斯里尼瓦瑟·拉马努金·艾扬加尔[a] (1887年12月22日 – 1920年4月26日) 是一位活跃于20世纪初的印度数学家。他在数学分析、数论、无穷级数以及连分数等领域做出了实质性的贡献，甚至解决了当时被认为无法解决的数学难题。
| 斯里尼瓦瑟·拉马努金 FRS | |
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.jpg) 拉马努金，摄于1913年 | |
| 出生 | Srinivasa Ramanujan Aiyangar 1887年12月22日 英属印度马德拉斯省埃罗德（今印度泰米尔纳德邦） |
| 逝世 | 1920年4月26日（32歲） 英属印度马德拉斯省，马德拉斯切特普特（Chetput）（今印度泰米尔纳德邦钦奈） |
| 公民权 | 英属印度 |
| 教育程度 | |
| 知名于 | |
| 奖项 | 皇家学会会士 (1918) |
| 科学生涯 | |
| 研究领域 | 数学 |
| 机构 | 剑桥大学 |
| 论文 | Highly Composite Numbers（高合成数）（1916） |
| 学术指导者 | |
| 签名 | |
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拉马努金最初是在相对孤立的环境中独自开展数学研究的。根据汉斯·艾森克的说法，“他试图让当时的顶尖职业数学家对他的工作产生兴趣，但大多以失败告终。他向人们展示的内容太新奇、太陌生，而且呈现方式与众不同；他们几乎不予理睬。”[1] 为了寻找能够更好地理解其工作的数学家，他在1913年开始与剑桥大学的英国数学家G·H·哈代进行通信。[2] 哈代认出了拉马努金工作的非凡之处，并安排他前往剑桥。在哈代的笔记中，他评论说拉马努金提出了突破性的新定理，其中一些“让我完全无法理解；我以前从未见过哪怕有丝毫相似的东西”，[3] 还有一些则是当时刚刚被证明但极为高深的数学结果。
在其一生中，拉马努金独立汇编了近3,900个数学结果（主要为恒等式和方程）。[4] 其中的许多成果是完全新颖的；他那些极具原创性且非常规的发现，例如拉马努金素数、拉马努金θ函数、整数分拆公式以及伪θ函数，开辟了全新的研究领域并激发了后世的大量研究。[5] 在他成千上万的公式中，绝大多数已被证明是正确的。[6] 科学期刊《拉马努金期刊》的创立，正是为了发表受拉马努金影响的所有数学领域的著作；[7] 而他那些记录了已发表和未发表成果的笔记本，在他死后的几十年里一直被深入分析和研究，成为新数学思想的源泉。直到2012年，研究人员仍在不断发现，他笔记中针对某些发现所写的关于“简单属性”和“类似输出”的寥寥数语，其本身竟然就是深刻而微妙的数论结果，而这些结果在拉马努金去世近一个世纪后才被人们察觉。[8][9] 他成为了皇家学会历史上最年轻的会士之一，也是第二位入选的印度人；同时，他也是第一位当选剑桥大学三一学院会士的印度人。
1919年，由于健康状况恶化——现在人们认为这是由于肝阿米巴病（多年前痢疾发作留下的并发症）——拉马努金被迫返回印度，并于1920年去世，年仅32岁。他在1920年1月写给哈代的最后一批信件表明，他当时仍在不断构思新的数学思想和定理。他的“拉马努金失落的笔记本”中记录了他生命最后一年的新发现，当这本笔记在1976年被重新发现时，在数学界引起了极大的轰动。
早年生活
编辑
拉马努金（字面意思是“印度神祇罗摩的弟弟”）[10] 于1887年12月22日出生在英属印度统治下的泰米尔纳德邦埃罗德的一个泰米尔婆罗门伊延加家庭中。[11] 他的父亲库普斯瓦米·斯里尼瓦萨·伊延加（Kuppuswamy Srinivasa Iyengar）最初来自坦贾武尔县，是一家纱丽店的职员。[12][13] 他的母亲科玛拉塔玛尔（Komalatammal）是一位家庭主妇，并在当地的一座神庙里唱歌。[14] 他们住在贡伯戈讷姆镇萨兰加帕尼神庙街（Sarangapani Sannidhi Street）的一栋传统小房子里。[15] 这座家庭住宅后来变成了一座博物馆。在拉马努金一岁半时，他的母亲生下了弟弟萨达戈潘（Sadagopan），但仅仅不到三个月后弟弟就夭折了。1889年12月，拉马努金感染了天花，但幸运地活了下来。随后他与母亲搬到了靠近马德拉斯（今钦奈）的甘吉布勒姆的外祖父母家中。他的母亲在1891年和1894年又生了两个孩子，但这两个孩子都在一岁前就不幸夭折了。[10]
1892年10月1日，拉马努金在当地学校注册入学。[16] 在他的外祖父失去了在甘吉布勒姆的法院文书工作后，[17] 拉马努金和母亲搬回了贡伯戈讷姆，并在那里被送进了康加延（Kangayan）小学。[18] 他的祖父去世后，他再次被送回外祖父母身边，当时他们住在马德拉斯。拉马努金不喜欢马德拉斯的学校，试图逃学。他的家人甚至请来了当地的警察来确保他乖乖上学。不到半年后，拉马努金又回到了贡伯戈讷姆。[18]
由于拉马努金的父亲大部分时间都在工作，拉马努金主要由母亲照顾，母子俩关系非常亲密。他从母亲那里学习了传统习俗和往世书，学习唱诵宗教歌曲，去神庙参加法会，并保持着特定的饮食习惯——这些都是婆罗门文化的重要组成部分。[19] 在康加延小学，拉马努金表现优异。1897年11月，就在他即将满10岁之际，他以全区第一的成绩通过了英语、泰米尔语、地理和算术的初级考试。[20] 同年，拉马努金进入了镇立高等中学，这是他第一次接触正规的数学教育。[20]
作为一名11岁的神童，他的数学水平便已超越了当时租住在他们家的两名大学生。后来，有人借给他一本由S·L·罗尼编写的高级三角学著作。[21][22] 他在13岁时就完全掌握了这本书的内容，并独立发现了一些复杂的定理。到了14岁，他在学校的学术生涯中不断获得优异证书和学术奖项，甚至还协助学校处理后勤工作，为全校约1,200名需求各异的学生分配仅有的35名教师。[23] 他在规定时间的一半内就能完成数学考试，并展现出对几何学和无穷级数的非凡熟练度。1902年，拉马努金学习了如何求解三次方程。之后，他又自行研究出求解四次方程的方法。1903年，他尝试去求解五次方程，当时他并不知道这个方程是无法用根式求解的。[24]
1903年，16岁的拉马努金从朋友那里借到了一本图书馆借出的书——G·S·卡尔所著的《纯粹数学与应用数学基本结果概要》，书中汇集了5,000多个定理。[25][26] 据说拉马努金对这本书的内容进行了极其细致的研究。[27] 第二年，拉马努金独立研究了伯努利数，并将欧拉-马斯刻若尼常数精确计算到了小数点后15位。[28] 当时的同龄人评价他说，他们“很少能理解他”，并且对他“充满敬畏之情”。[23]
1904年从镇立高等中学毕业时，拉马努金被校长克里什纳斯瓦米·艾耶（Krishnaswami Iyer）授予了K. Ranganatha Rao数学奖。艾耶介绍拉马努金是一位超越满分标准的杰出学生。[29] 他获得了一份奖学金，得以进入贡伯戈讷姆政府艺术学院学习，[30][31] 但他把所有的心思都扑在了数学上，无暇顾及其他科目，导致多门功课不及格，最终失去了奖学金。[32] 1905年8月，拉马努金离家出走，前往维沙卡帕特南，并在拉贾蒙德里[33] 逗留了大约一个月。[32] 后来他进入马德拉斯的帕恰亚帕学院就读。在那里，他在数学考试中及格了，但他只挑自己感兴趣的题目做，将其余的空着；而在英语、生理学和梵文等其他科目上，他的成绩依然很差。[34] 拉马努金在1906年12月的皇家文艺学会院士（Fellow of Arts）考试中落榜，一年后再次落榜。由于没能拿到学位，他辍学并继续独立进行数学研究，在此期间他生活极度贫困，甚至常常食不果腹。[35]
1910年，23岁的拉马努金会见了印度数学会的创始人V·拉马斯瓦米·艾耶。在这次会面之后，拉马努金开始在马德拉斯的数学界崭露头角，并最终获得了马德拉斯大学研究员的职位。[36]
成年后在印度的生活
编辑1909年7月14日，拉马努金与贾纳基（Janakiammal；1899年3月21日－1994年4月13日）结为夫妻，[37] 她是一年前由拉马努金的母亲挑选的，结婚时她才刚满十岁。[38][39][40] 在当时的印度，安排年幼女孩出嫁是极为平常的习俗。贾纳基来自拉金德拉姆（Rajendram），一个靠近马鲁杜尔（Marudur，卡鲁尔县）火车站的小村庄。拉马努金的父亲并没有出席这场婚礼。[41] 按照当时的传统，贾纳基在婚后头三年继续住在娘家，直到青春期才离开。1912年，她和拉马努金的母亲一起来到了马德拉斯，与拉马努金团聚。[42]
婚后不久，拉马努金患上了睾丸鞘膜积液。[43] 这种病症可以通过一次常规的外科手术抽出阴囊内的积液来治愈，但他的家庭无力承担这笔手术费。到了1910年1月，一位好心的医生自愿免费为他进行了手术。[44]
手术恢复后，拉马努金开始四处求职。他寄宿在朋友家中，在马德拉斯挨家挨户地寻找一份文书工作。为了维持生计，他给准备参加院士考试（Fellow of Arts）的总统学院（Presidency College）的学生做辅导老师。[45]
1910年底，拉马努金再次病倒。他十分担心自己的健康状况，并嘱托他的朋友R·拉达克里希纳·艾耶（R. Radakrishna Iyer）：“把（我的笔记本）交给辛加拉维卢·穆达利亚尔教授（Singaravelu Mudaliar，帕恰亚帕学院的数学教授）或者马德拉斯基督教学院的英国教授爱德华·B·罗斯（Edward B. Ross）。”[46] 当拉马努金病愈并从艾耶那里拿回笔记本后，他从贡伯戈讷姆乘火车前往法国控制下的城市维卢普拉姆。[47][48] 1912年，拉马努金带着妻子和母亲搬到了马德拉斯乔治镇的赛瓦·穆塔伊阿·穆达利街（Saiva Muthaiah Mudali street）的一所房子里，并在那里住了几个月。[49] 1913年5月，在获得了马德拉斯大学的一个研究职位后，拉马努金举家搬迁到了特里普利卡纳。[50]
追求数学事业
编辑1910年，拉马努金结识了担任副税务官的印度数学会创始人V·拉马斯瓦米·艾耶。[51] 为了在艾耶所在的税务部门谋得一份差事，拉马努金向他展示了自己的数学笔记。正如艾耶后来回忆的那样：
我对其包含的非凡数学成果留下了深刻印象。我实在不忍心让他的才华被税务部门底层的一份微末差事所埋没。[52]
艾耶带着推荐信，把拉马努金引荐给了他在马德拉斯的数学家朋友们。[51] 其中一些人在看过他的工作后，又写了推荐信，将他引荐给了内洛尔的税务局长兼印度数学会秘书R·拉马钱德拉·拉奥。[53][54][55] 拉奥对拉马努金的研究印象深刻，但他起初怀疑这是否真的是拉马努金自己的作品。拉马努金提到了他与著名的孟买数学家萨尔达尼亚（Saldhana）教授的通信，萨尔达尼亚在信中坦言自己无法完全理解拉马努金的工作，但也得出了他绝非骗子的结论。[56] 拉马努金的朋友C·V·拉贾戈帕拉查理（C. V. Rajagopalachari）出面试图打消拉奥对拉马努金学术诚信的疑虑。拉奥同意再给他一次机会，当听完拉马努金对椭圆积分、高斯超几何级数以及他自己关于发散级数的理论的阐述后，拉奥表示他彻底被拉马努金的才华折服了。[56] 当拉奥问他想要什么时，拉马努金回答说他需要工作和经济支持。拉奥欣然答应，并将他送往马德拉斯。在拉奥的资助下，拉马努金继续着他的研究。在艾耶的帮助下，拉马努金的论文最终在《印度数学会期刊》（Journal of the Indian Mathematical Society）上发表。[57]
他在该期刊上提出的首批问题之一[29]是求解以下表达式的值：
他等了足足六个月，经过了三期期刊的出版，却依然无人能给出解答。最终，拉马努金亲自为这个问题提供了一个不完整[58] 的解答。在他的第一本笔记的第105页上，他写下了一个能够用来解决无限嵌套根式问题的方程：
利用这个方程，之前那个问题的答案其实非常简单：只需要将 、 、 代入，即可得出答案为 3。[59] 拉马努金为该期刊撰写的第一篇正式论文是关于伯努利数性质的探讨。他发现的一个重要性质是，伯努利数 （OEIS數列A027642） 分数的同分母总是能被 6 整除。他还发明了一种基于前项伯努利数推导 的计算方法。其中一种方法如下：
不难发现，如果 为偶数且不等于 0，那么：
- 是一个分数，且将 化为最简分数后，其分子必然是一个素数；
- 的分母必定包含且仅包含一次因子 2 和 3；
- 是一个整数，因此 必然是一个“奇”整数。
在这篇长达17页、题为《伯努利数的一些性质》（Some Properties of Bernoulli's Numbers, 1911）的论文中，拉马努金给出了三个证明、两个推论和三个猜想。[60] 然而，他初期的写作存在很多瑕疵。正如期刊编辑 M·T·纳拉亚纳·伊延加（M. T. Narayana Iyengar）指出的那样：
拉马努金先生的方法过于晦涩新奇，其表达方式缺乏清晰度与严谨性，普通的数学读者往往不习惯于这种思维跨度，很难跟上他的思路。[61]
后来，拉马努金又撰写了另一篇论文，并继续在期刊上提出问题。[62] 1912年初，他在马德拉斯主计长办公室找到了一份临时工作，月薪20卢比，但这份工作只维持了几个星期。[63] 在那份工作快要结束时，他申请了马德拉斯港信托基金局首席会计师手下的一个职位。
在1912年2月9日的一封信中，拉马努金写道：
阁下：
获悉贵处尚有职员空缺，在下特此冒昧求职。在下已通过大学入学考试，并修读至院士资格（F.A.）程度，然因种种不虞之境遇，未能继续深造。尽管如此，在下一直将全部光阴倾注于数学研究并不断拓展该领域。在下深信，若蒙录用，定能胜任所托。故恳请阁下开恩，赐予此职为盼。[64]
随信附上的是总统学院数学教授E·W·米德尔马斯特的一封推荐信。他在信中评价拉马努金是“一个在数学方面具有极其罕见天赋的年轻人”。[65] 递交申请三周后的3月1日，拉马努金得知自己已被录用为第三级第四等会计文员，月薪30卢比。[66] 在办公室里，拉马努金总能轻松迅速地完成分配给他的工作，然后把剩下的空闲时间全部用来进行数学研究。他的顶头上司、弗朗西斯·斯普林爵士，以及身兼印度数学会财务主管的同事S·纳拉亚纳·伊耶（S. Narayana Iyer），都非常鼓励他在数学领域的探索。[67]
联系英国数学家
编辑1913年春天，纳拉亚纳·伊耶、拉马钱德拉·拉奥和E·W·米德尔马斯特试图将拉马努金的研究成果引荐给英国的数学界。伦敦大学学院的M·J·M·希尔在看过后评论说，拉马努金的论文漏洞百出。[68] 他认为虽然拉马努金“对数学有品味，也有一定能力”，但他缺乏被正统数学界接纳所必需的教育背景和理论基础。[69] 尽管希尔没有主动提出收拉马努金为徒，但他对拉马努金的工作给出了详尽且严肃的专业建议。在朋友们的帮助下，拉马努金起草了寄给剑桥大学顶尖数学家的信件。[70]
前两位收到信的教授——H·F·贝克和E·W·霍布森——连看都没看，就把拉马努金的论文原封不动地退了回去。[71] 1913年1月16日，拉马努金写信给G·H·哈代。他之所以选择哈代，是因为他曾在研究《无穷大之阶》（Orders of Infinity, 1910）一书时了解到这位学者。[72][73] 对于一封来自籍籍无名的印度数学家、足足写了九页纸的数学信件，哈代起初甚至怀疑这可能是一场恶作剧。[74] 哈代认出了信中的部分公式，但另一些公式却“令人难以置信”。[75]: 494 让哈代感到惊艳的定理之一位于第三页的底部（对于 成立）：
拉马努金关于无穷级数的其他研究结果同样令哈代印象深刻：
第一个结果实际上在1859年就已经被古斯塔夫·康拉德·鲍尔推导出来了。但第二个结果对哈代来说完全是全新的，它源自一类被称为超几何级数的函数，而欧拉和高斯曾率先探索过该领域。哈代觉得这些结果比高斯在积分领域的工作“更令人着迷”。[76] 当看到手稿最后一页罗杰斯-拉马努金连分数的定理时，哈代坦言这些定理“让我完全无法理解；我以前从未见过哪怕有丝毫相似的东西”，[77] 并且认为这些定理“必然是正确的，因为如果它们不是真的，那绝不可能有人凭空想象得出来”。[77] 哈代请他的同事J·E·李特尔伍德也来看看这些手稿。李特尔伍德同样被拉马努金的天才所折服。在与李特尔伍德讨论过后，哈代得出结论：这封信“无疑是我收到过的最非同凡响的信件”，而拉马努金是“一位拥有最高水准的数学家，一个极具原创力和力量的非凡人物”。[75]: 494–495 另一位同事埃里克·哈罗德·内维尔后来评论道：“当时身处剑桥数学圈的任何人都无法忘记这封信所带来的震撼……（里面的定理）甚至超出了世界上任何最高难度数学考试的范畴。”[62]
1913年2月8日，哈代给拉马努金回了一封信，表达了对他的工作的浓厚兴趣，并补充道：“目前最要紧的，是我必须看到你某些断言的具体证明过程。”[78] 在哈代的信件于2月第三周抵达马德拉斯之前，哈代就已经联系了印度办事处，开始为拉马努金的剑桥之行铺路。印度学生咨询委员会秘书亚瑟·戴维斯（Arthur Davies）亲自会见拉马努金，商讨出国事宜。[79] 然而，受其正统婆罗门教养的影响，拉马努金拒绝离开祖国“踏上异乡的土地”，他的父母也出于同样的禁忌坚决反对。[80] 与此同时，他给哈代寄去了一封塞满定理的回信，信中写道：“我在您身上找到了一个朋友，一个能对我的心血报以同理心的人。”[81]
为了增加哈代推荐的分量，曾在剑桥大学三一学院担任数学讲师的吉尔伯特·沃克在查阅了拉马努金的研究后大为惊叹，极力敦促这位年轻人一定要去剑桥深造。[82] 在沃克的支持下，某工程学院的数学教授B·哈努曼塔·拉奥（B. Hanumantha Rao）邀请拉马努金的同事纳拉亚纳·伊耶参加数学研究委员会的会议，专门讨论“我们能为S·拉马努金做些什么”。[83] 委员会最终同意向拉马努金提供一项为期两年、每月75卢比的马德拉斯大学研究奖学金。[84]
作为一名研究生，拉马努金继续向《印度数学会期刊》提交论文。有一次，伊耶向该期刊提交了拉马努金关于级数求和的一些定理，并特别注明：“以下定理出自马德拉斯大学的数学系学生S·拉马努金之手。”后来到了11月，拉马努金多年前结识的英国教授，马德拉斯基督教学院的爱德华·伯恩斯·罗斯，有一天非常兴奋地走进教室，问他的学生们：“拉马努金懂波兰语吗？”原来在拉马努金的一篇论文中，他竟然超前预判了一位波兰数学家的研究成果，而那位波兰学者的论文那天刚好寄到。[85] 在他的季度报告中，拉马努金推导出许多定理，使得定积分的求解变得更加简单。基于朱利奥·弗鲁拉尼（Giuliano Frullani）1821年的积分定理，拉马努金将其推广，创造出了一种能够用来评估以往被认为无法求解的积分公式。[86]
在拉马努金拒绝前往英国后，他与哈代的通信一度陷入了僵局。哈代不得不求助于当时正在马德拉斯讲学的同事E·H·内维尔，希望他能去指导并说服拉马努金来英国。[87] 当内维尔询问拉马努金为何不愿去剑桥时，拉马努金显然已经改变了主意。内维尔说：“其实根本不需要我去说服他，他父母的阻力已经被排除了。”[62] 显然，拉马努金的母亲做了一个非常清晰的梦。在梦中，她看到拉马努金被一群欧洲人包围着，而他们家族的保护神，纳马吉里神，严厉地命令她“不许再阻挡她儿子完成他人生命运的道路”。[62] 1914年3月17日，拉马努金登船前往英国，[88] 留下妻子和父母在印度等待。[89]
在英国的生活
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拉马努金于1914年3月17日乘坐“内瓦萨号（S.S. Nevasa）”离开马德拉斯。[90][91] 4月14日抵达伦敦时，内维尔开着车在港口等他。四天后，内维尔把他带到了剑桥切斯特顿路（Chesterton Road）的家里。拉马努金随即开始了与李特尔伍德和哈代的合作。六周后，拉马努金搬出了内维尔的家，住进了威维尔庭院，距离哈代的房间只有五分钟的步行路程。[92]
哈代和李特尔伍德开始审阅拉马努金的笔记本。在最初的两封信中，哈代就已经收到了拉马努金的120个定理，但笔记本里藏着更多的研究成果。哈代发现其中有些是错的，有些是别人已经发现过的，而剩下的则是彻头彻尾的全新突破。[93] 拉马努金给这两位数学家留下了极为深刻的印象。李特尔伍德评价道：“我相信他至少拥有雅可比那样的天赋，”[94] 而哈代则断言“我只能拿他和欧拉或雅可比相提并论。”[95]
拉马努金在剑桥度过了近五年的时光，他与哈代和李特尔伍德紧密合作，并在此期间发表了部分研究成果。哈代与拉马努金的性格截然不同。他们的合作是一场不同文化、信仰和工作方式的激烈碰撞。在过去的几十年里，数学基础受到了质疑，学界普遍认识到了数学严谨性证明的必要性。哈代是一个无神论者，也是数学论证和严谨性的坚定拥护者；而拉马努金则是一个极其虔诚的信徒，极度依赖直觉和灵感。哈代竭尽全力想要填补拉马努金正统教育上的空白，并试图指导他理解为了支撑结论而进行正式数学证明的必要性，同时还要小心翼翼地不去扼杀他的灵感——这种平衡对双方来说都非常痛苦且艰难。
拉马努金于1916年3月凭借他在高合成数方面的工作获得了“研究型文学学士”（Bachelor of Arts by Research）学位[96][97] （这正是后来博士学位PhD的前身），该研究的第一部分已于前一年发表在《伦敦数学会会刊》上。这篇论文长达50多页，证明了这类数字的各种复杂属性。尽管哈代本人并不喜欢这个研究领域，但他还是不得不感叹，虽然拉马努金涉足的是数学的相对冷门领域，但他在这里展现出了“对不等式代数的惊人掌控力”。[98]
1917年12月6日，拉马努金入选伦敦数学会。1918年5月2日，他成功当选皇家学会会士，[99] 成为继1841年阿达瑟尔·库塞吉之后的第二位印度籍会士。年仅31岁的拉马努金，成为了皇家学会历史上最年轻的会士之一。他当选的理由是“在椭圆函数和数论领域的杰出研究”。1918年10月13日，他成为了首位当选剑桥大学三一学院会士的印度人。[100]
疾病与离世
编辑拉马努金一生中饱受各种健康问题的折磨。在英国期间，他的病情进一步恶化；一方面是因为要在异国他乡维持宗教规定的严格素食习惯极其困难，另一方面则是由于1914-1918年第一次世界大战期间英国的物资配给制导致他营养不良，抵抗力下降。他被诊断出患有结核病以及严重的维生素缺乏症，并被迫住进疗养院。在1917年底或1918年初，他甚至试图在伦敦地铁站跳轨自杀。苏格兰场以企图自杀（当时这在英国是一项罪行）逮捕了他，但在哈代的紧急介入和斡旋下，他被释放了。[101][102] 1919年，拉马努金回到了马德拉斯省的贡伯戈讷姆，并于次年去世，年仅32岁。他死后，他的哥哥蒂鲁纳拉亚南（Tirunarayanan）整理了他残存的手写笔记，里面记满了关于奇异模数、超几何级数和连分数的数学公式。[42] 据他的遗孀贾纳基·阿玛尔回忆，在拉马努金生命的最后几天，尽管身体承受着巨大的痛苦，“他依然在坚持做数学题，在一张又一张纸上写满了密密麻麻的数字”。[103]
拉马努金去世后，贾纳基·阿玛尔搬到了孟买。1931年，她回到马德拉斯并定居在特里普利卡纳，靠着马德拉斯大学的微薄抚恤金和做裁缝的收入度日。1950年，她收养了一个名叫W·纳拉亚南（W. Narayanan）的男孩，这个孩子后来成为了印度国家银行的一名高管，并建立了自己的家庭。在她晚年，拉马努金曾经的雇主马德拉斯港信托基金局为她提供了一份终生养老金；此外，印度国家科学院以及泰米尔纳德邦、安得拉邦和西孟加拉邦等邦政府也纷纷向她伸出了援手。她一生都在珍视和缅怀拉马努金，并积极投身于提升他公众认可度的各项活动中；像乔治·安德鲁斯（George Andrews）、布鲁斯·C·伯恩特和贝拉·博洛巴什这样杰出的数学家在访问印度时，都必然会专程去拜访她。她于1994年在特里普利卡纳的家中安详辞世。[41][42]
1994年，医学专家D·A·B·杨（D. A. B. Young）对拉马努金的医疗记录和症状进行了详细的分析报告[102]，结论指出：他的所有医学症状——包括他过去的病情复发、发烧以及肝脏异常——都更吻合肝阿米巴病的表现，而非结核病。要知道，肝阿米巴病在当时的马德拉斯是非常常见的传染病，拉马努金在离开印度前曾两次感染痢疾。阿米巴痢疾如果不加以根治，病菌可以在体内潜伏数年之久，最终演变为肝阿米巴病，而当时对于这种并发症的诊断方法还不成熟。[104] 事实上，如果当时能被确诊，阿米巴病是一种极具希望被彻底治愈的疾病；[104][105] 在拉马努金离开英国的前后，那些在一战中感染该病的英国士兵们，很多都得到了成功的救治。[106]
性格与精神生活
编辑拉马努金被描述为一个性格略显内向安静的人，一个举止得体、充满尊严感的人。[108] 在剑桥期间，他过着极其俭朴的生活。[109] 在早期的印度传记作家笔下，拉马努金是一个恪守教规的绝对正统的印度教徒。他将自己所有的才能都归功于其家族神祇（Kuladevata）——纳马卡尔的纳马吉里神（也是伟大的神灵吉祥天女的化身）。他常在工作中寻求女神的启示，[110] 并表示自己曾梦到象征着女神伴侣——那罗辛诃的鲜血。后来，他甚至能在幻象中看到一卷卷写满复杂数学公式的卷轴在眼前展开。[111] 他常把一句话挂在嘴边：“对我来说，一个公式如果不能代表神的某种意志，那它便毫无意义。”[112]
然而，哈代则指出，拉马努金曾向他表露，所有宗教在他看来都有着同等的真实性。[113] 哈代进一步认为，拉马努金的宗教信仰被西方人浪漫化了，同时也被那些印度传记作家夸大了——这里的夸大指的是他在内心绝对的教条信仰，而非日常生活中的习俗表现。不过哈代也承认，拉马努金在遵守严格素食主义方面确实是毫不妥协的。[114]
类似地，在接受《前线 (美国电视节目)》采访时，数学家伯恩特也直言：“许多人都在散布拉马努金凭借神秘力量获得数学思维的流言，这完全是毫无根据的。其实，他在自己的三个笔记本里事无巨细地记录下了每一个结果。”伯恩特进一步推测，拉马努金之所以经常跳过演算过程，只是因为他买不起纸张来永久记录这些步骤，所以只能在石板上进行大量的中间验算，最后才把结论腾抄到纸上。[6]
伯恩特还提到，贾纳基在1984年曾透露，拉马努金把绝大部分的时间都倾注在了数学上，他甚至都没空去神庙朝拜。因为他沉迷于工作忘记进食，贾纳基和婆婆经常不得不亲自给他喂饭。那些关于他有着种种离奇神迹的传说，大多是外人编造的。不过，他在宗教形式上的正统实践是毫无争议的。[115]
数学成就
编辑在数学界，直觉的洞察力和严谨的逻辑推导之间往往存在着微妙的鸿沟。也许是受到了哈代某种风格的感染（哈代极为擅长构建宏大框架，但对繁杂枯燥的计算却不甚热衷），拉马努金提出了大量令人惊叹的数学公式，供后人深入研究——而他自己往往没有写下证明过程。G·H·哈代曾感叹，拉马努金的发现蕴藏着异常丰富的宝藏，越是深入挖掘，越能发现其中别有洞天。作为他这些工作的衍生效应，无数全新的数学研究领域被开启。在这些最不可思议的公式中，就包括关于π的无限级数，其中一个经典的例子如下：
这个结果建立在负基本判别式 的基础上，其类数为 。进一步观察， 并且 ，这与以下事实有着奇妙的关联：
这不禁让人联想到黑格纳数，它的理想类群数为 1，同样能够生成这种精妙的公式。
拉马努金的圆周率级数收敛速度极快，至今仍是当代计算机计算 值最快算法的核心基础之一。只要提取级数的第一项，就能得到 的近似值 ，且精确到小数点后 6 位；如果提取前两项，其精度更是能达到惊人的 14 位 。
拉马努金最令人惊叹的能力之一，是他非凡的解题直觉。关于这一点，有一则发生在他与马哈拉诺比斯之间的著名轶事可以佐证：
“想象一下，你正走在一条两边排列着编号从 1 到 的房子的街道上。如果存在这样一座房子（编号为 ），它左边所有房子的编号总和，刚好等于它右边所有房子的编号总和。如果告诉你 在 50 到 500 之间，那么 和 到底是多少？”这是一个具有多个解的双变量问题。拉马努金只是稍作思索，就给出了一个巧妙的答案：他并没有给出一个简单的数字，而是直接给出了一个连分数！最不可思议的是，这个连分数直接包揽了这一整类问题的所有可能解。马哈拉诺比斯感到非常惊讶，询问他是怎么做到的。拉马努金淡淡地回答：“这很简单啊。我一听到这个问题，脑海中就浮现出答案必须是一个连分数。那我只需要问自己‘是哪个连分数’？紧接着，具体的答案就自己冒出来了。”[116][117]
他超乎常人的直觉还带领他推导出了许多前人闻所未闻的恒等式，例如：
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\left(1+2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\cos(n\theta )}{\cosh(n\pi )}}\right)^{-2}+\left(1+2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\cosh(n\theta )}{\cosh(n\pi )}}\right)^{-2}\\[6pt]={}&{\frac {2\Gamma ^{4}{\bigl (}{\frac {3}{4}}{\bigr )}}{\pi }}={\frac {8\pi ^{3}}{\Gamma ^{4}{\bigl (}{\frac {1}{4}}{\bigr )}}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3affe3db147ab2c00c8ea31e9620380c20c7aafb)
对于所有满足 且 的 ，其中 代表伽玛函数，这还与戴德金η函数的特殊值有着紧密的联系。如果将公式展开为幂级数并对比 、 和 的系数，就能挖掘出关于双曲正割的一系列极具深度的恒等式。
1918年，哈代与拉马努金对分拆函数 展开了全面的研究。他们给出了一个能够精确计算出任意整数分拆数量的非收敛渐近级数。后来在1937年，汉斯·拉德马赫在前人基础上进一步打磨了这个公式，终于找到了一个精确的收敛级数解。拉马努金与哈代在这片未知领域的开拓，直接催生出了一种强大的寻找渐近公式的新方法——著名的圆法。[118]
在拉马努金生命的最后一年，他发现了著名的伪θ函数。[119] 在他死后的许多年里，这些函数对于整个学术界一直是个未解之谜，直到后来它们被确认为调和弱马斯形式的全纯部分，才终于被人们理解。
拉马努金猜想
编辑尽管在数学界有许多定理都可以冠上“拉马努金猜想”的名称，但其中有一个猜想对后世的研究产生了极其深远的影响。这个猜想与代数几何领域中著名的安德烈·韦伊猜想有着紧密的联系，开启了一扇通往全新领域的大门。那个标志性的拉马努金猜想，探讨的是关于拉马努金τ函数大小的断言，该函数的生成函数是一个以判别式模形式 表现的结构，属于模形式理论中极为经典的一个尖形式。这场跨越半个世纪的数学接力终于在1973年落下帷幕——作为皮埃尔·德利涅证明韦伊猜想的附带成果，这个猜想终于被证实。其间的推导步骤极其繁冗复杂。德利涅本人也正是凭借这项卓越的证明，摘得了1978年的菲尔兹奖桂冠。[5][120]
在题为《论某些算术函数》（On certain arithmetical functions）的论文中，拉马努金定义了 Delta 函数，其系数被命名为 （即拉马努金τ函数）。[121] 他证明了这些数字的许多同余关系，例如对于质数 ，满足 。这个同余式（以及拉马努金证明的其他类似公式）极大地启发了1954年菲尔兹奖得主让-皮埃尔·塞尔，促使他推测存在一种伽罗瓦表示理论，该理论能够完美“解释”这些同余式，甚至能统一更一般的模形式理论。 正是历史上第一个以此种视角进行审视的模形式案例。而德利涅（在其荣获菲尔兹奖的工作中）最终证明了塞尔的这一猜想。回顾费马大定理的证明史可以发现，解决该定理的关键步骤，正是将椭圆曲线和模形式置于这些伽罗瓦表示的框架下进行解读。毫不夸张地说，如果没有拉马努金这套理论体系，费马大定理的最终证明将无从谈起。[122]
拉马努金的笔记本
编辑还在马德拉斯的时候，拉马努金就把他最核心的研究成果密密麻麻地写在了四本活页笔记本上。令人遗憾的是，这些结果绝大部分直接给出了结论，而没有留下推导步骤。这或许也是为什么后世一直流传着一个误解——认为拉马努金根本不懂得如何严谨地证明，所有的公式全是他凭直觉直接“看”出来的。数学家布鲁斯·C·伯恩特在对这些笔记本及拉马努金的研究进行分析后表示，拉马努金绝对具备证明绝大多数定理的能力，他只是没有将证明过程记录在纸上而已。
这背后的原因多种多样。一方面，在那个年代纸张十分昂贵。拉马努金绝大多数的推演和试错可能都是在石板上完成的，这在当时马德拉斯省的贫困学生群体中是十分常见的做法；只有在石板上推导出最终公式后，他才会将其誊抄到纸上。另一方面，他很可能深受当年那本启蒙读物——G·S·卡尔著作的影响，该书的排版风格就是只给结论不写证明。此外，拉马努金一开始大概只把这些算式视为个人的研究手记，自然没有觉得有必要一步步写下繁琐的推导过程。[123]
他的第一本笔记本有351页，分成了16个章节，还包含了一些散乱的内容。第二本有256页，包含21个章节外加100多页未分类的手稿。第三本则是33页完全未经整理的随笔。就是这几本旧笔记本，成为了后世大量数学研究的灵感源泉，许多学者纷纷发表论文，旨在证明他留下的结论。就连哈代本人也亲自撰写了多篇论文去解析拉马努金留下的谜题；更不用说后来的G·N·沃森、B·M·威尔逊以及布鲁斯·伯恩特了。[123]
1976年，乔治·安德鲁斯偶然发现了拉马努金的第四本笔记本。这本包含87页散乱手稿的文献，便是日后在数学界引起巨大反响的“拉马努金失落的笔记本”。[104]
哈代-拉马努金数：1729
编辑1729 这个数字之所以被冠名为“哈代-拉马努金数”，源自一段哈代去医院探望病重拉马努金的著名轶事。用哈代自己的话来说：[124]
我记得有一次我去普特尼看望病床上的他。我是坐着车牌号为 1729 的计程车去的，当时我还跟他提到，这数字看起来实在毫无趣味，希望这并非什么不祥之兆。“不，哈代，”他虚弱却又兴奋地反驳道，“这是一个极其有趣的数字；在所有能够被表示为两个立方数之和的数字中，它是能够用两种截然不同的方式表达出来的最小的一个！”
在这段对话发生之前，哈代还引用过李特尔伍德的一句著名评价：“每一个正整数，都是拉马努金的亲密朋友。”[125]
这两种截然不同的立方和表达方式分别是：
这一数学巧合，后来被推广发扬，催生出了数学中“的士数”（Taxicab Numbers）的概念。
顶尖数学家眼中的拉马努金
编辑在哈代于1920年为《自然》杂志撰写的拉马努金讣告中，他指出，拉马努金的数学遗产即便是放在纯粹的数学精英圈里，也显得极为独特且超前。哈代最后做出了这样的结语：
他对公式那种惊人的洞察力简直令人叹为观止，这远远超出了我在任何一位欧洲顶尖数学家身上所见过的极限。如果他在16岁而不是26岁时就接触到最前沿的现代数学思想和严密方法，去推测他原本可以达到怎样的高度，或许已经毫无意义了。如果非要说他本可以成为那个时代最伟大的数学家，也绝非夸大其词。单就他已经完成的工作而言，就已经足够令人震撼……当后人彻底解开并完成了他留下的所有研究课题时，大家一定会发现，拉马努金留给这个世界的财富，远比我们今天看到的还要不可思议。[75]
哈代还做过这样的评价：[127]
“他身上同时具备着卓越的推广能力、对数学形态的天生敏锐感，以及对自己假设进行快速修正的能力。这种天赋有时候确实令人惊叹，在他的专门领域里，他是那个时代最顶尖的存在。但与他的才华同样令人惊讶的，是他对某些基础知识的明显缺乏。你能想象吗？这样一个能够将模方程和定理推导到前所未有高度、对连分数的掌控力超越同时代所有数学家、依靠自己摸索推导出黎曼ζ函数的泛函方程并在解析数论难题中找到主导项的杰出数学家；他竟然连双周期函数都没听说过，连柯西积分定理是什么都不知道。至于什么是复变函数，他脑子里的概念大概也非常模糊……”
为了说明这一点，哈代曾特意点评过拉马努金寄来的第一封信中的15个定理。其中前13个定理既正确又充满前瞻性，第14个虽然存在微小的瑕疵但极具启发意义，至于第15个则是正确却容易让人产生误解的。
(14)：在公式 中， 的系数是以下公式的最接近整数： 哈代直言，这“是他提出过的最具实质性成果的洞见之一，因为正是这个公式，引导我们最终完成了所有关于整数分拆的联合研究”。[128]
当有人好奇拉马努金到底是用什么方法得出这些解答时，哈代表示这往往是“一种混杂着逻辑推理、直觉和归纳的过程，而他本人也很难清晰地解释其全貌。”[129] 哈代甚至承认自己“从未见过能与他比肩的人，如果非要找个人做比较，我只能想到欧拉或雅可比”。[129] 哈代认为拉马努金的工作风格与19世纪早期的数学家相似——他们更倾向于直接推导出正确的公式，而不是建立一套系统、形式化的理论框架。在哈代眼里，拉马努金在代数领域，尤其是超几何级数和连分数上的造诣，是他成就的最高峰。[128]
“也许那个属于数学公式的黄金时代已经终结，或许拉马努金应该晚生一百年；但在他的那个年代，他毫无疑问是一位极其卓越的形式主义大师。过去这50年来，数学界确实涌现了许多更重要、或者可以说是更伟大的数学家；但是，如果在拉马努金最擅长的领域与他相比，世界上没有任何一位数学家能超越他。”[128]
相对而言，拉马努金在分析数学领域的新发现并没有那么多。这可能是因为他没有接受过系统的正统教育，也缺乏合适的教材参考。不过，即便是凭借自身的探索，他依然独立重新推导出了许多经典结果，比如素数定理。在分析学方面，他深入研究了椭圆函数和解析数论。在解析数论这个极具挑战的领域中，拉马努金虽然充满了想象力，但他设想出的很多内容最后都被证明是不准确的。哈代认为这部分原因在于解析数论本身的极高难度，在这个领域，即便是杰出的数学家，也容易因过度依赖直觉而犯错。在解析数论中，严谨的证明远比想象力更为重要，而这恰好是拉马努金工作方式的短板。哈代直言不讳地指出，拉马努金“研究中唯一明显的缺陷”，就是他对解析函数理论“几乎一无所知”。[128]
李特尔伍德曾提到，向拉马努金讲授当时最前沿的现代数学概念是一件十分困难的事情。因为每当提出一个新的知识点，拉马努金的思维就会快速延展，提出各种原创的想法，这使得李特尔伍德无法按计划继续原本的教学。[130]
学者 K·斯里尼瓦萨·拉奥曾这样转述，[131] “如果要评估他在数学史上的地位，我们可以引用布鲁斯·C·伯恩特提到的一段轶事：‘保罗·埃尔德什曾向我们提到过哈代私下里为各位著名数学家打分的情况。假设纯粹以数学天赋作为唯一标准，满分设为100分。在这份排行榜里，哈代非常谦逊地给了自己25分，给了李特尔伍德30分，给了大卫·希尔伯特80分。而对于拉马努金，哈代给出了满分100分。’”在2011年5月于钦奈印度理工学院举行的一场讲座上，伯恩特表示，在过去的40年里，随着拉马努金留下的许多猜想被证实，整个学术界对他的认可度达到了极高水平。拉马努金的思想如今已深入影响了现代数学与物理学的各个前沿领域。[119][132]
逝世后的殊荣
编辑
拉马努金去世后的第二年，《自然》杂志便将他列入了汇聚了全球顶尖科学家和数学家的“科学先驱名录”（Calendar of Scientific Pioneers），正式确立了他在科学史上的重要地位。[133] 拉马努金的家乡泰米尔纳德邦将每年的12月22日（拉马努金的生日）设立为“全邦信息技术日”（State IT Day）以示纪念。印度政府更是分别在1962年、2011年、2012年和2016年，四次发行印有拉马努金肖像的国家级纪念邮票，以致敬这位杰出的人物。[134]
自拉马努金诞辰一百周年起，他曾就读的贡伯戈讷姆政府艺术学院以及位于钦奈的钦奈印度理工学院（IIT Madras），每年都会在12月22日隆重举行“拉马努金日”的庆祝活动。而在国际层面上，国际理论物理中心（ICTP）联合国际数学联盟，设立了以拉马努金名字命名的奖项，专门表彰来自发展中国家的青年数学学者。位于印度泰米尔纳德邦的私立学府沙斯特拉大学（SASTRA University）也设立了SASTRA拉马努金奖。该奖项每年颁发 10,000 美元，授予全球范围内年龄不超过32岁、且在拉马努金所涉及的数学领域做出突出贡献的青年学者。[135]
在印度政府大学拨款委员会（UGC）的支持下，由 SASTRA 建立的斯里尼瓦瑟·拉马努金中心，已被确立为 SASTRA 大学的校外直属核心机构。在这个校区内，还设立了“拉马努金数学之家”——一座全面展示拉马努金生平和学术遗产的博物馆。此外，SASTRA 出资买下了拉马努金当年在贡伯戈讷姆的故居，并对其进行了全面的修缮和保护。[135]
2011年，在拉马努金诞辰125周年的庆典上，印度政府宣布每年的12月22日将被设立为印度的“国家数学日”。[136] 时任印度总理曼莫汉·辛格出席活动，宣布将2012年定为印度的国家数学年，并将12月22日确立为印度的国家数学日 (印度)。[137]
此外，以他名字命名的拉马努金IT城于2011年在钦奈建成。这是一个大型的信息技术经济特区（SEZ），紧邻著名的TIDEL科技园。该项目占地 25 英亩，规划为两个核心区域，总建筑面积达到 570 万平方英尺，其中办公空间占了 450 万平方英尺。[138]
纪念邮票
编辑以下是由印度邮政发行的纪念邮票（按年份排列）：
流行文化中的拉马努金
编辑- 《热爱数字的人》（The Man Who Loved Numbers）是1988年PBS科普栏目《NOVA》推出的一部关于拉马努金的纪录片（第15季，第9集）。[139]
- 2015年上映的电影《知无涯者》改编自罗伯特·卡尼格尔（Robert Kanigel）创作的同名传记。英国演员戴夫·帕特尔在片中担任主演，饰演拉马努金。[140][141][142]
- 《拉马努金 (电影)》是一部记录拉马努金生平的印英合资传记电影。该片由独立电影公司 Camphor Cinema 制作，并于2014年上映。[143] 影片制作团队阵容强大：由著名导演格纳纳·拉贾塞卡兰执导，摄影师桑尼·约瑟夫负责拍摄，并由剪辑师B·列宁完成后期制作。[144][145] 演员阵容包含了印英两国的知名演员，包括阿比纳伊·瓦迪、苏哈西尼·马尼拉特南、巴玛 (演员)、凯文·麦高恩（Kevin McGowan）以及迈克尔·利伯等。[146]
- 印度导演南丹·库迪亚迪（Nandan Kudhyadi）不仅执导了讲述这位数学家故事的纪录片《斯里尼瓦瑟·拉马努金的天才之路》（The Genius of Srinivasa Ramanujan，2013年），随后又在2016年推出了续作《斯里尼瓦瑟·拉马努金：数学家与他的非凡遗产》（Srinivasa Ramanujan: The Mathematician and His Legacy）。[147]
- 由阿卡什迪普（Akashdeep）执导的剧情纪录片《拉马努金（重塑20世纪数学的男人）》（Ramanujan (The Man Who Reshaped 20th Century Mathematics)）于2018年发布。[148]
- 在 M. N. Krish 创作的悬疑小说《立体角轨迹》（The Steradian Trail）中，作者将拉马努金生平及其数学发现作为核心线索，将宗教信仰、高等数学、现代金融和宏观经济交织成了一个完整的故事。[149][150]
- 由艾拉·豪普特曼（Ira Hauptman）创作、刻画哈代与拉马努金之间复杂情谊的话剧《分拆》（Partition），于2003年首演并引起共鸣。[151][152][153][154]
- 由 Alter Ego 剧团出品的话剧《头等人物》（First Class Man）[155] 改编自大卫·弗里曼（David Freeman）的同名原著。这部话剧聚焦了拉马努金与哈代之间复杂而又充满差异的人际关系。2011年10月16日，官方宣布曾执导《明日帝国》的导演罗杰·斯波蒂斯伍德将执导该剧的电影改编版，并由西达尔特 (演员)担纲主演。[156]
- 英国戏剧剧团Complicite剧团也推出了一部探讨哈代与拉马努金两人故事的舞台剧《消失的数字》。[157]
- 作家大卫·莱维特在其小说《印度职员》中，还原了当年那封信件寄到哈代手中后，剑桥学术圈所产生的一系列反应。[158][159]
- 为了向拉马努金致敬，Google 在他125周年诞辰当天将主页标志替换成了专门定制的涂鸦。[160][161]
- 在1997年的电影《心灵捕手》中，麻省理工的教授（由斯特兰·斯卡斯加德饰演）在向他人极力推荐具有非凡天赋的男主（由马特·达蒙饰演）时，将其与数学家拉马努金相提并论。[162]
- 在电视剧《数字追凶》中，科学家阿米塔·拉马努金（由娜薇·罗华饰演）的名字便是对斯里尼瓦瑟·拉马努金的致敬。
精选论文
编辑- Ramanujan, S. Some definite integrals. Messenger Math. 1914, 44: 10–18.
- Ramanujan, S. Some definite integrals connected with Gauss's sums. Messenger Math. 1914, 44: 75–85.
- Ramanujan, S. On certain infinite series. Messenger Math. 1915, 45: 11–15.
- Ramanujan, S. Highly Composite Numbers. Proceedings of the London Mathematical Society. 1915, 14 (1): 347–409. doi:10.1112/plms/s2_14.1.347.
- Ramanujan, S. On the number of divisors of a number. The Journal of the Indian Mathematical Society. 1915, 7 (4): 131–133.
- Ramanujan, S. Short Note: On the sum of the square roots of the first n natural numbers. The Journal of the Indian Mathematical Society. 1915, 7 (5): 173–175.
- Ramanujan, S. Some formulae in the analytical theory of numbers. Messenger Math. 1916, 45: 81–84.
- Ramanujan, S. A Series for Euler's Constant γ. Messenger Math. 1916, 46: 73–80.
- Ramanujan, S. On the expression of numbers in the form . Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. 1917, 19: 11–21.
- Hardy, G. H.; Ramanujan, S. Asymptotic Formulae for the Distribution of Integers of Various Types. Proceedings of the London Mathematical Society. 1917, 16 (1): 112–132. doi:10.1112/plms/s2-16.1.112.
- Hardy, G. H.; Ramanujan, Srinivasa. Asymptotic Formulae in Combinatory Analysis. Proceedings of the London Mathematical Society. 1918, 17 (1): 75–115. doi:10.1112/plms/s2-17.1.75.
- Hardy, G. H.; Ramanujan, Srinivasa. On the coefficients in the expansions of certain modular functions. Proc. R. Soc. A. 1918, 95 (667): 144–155. Bibcode:1918RSPSA..95..144H. doi:10.1098/rspa.1918.0056
. - Ramanujan, Srinivasa. Some definite integrals. The Journal of the Indian Mathematical Society. 1919, 11 (2): 81–88.
- Ramanujan, S. A proof of Bertrand's postulate. The Journal of the Indian Mathematical Society. 1919, 11 (5): 181–183.
- Ramanujan, S. A class of definite integrals. Quart. J. Pure. Appl. Math. 1920, 48: 294–309. hdl:2027/uc1.$b417568?urlappend=%3Bseq=306.
- Ramanujan, S. Congruence properties of partitions. Math. Z. 1921, 9 (1–2): 147–153. S2CID 121753215. doi:10.1007/BF01378341. 在其逝世后出版的一份更长、未发表手稿的摘录。
拉马努金的更多数学著作
编辑- George E. Andrews 与 Bruce C. Berndt，Ramanujan's Lost Notebook: Part I (Springer, 2005, ISBN 0-387-25529-X)[163]
- George E. Andrews and Bruce C. Berndt, Ramanujan's Lost Notebook: Part II, (Springer, 2008, ISBN 978-0-387-77765-8)
- George E. Andrews and Bruce C. Berndt, Ramanujan's Lost Notebook: Part III, (Springer, 2012, ISBN 978-1-4614-3809-0)
- George E. Andrews and Bruce C. Berndt, Ramanujan's Lost Notebook: Part IV, (Springer, 2013, ISBN 978-1-4614-4080-2)
- George E. Andrews and Bruce C. Berndt, Ramanujan's Lost Notebook: Part V, (Springer, 2018, ISBN 978-3-319-77832-7)
- M. P. Chaudhary, A simple solution of some integrals given by Srinivasa Ramanujan, (Resonance: J. Sci. Education – publication of Indian Academy of Science, 2008)[164]
- M.P. Chaudhary, Mock theta functions to mock theta conjectures, SCIENTIA, Series A: Math. Sci., (22)(2012) 33–46.
- M.P. Chaudhary, On modular relations for the Roger-Ramanujan type identities, Pacific J. Appl. Math., 7(3)(2016) 177–184.
探讨拉马努金及其著作的精选出版物
编辑- Berndt, Bruce C. Butzer, P. L.; Oberschelp, W.; Jongen, H. Th. , 编. Charlemagne and His Heritage: 1200 Years of Civilization and Science in Europe (PDF). Turnhout, Belgium: Brepols Verlag. 1998: 119–146. ISBN 978-2-503-50673-9. （原始内容存档 (PDF)于2004-09-09）.
- Berndt, Bruce C.; Rankin, Robert A. Ramanujan: Letters and Commentary 9. Providence, Rhode Island: American Mathematical Society. 1995. ISBN 978-0-8218-0287-8.
- Bruce C. Berndt; Robert Alexander Rankin. Ramanujan: Essays and Surveys
22. Providence, Rhode Island: American Mathematical Society. 2001. ISBN 978-0-8218-2624-9. - Berndt, Bruce C. Number Theory in the Spirit of Ramanujan 9. Providence, Rhode Island: American Mathematical Society. 2006. ISBN 978-0-8218-4178-5.
- Berndt, Bruce C. Ramanujan's Notebooks: Part I. New York: Springer. 1985. ISBN 978-0-387-96110-1.
- Berndt, Bruce C. Ramanujan's Notebooks: Part II. New York: Springer. 1999. ISBN 978-0-387-96794-3.
- Berndt, Bruce C. Ramanujan's Notebooks: Part III . New York: Springer. 2004. ISBN 978-0-387-97503-0.
- Berndt, Bruce C. Ramanujan's Notebooks: Part IV. New York: Springer. 1993. ISBN 978-0-387-94109-7.
- Berndt, Bruce C. Ramanujan's Notebooks: Part V. New York: Springer. 2005. ISBN 978-0-387-94941-3.
- Hardy, G. H. The Indian Mathematician Ramanujan. American Mathematical Monthly. 1937-03-01, 44 (3): 137–155. JSTOR 2301659. doi:10.2307/2301659.
- Hardy, G. H. Ramanujan. New York: Chelsea Pub. Co. 1978. ISBN 978-0-8284-0136-4.
- Hardy, G. H. Ramanujan: Twelve Lectures on Subjects Suggested by His Life and Work. Providence, Rhode Island: American Mathematical Society. 1999. ISBN 978-0-8218-2023-0.
- Henderson, Harry. Modern Mathematicians . New York: Facts on File Inc. 1995. ISBN 978-0-8160-3235-8.
- Robert Kanigel. The Man Who Knew Infinity (book). New York: Charles Scribner's Sons. 1991. ISBN 978-0-684-19259-8.
- David Leavitt. The Indian Clerk paperback. London: Bloomsbury. 2007. ISBN 978-0-7475-9370-6.
- Jayant V. Narlikar. Scientific Edge: the Indian Scientist From Vedic to Modern Times. New Delhi, India: Penguin Books. 2003. ISBN 978-0-14-303028-7.
- Ken Ono; Amir Aczel. My Search for Ramanujan: How I Learned to Count. Springer Science+Business Media. 2016-04-13. ISBN 978-3319255668.
- Sankaran, T. M. Srinivasa Ramanujan- Ganitha lokathile Mahaprathibha (报告). Kochi, India: Kerala Sasthra Sahithya Parishad. 2005 （马拉雅拉姆语）.
关于拉马努金著作的精选出版物
编辑- Ramanujan, Srinivasa; Hardy, G. H.; Seshu Aiyar, P. V.; Bertram Martin Wilson; Berndt, Bruce C. Collected Papers of Srinivasa Ramanujan. AMS. 2000. ISBN 978-0-8218-2076-6.
- 这本书最初是在拉马努金死后的1927年出版的[165]。它收录了拉马努金生前在专业期刊上发表的37篇论文。该书的第三次重印版包含了布鲁斯·C·伯恩特（Bruce C. Berndt）补充的评论。
- S. Ramanujan. Notebooks (2 Volumes). Bombay: Tata Institute of Fundamental Research. 1957.
- 这些书包含了拉马努金亲笔书写的原版笔记本的复印件。
- S. Ramanujan. The Lost Notebook and Other Unpublished Papers. New Delhi: Narosa. 1988. ISBN 978-3-540-18726-4.
- 这本书收录了“失落的笔记本”书页的复印件。
- Problems posed by Ramanujan, Journal of the Indian Mathematical Society.
- S. Ramanujan. Notebooks (2 Volumes). Bombay: Tata Institute of Fundamental Research. 2012.
- 这是由钦奈罗亚·穆提亚研究图书馆（Roja Muthiah Research Library）的专业档案保管员利用原稿的扫描件和微缩胶卷制作而成的。
参见
编辑
脚注
编辑参考资料
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