Problemy Smale'a 📖 Wikipedia

Problemy Smale'a – lista 18 problemów matematycznych ułożonych przez Stephena Smale'a w 1998 roku i opublikowana ponownie w 1999^[1]^[2].

Smale stworzył listę w odpowiedzi na prośbę Władimira Arnolda, wówczas wiceprezesa Międzynarodowej Unii Matematycznej, który wysłał do kilku matematyków prośbę o stworzenie listy problemów matematycznych na XXI wiek. Arnold inspirował się listą problemów Hilberta, które zostały opublikowane na początku XX wieku i miały znaczący wpływ na rozwój matematyki w tym stuleciu.

Cztery z problemów Smale'a trafiły w roku 2000 na listę problemów milenijnych opublikowaną przez Instytut Claya: Hipoteza Riemanna, hipoteza Poincarego, problem P vs NP oraz istnienie rozwiązań równań Naviera-Stokesa.

Lista problemów

edytuj

Problem	Krótki opis	Aktualny status	Rok rozwiązania
1	Hipoteza Riemanna: część rzeczywista dowolnego nietrywialnego miejsca zerowago funkcji zeta Riemanna wynosi ${\tfrac {1}{2}}$	Problem otwarty.	–
2	Hipoteza Poincarego: dowolna domknięta, jednospójna, 3-wymiarowa rozmaitość topologiczna jest homeomorficzna ze sferą 3-wymiarową.	Rozwiązany, udowodniona przez Grigorija Perelmana	2003
3	Problem P vs NP: Czy dla dowolnego problemu obliczeniowego, którego rozwiązanie można zweryfikować w czasie wielomianowym na maszynie Turinga, można je również znaleźć w czasie wielomianowym?	Problem otwarty.	–
4	Hipoteza Tau Shuba-Smale'a dotycząca zer całkowitych wielomianu jednej zmiennej^[3]	Problem otwarty.	–
5	Czy da się rozstrzygnąć czy wielomianowe równanie diofantyczne ƒ(x, y) = 0 (wejście dla algorytmu: ƒ ∈ ${\textstyle \mathbb {Z} }$ [x, y]) ma rozwiązanie całkowite, (x, y), w czasie (2^s)^c dla pewnej ogólnej stałej c? Innymi słowy, czy ten problem jest rozstrzygalny w czasie wykładniczym?	Problem otwarty.	–
6	Czy liczba stanów względnej równowagi w problemie n ciał w mechanice klasycznej jest skończona dla dowolnego wyboru dodatnich liczb rzeczywistych $m_{1},\dots ,m_{n}$ będących masami ciał?	Rozwiązany częściowo. Udowodniony dla prawie wszystkich układów pięciu ciał przez A. Albouy oraz V.Kaloshina w 2012^[4].	2012
7	Czy istnieje algorytm na znalezienie zbioru: $(x_{1},...,x_{N})$ , takiego, że funkcja: $V_{N}(x)=\sum _{1\leqslant i<j\leqslant N}\log {\frac {1}{\\|x_{i}-x_{j}\\|}}$ przyjmuje swoje minimum dla rozmieszczenia N punktów na sferze 2 wymiarowej? Jest to powiązane z problemem Thomsona.	Problem otwarty.	–
8	Rozszerzenie modelu matematycznego równowagi rynkowej, aby uwzględniał korekty cen.	Gjerstad w 2013 rozszerzył deterministyczny model korekty cen do modelu stochastycznego, który po linearyzacji w punktach równowagi zapewnia autoregresyjne dopasowanie cen stosowane w ekonometrii^[5]. Lindgren w 2022 stworzył inny model wykorzystujący programowanie dynamiczne wykorzystujący równania Hamiltona-Jacobiego-Bellmana do dynamiki zmian cen^[6]. Na chwilę obecną nie ma powszechnej zgody czy problem można uznać za rozwiązany częściowo lub zamknięty.	2013? 2022?
9	Problem programowania liniowego: znaleźć algorytm, który dla danej macierzy $A\in \mathbb {R} ^{m\cdot n}$ i wektora $x\in \mathbb {R} ^{m}$ w silnie wielomianowym czasie rozstrzygnie czy istnieje taki $x\in \mathbb {R} ^{n}$ , że $Ax\geqslant b$ .	Problem otwarty.	–
10	Udowodnić Lemat Pugha o domknięciu dla funkcji z klas gładkości wyższych niż $C^{1}$ .	Rozwiązany częściowo. Wersja $C^{\infty }$ udowodniona dla dyfeomorfizmów Hamiltona domkniętych powierzchni gładkich w 2016^[7].	2016
11	Czy dynamika jednowymiarowa jest ogólnie hiperboliczna? (a) Czy dowolny zespolony wielomian T może być aproksymowany wielomianami tego samego stopnia o tej własności, że dowolny punkt krytyczny w kolejnych iteracjach zmierza do zlewu? (b) Czy odwzorowanie gładkie $T:[0,1]\rightarrow [0,1]$ może być przybliżone odwzorowaniami klasy $C^{r}$ które są hiperboliczne dla dowolnego $r>1$ ?	(a) Problem otwarty.	–
11		(b) Rozwiązany, udowodnione przez Kozłovskiego, Shena i van Striena^[8].	2007
12	Dla gładkiej rozmaitości domkniętej $M$ i dowolnego $r\geqslant 1$ niech $\mathrm {Diff} ^{r}(M)$ będzie grupą topologiczną dyfeomorfizmów klasy $C^{r}$ z $M$ na nią samą. Biorąc dowolny dyfeomorfizm $A\in \mathrm {Diff} ^{r}(M)$ , czy jest możliwe by aproksymować go z dowolną dokładnością za pomocą $T\in \mathrm {Diff} ^{r}(M)$ które są przemienne wyłącznie ze swoimi potęgami? Innymi słowy, czy podzbiór dyfeomorfizmów których centralizatory są trywialne jest gęsty w $\mathrm {Diff} ^{r}(M)$ ?	Rozwiązany częściowo. Christian Bonatti, Sylvain Crovisier oraz Amie Wilkinson udowodnili przypadek dla topologii $C^{1}$ ^[9]. Dla $r\geqslant 2$ problem wciąż nierozwiązany.	2009
13	16 problem Hilberta: podać opis owali powstających jako rzeczywiste krzywe algebraiczne oraz powstających jako zamknięte cykle dla wielomianowych pól wektorowych na płaszczyźnie rzeczywistej.	Problem otwarty.	–
14	Czy atraktor Lorenza przejawia takie własności jak dziwny atraktor?	Rozwiązany, odpowiedź twierdząca. Warwick Tucker podał dowód używając technik komputerowych połączonych z formą normalną^[10].	2002
15	Czy równania Naviera-Stokesa w $\mathbb {R} ^{3}$ posiadają jedyne i gładkie rozwiązania, które nie są ograniczone w czasie?	Problem otwarty.	–
16	Hipoteza Jakobianowa: jeżeli Jakobian odwzorowania regularnego $F:k^{n}\rightarrow k^{n}$ jest niezerową stałą i $k$ ma charakterystykę 0, wówczas $F$ posiada regularne odwzorowanie odwrotne $G:k^{n}\rightarrow k^{n}$ .	Problem otwarty.	–
17	Znaleźć algorytm rozwiązujący równania wielomianowe, który dla przeciętnego przypadku wykonuje się w czasie wielomianowym.	Rozwiązany, początkowo przez zaproponowanie algorytmów losowych przez Beltrána i Pardo^[11] ^[12]^[13]. Kilkuletnie wysiłki zakończone derandomizacją algorytmu A la Bertan-Pardo i w konsekwencji podaniem w pełni deterministycznego algorytmu spełniającego założenia problemu^[14]^[15].	2008–2016
18	Ograniczenia inteligencji (problem dotyczy fundamentalnych kwestii dotyczących inteligencji i uczenia się, zarówno ludzkiej inteligencji jak i uczenia maszynowego).	Różni autorzy twierdzą, że podali rozwiązania tego problemu, wliczając w to argumenty za nieograniczonością ludzkiej inteligencji^[16] i ograniczenia dotyczące sztucznej inteligencji bazującej na sieciach neuronowych^[17]. Problem może nie być do końca matematyczny.	–

Zobacz też

edytuj

Przypisy

edytuj

↑ Steve Smale. Mathematical Problems for the Next Century. „Mathematical Intelligencer”. 20 (2), s. 7–15, 1998. DOI: 10.1007/bf03025291.
↑ Mathematical problems for the next century. W: Steve Smale: Mathematics: frontiers and perspectives. American Mathematical Society, 1999, s. 271–294. ISBN 978-0-8218-2070-4.
↑ Shub Michael, Smale Steve. On the intractability of Hilbert's Nullstellensatz and an algebraic version of "NP≠P?". „Duke Math. J.”. 81, s. 47–54, 1995. DOI: 10.1215/S0012-7094-95-08105-8.
↑ A. Albouy, V. Kaloshin. Finiteness of central configurations of five bodies in the plane. „Annals of Mathematics”. 176, s. 535–588, 2012. DOI: 10.4007/annals.2012.176.1.10.
↑ Steven Gjerstad. Price Dynamics in an Exchange Economy. „Economic Theory”. 52 (2), s. 461–500, 2013. DOI: 10.1007/s00199-011-0651-5.
↑ Jussi Lindgren. General Equilibrium with Price Adjustments—A Dynamic Programming Approach. „Analytics”. 1 (1), s. 27–34, 2022. DOI: 10.3390/analytics1010003.
↑ M. Asaoka, K. Irie. A $C^{\infty }$ closing lemma for Hamiltonian diffeomorphisms of closed surfaces. „Geometric and Functional Analysis”. 26 (5), s. 1245–1254, 2016. DOI: 10.1007/s00039-016-0386-3.
↑ O. Kozlovski, W. Shen, S. van Strien. Density of hyperbolicity in dimension one. „Annals of Mathematics”. 166, s. 145–182, 2007. DOI: 10.4007/annals.2007.166.145.
↑ C. Bonatti, S. Crovisier, A. Wilkinson. The C¹-generic diffeomorphism has trivial centralizer. „Publications Mathématiques de l'IHÉS”. 109, s. 185–244, 2009. DOI: 10.1007/s10240-009-0021-z. arXiv:0804.1416.
↑ Warwick Tucker. A Rigorous ODE Solver and Smale's 14th Problem. „Foundations of Computational Mathematics”. 2 (1), s. 53–117, 2002. DOI: 10.1007/s002080010018.
↑ Carlos Beltrán, Luis Miguel Pardo. On Smale's 17th Problem: A Probabilistic Positive answer. „Foundations of Computational Mathematics”. 8 (1), s. 1–43, 2008. DOI: 10.1007/s10208-005-0211-0.
↑ Carlos Beltrán, Luis Miguel Pardo. Smale's 17th Problem: Average Polynomial Time to compute affine and projective solutions. „Journal of the American Mathematical Society”. 22 (2), s. 363–385, 2009. DOI: 10.1090/s0894-0347-08-00630-9. Bibcode: 2009JAMS...22..363B.
↑ Carlos Beltrán, Luis Miguel Pardo. Fast Linear Homotopy to Find Approximate Zeros of Polynomial Systems. „Foundations of Computational Mathematics”. 11 (1), s. 95–129, 2011. DOI: 10.1007/s10208-010-9078-9.
↑ Felipe Cucker, Peter Bürgisser. On a problem posed by Steve Smale. „Annals of Mathematics”. 174 (3), s. 1785–1836, 2011. DOI: 10.4007/annals.2011.174.3.8. arXiv:0909.2114.
↑ Pierre Lairez. A deterministic algorithm to compute approximate roots of polynomial systems in polynomial average time. „Foundations of Computational Mathematics”. to appear (5), s. 1265–1292, 2016. DOI: 10.1007/s10208-016-9319-7. arXiv:1507.05485.
↑ S. Acharjee, U. Gogoi. The limit of human intelligence. „Heliyon”. 10 (12), s. e32465, 2024. DOI: 10.1016/j.heliyon.2024.e32465. arXiv:2310.10792. PMID: 38975068. PMCID: PMC11226777. Bibcode: 2024Heliy..1032465A.
↑ M. J. Colbroke, A. Vegard, A. C. Hansen. The difficulty of computing stable and accurate neural networks: On the barriers of deep learning and Smale's 18th problem. „Proceedings of the National Academy of Sciences”. 119 (12), s. e2107151119, 2022. DOI: 10.1073/pnas.2107151119. arXiv:2101.08286. PMID: 35294283. Bibcode: 2022PNAS..11907151C.

[1] Steve Smale. Mathematical Problems for the Next Century. „Mathematical Intelligencer”. 20 (2), s. 7–15, 1998. DOI: 10.1007/bf03025291.

[2] Mathematical problems for the next century. W: Steve Smale: Mathematics: frontiers and perspectives. American Mathematical Society, 1999, s. 271–294. ISBN 978-0-8218-2070-4.

[3] Shub Michael, Smale Steve. On the intractability of Hilbert's Nullstellensatz and an algebraic version of "NP≠P?". „Duke Math. J.”. 81, s. 47–54, 1995. DOI: 10.1215/S0012-7094-95-08105-8.

[4] A. Albouy, V. Kaloshin. Finiteness of central configurations of five bodies in the plane. „Annals of Mathematics”. 176, s. 535–588, 2012. DOI: 10.4007/annals.2012.176.1.10.

[5] Steven Gjerstad. Price Dynamics in an Exchange Economy. „Economic Theory”. 52 (2), s. 461–500, 2013. DOI: 10.1007/s00199-011-0651-5.

[6] Jussi Lindgren. General Equilibrium with Price Adjustments—A Dynamic Programming Approach. „Analytics”. 1 (1), s. 27–34, 2022. DOI: 10.3390/analytics1010003.

[7] M. Asaoka, K. Irie. A $C^{\infty }$ closing lemma for Hamiltonian diffeomorphisms of closed surfaces. „Geometric and Functional Analysis”. 26 (5), s. 1245–1254, 2016. DOI: 10.1007/s00039-016-0386-3.

[8] O. Kozlovski, W. Shen, S. van Strien. Density of hyperbolicity in dimension one. „Annals of Mathematics”. 166, s. 145–182, 2007. DOI: 10.4007/annals.2007.166.145.

[9] C. Bonatti, S. Crovisier, A. Wilkinson. The C¹-generic diffeomorphism has trivial centralizer. „Publications Mathématiques de l'IHÉS”. 109, s. 185–244, 2009. DOI: 10.1007/s10240-009-0021-z. arXiv:0804.1416.

[10] Warwick Tucker. A Rigorous ODE Solver and Smale's 14th Problem. „Foundations of Computational Mathematics”. 2 (1), s. 53–117, 2002. DOI: 10.1007/s002080010018.

[11] Carlos Beltrán, Luis Miguel Pardo. On Smale's 17th Problem: A Probabilistic Positive answer. „Foundations of Computational Mathematics”. 8 (1), s. 1–43, 2008. DOI: 10.1007/s10208-005-0211-0.

[12] Carlos Beltrán, Luis Miguel Pardo. Smale's 17th Problem: Average Polynomial Time to compute affine and projective solutions. „Journal of the American Mathematical Society”. 22 (2), s. 363–385, 2009. DOI: 10.1090/s0894-0347-08-00630-9. Bibcode: 2009JAMS...22..363B.

[13] Carlos Beltrán, Luis Miguel Pardo. Fast Linear Homotopy to Find Approximate Zeros of Polynomial Systems. „Foundations of Computational Mathematics”. 11 (1), s. 95–129, 2011. DOI: 10.1007/s10208-010-9078-9.

[14] Felipe Cucker, Peter Bürgisser. On a problem posed by Steve Smale. „Annals of Mathematics”. 174 (3), s. 1785–1836, 2011. DOI: 10.4007/annals.2011.174.3.8. arXiv:0909.2114.

[15] Pierre Lairez. A deterministic algorithm to compute approximate roots of polynomial systems in polynomial average time. „Foundations of Computational Mathematics”. to appear (5), s. 1265–1292, 2016. DOI: 10.1007/s10208-016-9319-7. arXiv:1507.05485.

[16] S. Acharjee, U. Gogoi. The limit of human intelligence. „Heliyon”. 10 (12), s. e32465, 2024. DOI: 10.1016/j.heliyon.2024.e32465. arXiv:2310.10792. PMID: 38975068. PMCID: PMC11226777. Bibcode: 2024Heliy..1032465A.

[17] M. J. Colbroke, A. Vegard, A. C. Hansen. The difficulty of computing stable and accurate neural networks: On the barriers of deep learning and Smale's 18th problem. „Proceedings of the National Academy of Sciences”. 119 (12), s. e2107151119, 2022. DOI: 10.1073/pnas.2107151119. arXiv:2101.08286. PMID: 35294283. Bibcode: 2022PNAS..11907151C.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

Problemy Smale'a 📖 Wikipedia

Lista problemów

Zobacz też

Przypisy

📚 Artikel Terkait di Wikipedia

Digital Signature Algorithm

Gra parzystości