Интеграл Меллина — Барнса 📖 Wikipedia

Интеграл Меллина—Барнса (Mellin—Barnes integral) или интеграл Барнса (Barnes integral) в математике — контурный интеграл от функции, содержащей произведение гамма-функций. Интегралы такого типа тесно связаны с обобщёнными гипергеометрическими функциями. Они были введены английским математиком Эрнестом Уильямом Барнсом (Ernest William Barnes, 1874—1953, при переводе на русский язык иногда используется транскрипция «Бернс») в 1908—1910 годах^[1][2]. Похожие интегралы рассматривались финским математиком Ялмаром Меллином (Hjalmar Mellin, 1854—1933) — в частности, в связи с обратным преобразованием Меллина^[3].

Путь интегрирования обычно проходит вдоль мнимой оси комплексной переменной интегрирования s (от ${\displaystyle -i\infty }$ до ${\displaystyle +i\infty }$), но при этом может деформироваться, чтобы отделить полюса гамма-функций типа ${\displaystyle \Gamma (a_{i}+s)}$ (которые должны оставаться слева) от полюсов гамма-функций типа ${\displaystyle \Gamma (b_{i}-s)}$ (которые должны оставаться справа)^[4].

Гипергеометрическая функция Гаусса может быть следующим образом представлена через интеграл Меллина—Барнса:

${\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,b;c|z)={\frac {\Gamma (c)}{\Gamma (a)\Gamma (b)}}{\frac {1}{2\pi i}}\int _{-i\infty }^{i\infty }{\frac {\Gamma (a+s)\Gamma (b+s)\Gamma (-s)}{\Gamma (c+s)}}(-z)^{s}\,{\rm {d}}s.}$

Действительно, если замкнуть контур интегрирования вправо, то (при выполнении соответствующих условий сходимости) мы получаем сумму по вычетам гамма-функции ${\displaystyle \Gamma (-s)}$ в полюсах при s = 0, 1, 2, ... , которая воспроизводит определение гипергеометрической функции Гаусса в виде степенного ряда по z.

Аналогичным образом можно записать интегралы Меллина—Барнса, соответствующие обобщённой гипергеометрической функции^[англ.] _pF_q^[5]. Для ещё более общей гипергеометрической функции одной переменной, так называемой G-функции Мейера^[англ.], представление через интеграл Меллина—Барнса является основным определением функции, так в случае многократных серий полюсов гамма-функций по обеим сторонам контура определение через гипергеометрические ряды (в тех случаях, когда оно возможно) становится довольно громоздким^[6].

Интегралы Меллина—Барнса также обобщаются на случай гипергеометрических функций нескольких переменных, таких как функции Аппеля^{[англ.][7]}, функция Кампе де Ферье^[8], функции Лауричеллы^[англ.] (названные в честь Джузеппе Лауричеллы)^[9] и другие.

Существуют также q-аналоги интегралов Меллина—Барнса для базисных гипергеометрических рядов^[англ.], и на этот случай могут быть обобщены многие важные результаты^[10].

Первая лемма Барнса гласит^[1][11]

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\int _{-i\infty }^{i\infty }\Gamma (a+s)\Gamma (b+s)\Gamma (c-s)\Gamma (d-s)\;{\rm {d}}s={\frac {\Gamma (a+c)\Gamma (a+d)\Gamma (b+c)\Gamma (b+d)}{\Gamma (a+b+c+d)}}.}$

Эта формула связана с формулой Гаусса, дающей результат для значения гипергеометрической функции ${\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,b;c|z)}$ при ${\displaystyle z=1}$. Она также является обобщением бета-функции (или бета-интеграла) Эйлера, и поэтому этот интеграл иногда называют бета-интегралом Барнса.

Вторая лемма Барнса гласит^[2][12]

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\int _{-i\infty }^{i\infty }{\frac {\Gamma (a+s)\Gamma (b+s)\Gamma (c+s)\Gamma (d-s)\Gamma (-s)}{\Gamma (e+s)}}\;{\rm {d}}s}$

${\displaystyle ={\frac {\Gamma (a)\Gamma (b)\Gamma (c)\Gamma (d+a)\Gamma (d+b)\Gamma (d+c)}{\Gamma (e-a)\Gamma (e-b)\Gamma (e-c)}}}$

где ${\displaystyle e=a+b+c+d}$. Эта формула является аналогом формулы суммирования Заальшютца^[англ.].

• R. B. Paris and D. Kaminski. "Asymptotics and Mellin—Barnes integrals". — Cambridge University Press, 2001. — 422 p. — (Encyclopedia of Mathematics and its Appications, v.85). — ISBN 0-521-79001-8.