Funkcja Weierstrassa – pierwszy opublikowany[1] przykład rzeczywistej funkcji ciągłej, nieróżniczkowalnej w żadnym punkcie[2]. Nazwa pochodzi od nazwiska odkrywcy, Karla Weierstrassa.
![{\displaystyle [-2,2]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f94b820404eca2a458cb2c7d8c24be85fffccf90)
![{\displaystyle [-0{,}2,1{,}2]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4be58bc31348c3e83701a2e9431738d42cc8ec19)
Tło historyczne
edytujWielu matematyków przełomu XVIII i XIX wieku uważało, iż wszystkie funkcje ciągłe są różniczkowalne w znaczącym podzbiorze swojej dziedziny. Francuski fizyk, André Marie Ampère, starał się nawet uzasadnić ten pogląd[3]. Sam Weierstraß przyznał, że słyszał od uczniów Riemanna, że ich nauczyciel sugerował istnienie kontrprzykładu na to przekonanie.
Prawdopodobnie (w roku 1830) Bernard Bolzano podał przykład rzeczywistej funkcji ciągłej, nieróżniczkowalnej w żadnym punkcie dziedziny, lecz swojego wyniku nie opublikował[4]. W 1860 roku szwajcarski matematyk Charles Cellérier podał przykład zbliżony do pomysłu Weierstrassa.
Konstrukcja funkcji Weierstrassa
edytujW oryginalnej publikacji[5], funkcja Weierstraßa zdefiniowana jest jako
gdzie jest pewną liczbą z przedziału (0,1) natomiast jest liczbą nieparzystą, spełniającą warunek
Wykres funkcji Weierstrassa
edytujGdy to wykres funkcji Weierstrassa jest fraktalem oraz jego wymiar Minkowskiego wynosi
Istnieje nierozwiązana hipoteza mówiąca, że (pod założeniem ) wymiar Hausdorffa wykresu funkcji Weierstrassa jest równy jego wymiarowi Minkowskiego.
Dziedzina zespolona
edytujZnalezienie w dziedzinie zespolonej funkcji ciągłej, ale nie różniczkowalnej w żadnym punkcie jest dużo łatwiejsze. Przykładem takiej funkcji jest funkcja „sprzężenie”, tj.
Zobacz też
edytuj
Przypisy
edytuj- ↑ P. Du Bois-Reymond, Versuch einer Classification der willk¨urlichen Functionen reeller Argumente nach ihren Aenderungen in den kleinsten Intervallen, „J. Reine Angew. Math.” 79 (1875), 21–37.
- ↑ Hans Niels Jahnke: A history of analysis. Providence, RI: American Mathematical Society, 2003, s. 187. ISBN 0-8218-2623-9. OCLC 51607350.
- ↑ A.M. Ampère, Recherche sur quelques points de la théorie des fonctions dérivées qui conduisent à une nouvelle démonstration du théorème de Taylor, et à l’expression finie des termes qu’on néglige lorsqu’on arrête cette série à un terme quelconque. „Journal de l’Ecole Polytechnique”, 6, no. 13 (1806), 148-181.
- ↑ B. Bolzano, K. Rychlik (Hrsg.): Funktionenlehre. Prag 1831.
- ↑ Karl Weierstrass, Abhandlungen aus der Functionenlehre, Julius Springer, Berlin, 1886 [dostęp 2017-11-26].
Bibliografia
edytuj- O wymiarze wykresu funkcji nigdzie nieróżniczkowalnej. „Wiadomości Matematyczne”. Tom 42 (2006), s. 15–20, 2006. T. Szarek. Poznań: Polskie Towarzystwo Matematyczne. [zarchiwizowane z adresu].
- G.H. Hardy. Weierstrass’s non-differentiable function. „Transactions of the American Mathematical Society”. 17, s. 301–325, 1916. American Mathematical Society. DOI: 10.1090/S0002-9947-1916-1501044-1.
Linki zewnętrzne
edytuj- Jarosław Górnicki, Wszędzie brak pochodnej, „Delta”, styczeń 2022, ISSN 0137-3005 [dostęp 2025-10-19].
Paweł Mleczko, Tam i z powrotem, czyli o funkcji ciągłej niemającej stycznej do swojego wykresu w żadnym punkcie, Poznański Portal Matematyczny, matematyka.poznan.pl, 14 grudnia 2016 [dostęp 2024-10-05].- Eric W. Weisstein, Weierstrass Function, [w:] MathWorld, Wolfram Research [dostęp 2020-12-12] (ang.).
