Fonction x puissance x 📖 Wikipedia

Cette fonction porte différents noms selon les articles dans lesquelles elle est étudiée. Dans les versions anglophones, on peut trouver les termes de self exponential ou coupled exponent^[1]. En relation avec son cas particulier de tétration, on trouve aussi Second-order towering exponent^[1]. Dans les versions françaises, on peut trouver le terme de surpuissance seconde^[2].

Puisqu'il s'agit de la tétration d'ordre 2 de ${\displaystyle x}$ , on peut rencontrer les notations ${\displaystyle f(x)=x^{x}=\ ^{2}x}$  ou, selon la notation des puissances itérées de Knuth, ${\displaystyle f(x)=x\uparrow \uparrow 2}$ . Fantini et Koepfler la notent^[1] ${\displaystyle f(x)=\mathrm {cxt} (x).}$ 

La fonction ${\displaystyle f:\mathbb {R_{+}^{*}} \rightarrow \mathbb {R} }$  est définie par : ${\displaystyle x\mapsto x^{x}}$ . Pour l'étudier, il est souvent commode de la réécrire avec les fonctions exponentielle et logarithme naturel :

${\displaystyle \forall x>0,\ f(x)=x^{x}=\mathrm {e} ^{x\ln x}.}$ 

L'indétermination de la limite en 0 se lève en passant par la forme exponentielle et par croissance comparée :

${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}x^{x}=\lim _{x\to 0^{+}}{\mathrm {e} ^{x\ln x}}=\lim _{x\to 0^{+}}{\mathrm {e} ^{x}}=1.}$ 

La dérivée de la fonction s'obtient en dérivant ${\displaystyle x\mapsto \mathrm {e} ^{x\ln x}}$  :

${\displaystyle f'(x)=\mathrm {e} ^{x\ln x}(\ln x+1)}$ .

La dérivée est de même signe que ${\displaystyle \ln x+1}$ , fonction strictement croissante qui s'annule en ${\textstyle {\frac {1}{\mathrm {e} }}}$ . La fonction ${\displaystyle x\mapsto x^{x}}$  est donc strictement décroissante sur ${\textstyle ]0;{\frac {1}{\mathrm {e} }}]}$ , strictement croissante sur ${\textstyle [{\frac {1}{\mathrm {e} }};+\infty [}$ , et possède un minimum atteint en ${\textstyle {\frac {1}{\mathrm {e} }}}$  ≈ 0,36788 qui vaut ${\textstyle {\mathrm {e} }^{-{\frac {1}{e}}}}$  ≈ 0,69220.

La fonction x ↦ x^x croît plus rapidement que chacune des fonctions x ↦ a^x.

C'est-à-dire que ${\displaystyle \lim _{x\to +\infty }{\frac {x^{x}}{a^{x}}}=+\infty .}$ 

La suite ${\displaystyle (n^{n})}$  croit même plus vite que ${\displaystyle (n!)}$ . La formule de Stirling donne un équivalent^[3] de ${\displaystyle n!}$  en fonction de ${\displaystyle n^{n}:}$  ${\displaystyle n\,!\sim {\sqrt {2\pi n}}\,{\frac {n^{n}}{\mathrm {e} ^{n}}}}$ 

Les équations ${\displaystyle (1):\,a^{t}=t}$  et ${\displaystyle (2):x^{x}=b}$  sont liées par la relation suivante^[2] : ${\displaystyle a^{t}=t\iff (1/t)^{1/t}=1/a}$  soit encore ${\displaystyle x^{x}=b\iff (1/b)^{1/x}=1/x.}$ 

C'est donc à l'aide de l'équation (1) que sont d'abord cherchées les solutions de l'équation (2).

L'étude de la fonction W de Lambert multivaluée permet d'offrir une nouvelle expression de la fonction réciproque de ${\displaystyle f}$  : Pour y > 0 donné, on a^[4] :

${\displaystyle x^{x}=y\Longleftrightarrow x=\exp(W(\ln y))}$ 

où W désigne la fonction W de Lambert.

Plus exactement, la fonction de Lambert possède deux branches réelles :

• ${\displaystyle W_{0}}$ , définie sur ${\displaystyle [-1/\mathrm {e} ;+\infty [}$  à valeurs dans ${\displaystyle [-1;+\infty [}$ , qui permet d'exprimer la réciproque de ${\displaystyle f}$  considérée comme une bijection croissante de ${\displaystyle [1/\mathrm {e} ;+\infty [}$  sur ${\displaystyle [\exp(-1/\mathrm {e} );+\infty [;}$ 
• ${\displaystyle W_{-1}}$ , définie sur ${\displaystyle [-1/\mathrm {e} ;0[}$  à valeurs dans ${\displaystyle ]-\infty ;-1]}$ , qui permet d'exprimer la réciproque de ${\displaystyle f}$  considérée comme une bijection décroissante de ${\displaystyle ]0;1/e]}$  sur ${\displaystyle [\exp(-1/\mathrm {e} );1[.}$ 

Fantini et Kloepfer ont nommé cette réciproque coupled root (racine de l'exposant couplé) et l'ont notée ${\displaystyle \mathrm {crt} }$ ^[5].

La primitive de ${\displaystyle f}$  n'est pas une fonction élémentaire^[6]. Cette propriété se démontre grâce au théorème de Liouville^[7].

Mais l'intégrale de ${\displaystyle f}$  sur l'intervalle ${\displaystyle [0;1]}$  offre un développement en série remarquable. Ce résultat porte le nom de rêve du deuxième année^[8]. ${\displaystyle \int _{0}^{1}x^{x}\mathrm {d} x=-\sum _{n=1}^{+\infty }(-n)^{-n}}$ .

La fonction se prolonge par continuité en 0 par passage à la limite, en posant: ${\displaystyle f(0)=\lim _{x\to 0}x^{x}=1}$ . Mais la fonction prolongée n'est pas dérivable en 0 et la courbe possède en ce point l'axe des ordonnées comme tangente.

Il est possible, à partir des fonctions racines n-ièmes, d'étendre la définition des fonctions puissances à tout exposant rationnel comme suit : ${\displaystyle x^{p/q}=f_{p/q}(x)=f_{p}\circ f_{1/q}(x)=({\sqrt[{q}]{x}})^{p}.}$ 

Cette expression a un sens pour tout réel négatif dès que ${\displaystyle q}$  est impair. Il est donc possible de définir ${\displaystyle f(-p/q)}$  pour tout ${\displaystyle p}$  entier naturel non nul et tout ${\displaystyle q}$  entier naturel impair premiers entre eux^[9]. ${\displaystyle f(r)=f(-p/q)=\left({\sqrt[{q}]{-p/q}}\right)^{-p}}$ 

• pour p pair, cette expression s'écrit ${\displaystyle f(r)=f(-p/q)=({\sqrt[{q}]{p/q}})^{-p}=\left(p/q\right)^{-p/q}=|r|^{r}}$ .
• pour p impair, cette expression s'écrit ${\displaystyle f(r)=f(-p/q)=-({\sqrt[{q}]{p/q}})^{-p}=-\left(p/q\right)^{-p/q}=-|r|^{r}}$ .

En utilisant le logarithme complexe il est possible de l'étendre en une fonction multivaluée sur tout le plan complexe^[10].

Pour tout ${\displaystyle x}$ , ${\displaystyle \ln(x)=\ln(|x|)+\mathrm {i} (\theta +2k\pi )}$  où ${\displaystyle \theta }$  est un argument de x. Donc: ${\displaystyle {\begin{aligned}x^{x}&=\exp(x\ln x)=\exp(x\ln |x|+\mathrm {i} x(\theta +2k\pi ))\\&=|x|^{x}\left(\cos(x(\theta +2k\pi )+\mathrm {i} \sin(x(\theta +2k\pi )\right)\end{aligned}}}$ 

• Tout réel positif possède un argument nul et ${\displaystyle x^{x}=|x|^{x}\left(\cos(2k\pi x)+\mathrm {i} \sin(2k\pi x\right)}$ 
• Tout réel négatif possède un argument égal à ${\displaystyle \pi }$  et ${\displaystyle x^{x}=|x|^{x}\left(\cos((2k+1)\pi x)+\mathrm {i} \sin((2k+1)\pi x\right)}$ 

Cette fonction de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{*}}$  dans ${\displaystyle \mathbb {C} }$  peut se représenter dans l'espace par l'ensemble des points de coordonnées ${\displaystyle (x,\Re (x^{x}),\Im (x^{x}))}$ .

Tous ces points sont sur un fuseau, obtenu par la rotation de la courbe d'équation ${\displaystyle y=|x|^{x}}$  autour de l'axe des abscisses. Pour chaque valeur de ${\displaystyle k}$ , ces points décrivent une courbe spiralant sur ce fuseau. Dans le graphique ci-dessus, sont dessinées les spirales pour ${\displaystyle k\in [\![-4;4]\!]}$ .

Ces points sont inégalement répartis, selon que ${\displaystyle x}$  est rationnel ou irrationnel^[11]. Les points du graphe d'abscisse ${\displaystyle x}$  sont toujours sur un cercle de rayon ${\displaystyle |x|^{x}}$ .

• pour ${\displaystyle x}$  irrationnel, les points sont denses sur le cercle;
• pour ${\displaystyle x=r=p/q}$  (fraction irréductible), il y a exactement ${\displaystyle q}$  points sur le cercle. En particulier, chaque entier relatif non nul a une unique image par cette fonction.
  • pour ${\displaystyle r>0}$ , il y a parmi ces points
    • un point correspondant à un réel positif si ${\displaystyle q}$  est impair;
    • deux points correspondant à deux réels opposés si ${\displaystyle q}$  est pair.
  • pour ${\displaystyle r<0}$ , il y a,
    • aucun point correspondant à des réels si ${\displaystyle q}$  est pair;
    • un seul point correspondant à un réel si ${\displaystyle q}$  est impair, ce réel étant positif ou négatif selon la parité de ${\displaystyle p}$ .

L'idée d'une expression comme ${\displaystyle x^{x}}$  précède l'étude des relations entre exponentielle et logarithme. Elle nait d'une généralisation de la puissance rationnelle à un exposant réel, puis de l'idée que l'exposant pourrait être aussi une variable. Cette généralisation est le fait de Newton^[12] et de Leibniz. À cette époque, la notation est seulement symbolique sans que soit défini avec précision comment pourrait se calculer et s'étudier de telles formes^[13]. Ainsi voit-on Leibniz s'interroger en 1679 sur le sens à donner à une équation comme ${\displaystyle x^{x}-x=27}$  et sur les méthodes à mettre en place pour la résoudre^[14],[15]

La fonction en elle-même est étudiée par Leibniz et Jean Bernoulli à partir de 1694. Ils font le lien entre ${\displaystyle x^{x}}$  et ${\displaystyle \exp(x\ln x)}$ , construisent points par points sa courbe représentative à l'aide de la courbe logarithmique et en tracent ses tangentes en remarquant que la sous-tangente^[16] au point d'abscisse ${\displaystyle x}$  est ${\displaystyle {\frac {1}{1+\ln(x)}}}$ ^[17],[18].

C'est également Bernoulli qui établit en 1697 la formule dite du rêve du deuxième année^[19],[20] : ${\displaystyle \int _{0}^{1}x^{x}\mathrm {d} x=\sum _{n=1}^{+\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{n^{n}}}}$ . Pour cela, il utilise le développement de ${\displaystyle x^{x}}$  sous la forme suivante : ${\displaystyle x^{x}=1+x\ln x+{\frac {(x\ln x)^{2}}{2!}}+\cdots +{\frac {(x\ln x)^{n}}{n!}}+\cdots }$  et intègre chacun des termes par une intégration par parties.

À la même époque, Euler démontre que la tour de puissance ${\displaystyle x}$ , ${\displaystyle x^{x}}$ , ${\displaystyle x^{x^{x}}}$ , ..., ${\displaystyle \,^{n}x}$ , ... soit la n-ième surpuissance de ${\displaystyle x}$  converge pour tout ${\displaystyle x}$  appartenant à ${\displaystyle \left]{\frac {1}{f(\mathrm {e} )}};{\frac {1}{f(1/\mathrm {e} )}}\right[}$  et que la limite ${\displaystyle y}$  est solution de l'équation ${\displaystyle x=y^{1/y}={\frac {1}{f(1/y)}}}$  soit ${\displaystyle 1/x=f(1/y)}$  fournissant ainsi un outil pour résoudre l'équation « ${\displaystyle a=f(t)}$  »^[5].

En 1844, Gotthold Eisenstein développe en série la réciproque de la fonction ${\displaystyle f}$  et donne une valeur approchée de ${\displaystyle f^{-1}(n)}$  pour tous les entiers de 1 à 40, et pour quelques dizaines^[5],[21] ${\displaystyle f^{-1}(x)=1+\ln x-{\frac {(\ln x)^{2}}{2!}}+2^{2}{\frac {(\ln x)^{3}}{3!}}+3^{3}{\frac {(\ln x)^{4}}{4!}}\cdots }$  pour tout ${\displaystyle x\in \left]f(1/e);{\frac {1}{f(1/e)}}\right[.}$ 

La fonction W de Lambert, pressentie en 1758, est étudiée au cours du XX^e siècle.

• Mark D. Meyerson, « The x^x Spindle », Mathematics Magazine, Mathematical Association of America, vol. 69, n^o 3,‎ juin 1996

• La fonction y=x^x sur WolframAlpha
• Jay Fantini et Gilbert Kloepfer, « Wexzal/The coupled Exponent », 1998

• Tétration
• Rêve du deuxième année
• Fonction W de Lambert

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