses antes de Nash conseguir a sua. Cada um seguiu caminhos diferentes para chegar às suas soluções. Os dois matemáticos se conheceram no Courant Institute of Mathematical Sciences da New York University durante o verão de 1956. Especula-se que se apenas um tivesse resolvido o problema, ele teria recebido uma Medalha Fields pela prova.^[35]

O décimo nono problema de Hilbert^[36] questiona se as soluções de problemas regulares no cálculo de variações são sempre analíticas.^[37]

Durante seu estágio de pós-doutorado no MIT, Nash estava ansioso para encontrar problemas matemáticos de destaque para estudar.^[38] Com Warren Ambrose, um geômetra diferencial, ele aprendeu sobre a conjectura de que qualquer variedade riemanniana é isométrica a uma subvariedade do espaço euclidiano. Os resultados de Nash provando a conjectura são agora conhecidos como teoremas de imersão de Nash, o segundo dos quais Mikhael Gromov chamou de "uma das principais conquistas da matemática do século XX".^[39]

O primeiro teorema de imersão de Nash foi encontrado em 1953.^[38] Ele descobriu que qualquer variedade riemanniana pode ser isometricamente imersa em um espaço euclidiano por um mapeamento continuamente diferenciável.^[40] A construção de Nash permite que a codimensão da imersão seja muito pequena, com o efeito de que em muitos casos é logicamente impossível que exista uma imersão isométrica altamente diferenciável. (Com base nas técnicas de Nash, Nicolaas Kuiper logo encontrou codimensões ainda menores, com o resultado aprimorado frequentemente conhecido como teorema de Nash-Kuiper.) Como tal, as imersões de Nash são limitadas ao cenário de baixa diferenciabilidade. Por esta razão, o resultado de Nash está um tanto fora da corrente principal no campo da geometria diferencial, onde a alta diferenciabilidade é significativa em grande parte da análise usual.^[41][42]

No entanto, a lógica do trabalho de Nash foi considerada útil em muitos outros contextos na análise matemática. A partir do trabalho de Camillo De Lellis e László Székelyhidi, as ideias da prova de Nash foram aplicadas para várias construções de soluções turbulentas das equações de Euler na mecânica dos fluidos.^[43][44] Na década de 1970, Mikhael Gromov desenvolveu as ideias de Nash na estrutura geral da integração convexa,^[42] que foi (entre outros usos) aplicada por Stefan Müller e Vladimír Šverák para construir contraexemplos para formas generalizadas do décimo nono problema de Hilbert no cálculo de variações.^[45]

Nash achou a construção de imersões isométricas suavemente diferenciáveis inesperadamente difícil.^[38] No entanto, após cerca de um ano e meio de trabalho intensivo, seus esforços foram bem-sucedidos, provando assim o segundo teorema de imersão de Nash.^[46] As ideias envolvidas na prova deste segundo teorema são amplamente separadas daquelas usadas na prova do primeiro. O aspecto fundamental da prova é um teorema da função implícita para imersões isométricas. As formulações usuais do teorema da função implícita são inaplicáveis, por razões técnicas relacionadas aos fenômenos de perda de regularidade. A resolução deste problema por Nash, dada pela deformação de uma imersão isométrica por uma equação diferencial ordinária ao longo da qual a regularidade extra é continuamente injetada, é considerada uma técnica fundamentalmente nova na análise matemática.^[47] O artigo de Nash foi premiado com o Prêmio Leroy P. Steele por Contribuição Seminal à Pesquisa em 1999, onde sua "ideia mais original" na resolução da questão da perda de regularidade foi citada como "uma das grandes conquistas da análise matemática neste século".^[24] De acordo com Gromov:^[39]

Você deve ser um novato em análise ou um gênio como Nash para acreditar que algo assim pode ser verdade e/ou ter uma única aplicação não trivial.

Devido à extensão das ideias de Nash por Jürgen Moser para aplicação a outros problemas (notavelmente na mecânica celeste), o teorema da função implícita resultante é conhecido como teorema de Nash-Moser. Foi estendido e generalizado por vários outros autores, entre eles Gromov, Richard Hamilton, Lars Hörmander, Jacob Schwartz e Eduard Zehnder.^[42][47] O próprio Nash analisou o problema no contexto das funções analíticas.^[48] Schwartz comentou mais tarde que as ideias de Nash eram "não apenas novas, mas muito misteriosas", e que era muito difícil "chegar ao fundo da questão".^[38] De acordo com Gromov:^[39]

Nash estava resolvendo problemas matemáticos clássicos, problemas difíceis, algo que ninguém mais era capaz de fazer, nem mesmo imaginar como fazer. ... o que Nash descobriu no curso de suas construções de imersões isométricas está longe de ser 'clássico' – é algo que provoca uma alteração dramática em nossa compreensão da lógica básica da análise e da geometria diferencial. A julgar pela perspectiva clássica, o que Nash alcançou em seus artigos é tão impossível quanto a história de sua vida ... [S]eu trabalho em imersões isométricas ... abriu um novo mundo da matemática que se estende diante de nossos olhos em ainda direções desconhecidas e ainda espera para ser explorado.

Enquanto passava tempo no Instituto Courant em Nova York, Louis Nirenberg informou Nash sobre uma conjectura bem conhecida no campo das equações diferenciais parciais elípticas.^[49] Em 1938, Charles Morrey provou um resultado fundamental de regularidade elíptica para funções de duas variáveis independentes, mas resultados análogos para funções de mais de duas variáveis provaram ser elusivos. Após extensas discussões com Nirenberg e Lars Hörmander, Nash foi capaz de estender os resultados de Morrey, não apenas para funções de mais de duas variáveis, mas também para o contexto das equações diferenciais parciais parabólicas.^[50] Em seu trabalho, como no de Morrey, o controle uniforme sobre a continuidade das soluções para tais equações é alcançado, sem assumir qualquer nível de diferenciabilidade nos coeficientes da equação. A desigualdade de Nash foi um resultado particular encontrado no curso de seu trabalho (cuja prova Nash atribuiu a Elias Stein), que se mostrou útil em outros contextos.^{[51][52][53][54]}

Pouco depois, Nash soube por Paul Garabedian, que retornara recentemente da Itália, que o então desconhecido Ennio De Giorgi havia encontrado resultados quase idênticos para equações diferenciais parciais elípticas.^[49] Os métodos de De Giorgi e Nash tinham pouco em comum, embora os de Nash fossem um pouco mais poderosos por se aplicarem tanto a equações elípticas quanto parabólicas. Alguns anos depois, inspirado pelo método de De Giorgi, Jürgen Moser encontrou uma abordagem diferente para os mesmos resultados, e o corpo de trabalho resultante é agora conhecido como teorema de De Giorgi-Nash ou teoria de De Giorgi-Nash-Moser (que é distinta do teorema de Nash-Moser). Os métodos de De Giorgi e Moser tornaram-se particularmente influentes nos anos seguintes, através de seus desenvolvimentos nos trabalhos de Olga Ladyzhenskaya, James Serrin e Neil Trudinger, entre outros.^[55][56] Seu trabalho, baseado principalmente na escolha criteriosa de funções de teste na formulação fraca de equações diferenciais parciais, contrasta fortemente com o trabalho de Nash, que é baseado na análise do núcleo do calor. A abordagem de Nash para a teoria de De Giorgi-Nash foi posteriormente revisitada por Eugene Fabes e Daniel Stroock, iniciando a re-derivação e extensão dos resultados originalmente obtidos a partir das técnicas de De Giorgi e Moser.^[51][57]

A partir do fato de que minimizadores de muitos funcionais no cálculo de variações resolvem equações diferenciais parciais elípticas, o décimo nono problema de Hilbert (sobre a suavidade desses minimizadores), conjecturado quase sessenta anos antes, era diretamente tratável pela teoria de De Giorgi-Nash. Nash recebeu reconhecimento instantâneo por seu trabalho, com Peter Lax descrevendo-o como um "toque de gênio".^[49] Nash especularia mais tarde que se não fosse pela descoberta simultânea de De Giorgi, ele teria sido um destinatário da prestigiada Medalha Fields em 1958.^[58] Embora o raciocínio do comitê da medalha não seja totalmente conhecido, e não tenha sido puramente baseado em questões de mérito matemático,^[59] pesquisas de arquivo mostraram que Nash ficou em terceiro lugar na votação do comitê para a medalha, depois dos dois matemáticos (Klaus Roth e René Thom) que foram agraciados com a medalha naquele ano.^[60]

Em 2011, a Agência de Segurança Nacional tornou públicas as cartas escritas por Nash na década de 1950, nas quais ele propunha uma nova máquina de criptografia-decodificação.^[61] As cartas mostram que Nash antecipou muitos conceitos da criptografia moderna, que são baseados na capacidade computacional.^[62]

A ideia do dinheiro ideal é possuir uma moeda baseada em um índice composto por preços de commodities, com referência itens amplamente utilizados pela indústria como referência para o valor do dinheiro.^[63][64]

Quatro artigos sobre teoria de jogos (publicados entre 1950 e 1953) e três sobre matemática pura (publicados entre 1952 e 1958) estão reunidos em:

• Kuhn, Harold W.; Nasar, Sylvia, eds. (2002). The essential John Nash. Princeton, NJ: Princeton University Press. ISBN 0691095272. MR 1888522. Zbl 1033.01024. doi:10.1515/9781400884087 .

• Wallace, Mike (host) (17 de março de 2002). «John Nash's Beautiful Mind». 60 Minutes. Temporada 34. Episódio 26. CBS 
• Samels, Mark (director) (28 de abril de 2002). «A Brilliant Madness». American Experience. Public Broadcasting Service. Consultado em 11 de outubro de 2022. Cópia arquivada em 21 de dezembro de 2025 
• Nash, John (2004). «John F. Nash Jr.» (entrevista). Marika Griehsel. Nobel Prize Outreach. Cópia arquivada em 8 de fevereiro de 2026 
• Nash, John (5 de dezembro de 2009). «One on One» (entrevista). Riz Khan. Al Jazeera English 
  • Part 1 no YouTube
  • Part 2 no YouTube
• «Interview with Abel Laureate John F. Nash Jr.». Newsletter of the European Mathematical Society. 97. Martin Raussen and Christian Skau. 2015. pp. 26–31. ISSN 1027-488X. MR 3409221. Cópia arquivada em 20 de fevereiro de 2025 

Referências

• Nasar, Sylvia (1998). A Beautiful Mind. New York: Simon and Schuster. ISBN 978-1439126493 
• Nasar, Sylvia (2002). «Introduction». In: Kuhn, Harold W. The Essential John Nash. Princeton: Princeton University Press. pp. xi–xxv. ISBN 978-0691096100. JSTOR j.ctt1c3gwz0 
• Siegfried, Tom (2006). A Beautiful Math. Washington, D.C.: Joseph Henry Press. ISBN 978-0309101929 
• O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., «John Forbes Nash», MacTutor History of Mathematics archive (em inglês), Universidade de St. Andrews 

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• «Perfil no sítio oficial do Prêmio de Ciências Económicas em Memória de Alfred Nobel (1994)» (em inglês) 
• Página pessoal de John Nash - Universidade de Princeton
• Nobelprize.org - Entrevista no 1st Meeting of Laureates in Economic Sciences in Lindau, Germany, September 1-4, 2004
• Encontro com John Nash no 2º Brazilian Workshop of The Game Theory Society

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