Método de Ridder 📖 Wikipedia

Em análise numérica, o Método de Ridder é um algoritmo de localização de raiz baseado no método da posição falsa e no uso de uma função exponencial para aproximar sucessivamente a raiz de uma função contínua ${\displaystyle f(x)}$. O método é devido a C. Ridder.^[1][2]

O método de Ridder é mais simples do que o método de Muller ou o método de Brent, mas com desempenho semelhante^[3]. A fórmula abaixo converge quadraticamente quando a função é bem comportada, o que implica que o número de dígitos significativos adicionais encontrados em cada etapa aproximadamente dobra; mas a função deve ser avaliada duas vezes para cada etapa, então a ordem geral de convergência do método é ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$. Se a função não for bem comportada, a raiz permanece entre colchetes e o comprimento do intervalo de colchetes pelo menos diminui pela metade em cada iteração, portanto, a convergência é garantida.

Dados dois valores da variável independente, ${\displaystyle {\ x_{0}}{}}$ e ${\displaystyle {\ x_{2}}{}}$, que estão em dois lados diferentes da raiz procurada, ou seja, ${\displaystyle {\ f(x_{0})f(x_{2})<0}{\ }}$, o método começa avaliando a função no ponto médio ${\displaystyle {\ x_{1}=(x_{0}+x_{2})/2}{\ {}{}_{}}}$. Em seguida, encontra-se a função exponencial única ${\displaystyle {\ e^{ax}}}$ tal que a função ${\displaystyle {\ h(x)=f(x)e^{ax}}}$ satisfaz ${\displaystyle {\ h(x_{1})=(h(x_{0})+h(x_{2}))/2}}$. Especificamente, o parâmetro ${\displaystyle {\ a}}$ é determinado por

${\displaystyle e^{a(x_{1}-x_{0})}={\frac {f(x_{1})-sign[f(x_{0})]{\sqrt {f(x_{1})^{2}-f(x_{0})f(x_{2})}}}{f(x_{2})}}.}$

O método da posição falsa é então aplicado aos pontos ${\displaystyle {\ (x_{0},h(x_{0}))}}$ e ${\displaystyle {\ (x_{2},h(x_{2}))}}$, levando a um novo valor ${\displaystyle {\ x_{3}}}$ entre ${\displaystyle {\ x_{0}}}$ e ${\displaystyle {\ x_{2}}}$,

${\displaystyle {\ x_{3}=x_{1}+(x_{1}-x_{0}){\frac {sign[f(x_{0})]f(x_{1})}{\sqrt {f(x_{1})^{2}-f(x_{0})f(x_{2})}}},}}$

que será usado como um dos dois valores de colchetes na próxima etapa da iteração.

O outro valor de colchetes é considerado ${\displaystyle {\ x_{1}}}$ se ${\displaystyle {\ f(x_{1})f(x_{3})<0}}$ (caso bem comportado), ou qualquer outro de ${\displaystyle {\ x_{0}}}$ e ${\displaystyle {\ x_{2}}}$ tem função valor do sinal oposto a ${\displaystyle {\ f(x_{3})}}$. O procedimento pode ser encerrado quando uma determinada precisão for obtida.