Método de puntos finitos 📖 Wikipedia

El método de puntos finitos (FPM) es un método sin malla para resolver ecuaciones diferenciales parciales (EDP) en distribuciones dispersas de puntos. El FPM fue propuesto a mediados de los años noventa en (Oñate, Idelsohn, Zienkiewicz y Taylor, 1996a),^[1]​ (Oñate, Idelsohn, Zienkiewicz, Taylor y Sacco, 1996b)^[2]​ y (Oñate y Idelsohn, 1998a)^[3]​ con el propósito de facilitar la resolución de problemas que implican geometrías complejas, superficies libres, límites móviles y refinamiento adaptativo. Desde entonces, el FPM ha evolucionado considerablemente, mostrando una precisión satisfactoria y capacidad para abordar diferentes problemas de mecánica de fluidos y mecánica de sólidos deformables.

Al igual que otros métodos sin malla para ecuaciones diferenciales parciales (EDP), el método de puntos finitos (FPM) tiene su origen en técnicas desarrolladas para el ajuste e interpolación de datos dispersos, básicamente en la línea de los métodos de mínimos cuadrados ponderados (WLSQ). Estos últimos pueden considerarse formas particulares del método de mínimos cuadrados móviles (MLS) propuesto por Lancaster y Salkauskas.^[4]​ Los métodos WLSQ se han utilizado ampliamente en técnicas sin malla porque permiten conservar la mayor parte del MLS, pero son más eficientes y sencillos de implementar. Con estos objetivos en mente, se inició una destacada investigación que condujo al desarrollo del FPM en (Oñate, Idelsohn y Zienkiewicz, 1995a)^[5]​ y (Taylor, Zienkiewicz, Oñate e Idelsohn, 1995).^[6]​ La técnica propuesta se caracterizaba por aproximaciones WLSQ sobre nubes locales de puntos y un procedimiento de discretización de ecuaciones basado en la colocalización de puntos (en la línea de los trabajos de Batina, 1989,^[7]​ 1992^[8]​). Las primeras aplicaciones del FPM se centraron en problemas de flujo compresible adaptativo (Fischer, Oñate e Idelsohn, 1995; ^[9]​ Oñate, Idelsohn y Zienkiewicz, 1995a;^[5]​ Oñate, Idelsohn, Zienkiewicz y Fisher, 1995b^[10]​). También se analizaron los efectos sobre la aproximación de las nubes locales y las funciones de ponderación utilizando bases polinómicas lineales y cuadráticas (Fischer, 1996).^[11]​ Estudios adicionales en el contexto de problemas de convección-difusión y flujo incompresible proporcionaron al FPM una base más sólida; véase (Oñate, Idelsohn, Zienkiewicz y Taylor, 1996a)^[1]​ y (Oñate, Idelsohn, Zienkiewicz, Taylor y Sacco, 1996b). ^[2]​ Estos trabajos y (Oñate & Idelsohn, 1998)^[3]​ definieron la técnica básica del FPM que se utiliza en la actualidad.

La aproximación en el FPM puede resumirse de la siguiente manera. Para cada punto ${\displaystyle x_{i}}$ en el dominio de análisis ${\displaystyle \Omega }$ (punto estrella), se construye localmente una solución aproximada utilizando un subconjunto de puntos de apoyo circundantes ${\displaystyle x_{j}}$, que pertenecen al dominio del problema (nube local de puntos ${\displaystyle \Omega _{i}}$). La aproximación se calcula como una combinación lineal de los valores nodales desconocidos de la nube (o parámetros) y ciertos coeficientes métricos. Estos se obtienen resolviendo un problema WLSQ a nivel de la nube, en el que se minimizan las distancias entre los parámetros nodales y la solución aproximada en un sentido LSQ. Una vez conocidos los coeficientes métricos de la aproximación, las ecuaciones diferenciales parciales (PDE) que rigen el problema se muestrean en cada «punto estrella» utilizando un método de colocalización. Las variables continuas (y sus derivadas) se sustituyen en las ecuaciones muestreadas por las formas discretas aproximadas, y la solución del sistema resultante permite calcular los valores nodales desconocidos. De este modo, se puede obtener la solución aproximada que satisface las ecuaciones que rigen el problema. Es importante señalar que el carácter altamente local del FPM hace que el método sea adecuado para implementar esquemas de solución paralelos eficientes.

La construcción de la aproximación típica del FPM se describe en (Oñate & Idelsohn, 1998).^[3]​ Se puede encontrar un análisis de los parámetros de aproximación en (Ortega, Oñate & Idelsohn, 2007)^[12]​ y se lleva a cabo un estudio más exhaustivo en (Ortega, 2014). ^[13]​ También se han propuesto otros enfoques; véase, por ejemplo, (Boroomand, Tabatabaei y Oñate, 2005).^[14]​ En (Boroomand, Najjar y Oñate, 2009) se presenta una extensión de la aproximación FPM.^[15]​

Las primeras líneas de investigación y aplicaciones del FPM a problemas de flujo de fluidos se resumen en (Fischer, 1996).^[11]​ En dicho trabajo se estudiaron problemas de convección-difusión utilizando aproximaciones polinómicas LSQ y WLSQ. El estudio se centró en los efectos de la nube de puntos y las funciones de ponderación sobre la precisión de la aproximación local, lo que ayudó a comprender el comportamiento básico del FPM. Los resultados mostraron que la aproximación 1D del FPM conduce a formas derivadas discretas similares a las obtenidas con aproximaciones de diferencias centrales, que son de precisión de segundo orden. Sin embargo, la precisión se degrada a primer orden para nubes no simétricas, dependiendo de la función de ponderación. También se definieron criterios preliminares sobre la selección de puntos que conforman las nubes locales con el objetivo de mejorar el mal acondicionamiento del problema de minimización. El solucionador de flujo empleado en ese trabajo se basaba en un esquema de Taylor-Galerkin de dos pasos con disipación artificial explícita. Los ejemplos numéricos incluían problemas bidimensionales subsonicos, transónicos y supersónicos no viscosos, pero también se proporcionó un caso de prueba viscoso con bajo número de Reynolds. En general, los resultados obtenidos en este trabajo fueron satisfactorios y demostraron que la introducción de la ponderación en la minimización LSQ conduce a resultados superiores (se utilizaron bases lineales).

En una línea de investigación similar, se introdujo una técnica de estabilización de residuos derivada en términos de equilibrio de flujos en un dominio finito, conocida como Cálculo de Incrementos Finitos (FIC) (Oñate, 1996,^[16]​ 1998^[17]​). Los resultados fueron comparables a los obtenidos con disipación artificial explícita, pero con la ventaja de que la estabilización en el FIC se introduce de manera consistente; véase (Oñate, Idelsohn, Zienkiewicz, Taylor y Sacco, 1996b)^[2]​ y (Oñate y Idelsohn, 1998a).^[3]​

Entre estos avances, la cuestión de la generación de puntos se abordó por primera vez en (Löhner y Oñate, 1998). ^[18]​ Basándose en una técnica de frente de avance, los autores demostraron que las discretizaciones de puntos adecuadas para cálculos sin malla pueden generarse de forma más eficiente evitando los controles de calidad habituales necesarios en la generación de mallas convencional. Se lograron tiempos de generación muy competitivos en comparación con los generadores de mallas tradicionales, lo que demostró por primera vez que los métodos sin malla son una alternativa viable para paliar los problemas de discretización.

Los flujos 2D incompresibles se estudiaron por primera vez en (Oñate, Sacco & Idelsohn, 2000)^[19]​ utilizando un método de proyección estabilizado mediante la técnica FIC. En (Sacco, 2002)^[20]​ se llevó a cabo un análisis detallado de este enfoque. Los logros destacados de ese trabajo han dotado al FPM de una base más sólida; entre ellos, la definición de bases de aproximación locales y normalizadas, un procedimiento para construir nubes de puntos locales basado en la triangulación de Delaunay local, y un criterio para evaluar la calidad de la aproximación resultante. Las aplicaciones numéricas presentadas se centraron principalmente en flujos incompresibles bidimensionales (viscosos e inviscidos), pero también se proporcionó un ejemplo de aplicación tridimensional.

También merece la pena mencionar una aplicación preliminar del FPM en un marco lagrangiano, presentada en (Idelsohn, Storti y Oñate, 2001),^[21]​. A pesar de los interesantes resultados obtenidos para flujos incompresibles de superficie libre, esta línea de investigación no se continuó en el marco del FPM y las formulaciones posteriores se basaron exclusivamente en descripciones de flujos eulerianos.

La primera aplicación del FPM a la solución de flujos compresibles tridimensionales se presentó en un trabajo pionero de (Löhner, Sacco, Oñate & Idelsohn, 2002).^[22]​ En él se desarrollaron un procedimiento fiable y general para construir nubes de puntos locales (basado en una técnica de Delaunay) y un esquema adecuado para resolver las ecuaciones de flujo. En el esquema de solución propuesto, las derivadas discretas del flujo se escriben a lo largo de los bordes que conectan los puntos de la nube como una expresión de tipo diferencia central más un término sesgado hacia el viento que proporciona estabilización convectiva. Para este fin se utilizó un solucionador de Riemann aproximado de la división del vector de flujo de Roe y van Leer. El enfoque propuesto es más preciso (y también más costoso) que los métodos de disipación artificial y, además, no requiere la definición de medidas geométricas en la nube local ni de parámetros dependientes del problema. La integración temporal de las ecuaciones se realizó mediante un esquema explícito de múltiples etapas en la línea de los métodos de Runge-Kutta.

Algunos años más tarde, se llevaron a cabo nuevas investigaciones en relación con las aproximaciones FPM en 3D en (Ortega, Oñate y Idelsohn, 2007).^[12]​ Este trabajo se centró en la construcción de aproximaciones robustas independientemente de las características del soporte local. Con este fin, se propuso el ajuste automático local de la función de ponderación y otros parámetros de aproximación. Otras aplicaciones 3D del método incluyeron flujos aerodinámicos compresibles con refinamiento adaptativo (Ortega, Oñate y Idelsohn, 2009)^[23]​ y problemas de frentes móviles/deformables (Ortega, Oñate y Idelsohn, 2013).^[24]​ En estos trabajos, el FPM demostró una robustez y precisión satisfactorias, así como la capacidad de abordar cálculos prácticos. Entre otros logros, se demostró que una regeneración completa de la discretización del modelo podía ser una estrategia de solución asequible, incluso en problemas de simulación de gran envergadura. Este resultado presenta nuevas posibilidades para el análisis sin malla de problemas de dominios móviles/deformables. El FPM también se aplicó con éxito a problemas adaptativos de aguas poco profundas en (Ortega, Oñate, Idelsohn y Buachart, 2011)^[25]​ y (Buachart, Kanok-Nukulchai, Ortega y Oñate, 2014).^[26]​ En (Ortega, Oñate, Idelsohn y Flores, 2014a) se presenta una propuesta para aprovechar las ventajas de los métodos sin malla en problemas de flujo viscoso de alto número de Reynolds.^[27]​

En el mismo campo de aplicaciones, se llevó a cabo un importante estudio sobre la precisión, el coste computacional y el rendimiento paralelo del FPM en (Ortega, Oñate, Idelsohn y Flores, 2014b).^[28]​ En él, se comparó el FPM con un solucionador equivalente basado en el método de elementos finitos (FEM), lo que proporcionó un estándar para evaluar tanto las características del solucionador sin malla como su idoneidad para abordar aplicaciones prácticas. En este trabajo se propusieron algunas simplificaciones de la técnica FPM para mejorar la eficiencia y reducir la brecha de rendimiento con respecto al FEM. A continuación, se llevaron a cabo estudios de convergencia de malla utilizando una configuración de ala-cuerpo. Los resultados mostraron una precisión y un rendimiento comparables, lo que reveló que el FPM es competitivo con respecto a su homólogo FEM. Esto es importante porque las técnicas sin malla a menudo se consideran poco prácticas debido a la escasa eficiencia de las implementaciones iniciales.

El FPM también se ha aplicado en aeroacústica en (Bajko, Cermak y Jicha, 2014).^[29]​ El esquema de solución propuesto se basa en un solucionador de Riemann linealizado y aprovecha con éxito las ventajas de las aproximaciones FPM de alto orden. Los resultados obtenidos son indicativos del potencial del FPM para abordar problemas de propagación del sonido.

Los esfuerzos actuales se centran principalmente en aprovechar las capacidades del FPM para trabajar en entornos paralelos con el fin de resolver problemas prácticos a gran escala, especialmente en ámbitos en los que los procedimientos sin malla pueden aportar contribuciones útiles, como por ejemplo problemas relacionados con geometría compleja, dominios en movimiento o deformables, refinamiento adaptativo y fenómenos multiescala.

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