Formato decimal32 de ponto flutuante 📖 Wikipedia

Na computação, o decimal32 é um formato de número de ponto flutuante decimal que ocupa 4 bytes (32 bits) na memória do computador.

Assim como os formatos binary16 e binary32, o decimal32 utiliza menos espaço do que o formato binary64, que é o mais comum na prática.

O decimal32 suporta valores "normais", que podem ter uma precisão de 7 dígitos desde ${\displaystyle \pm 1,000000\times 10^{-95}}$ até ${\displaystyle \pm 9,999999\times 10^{+96}}$, além de valores "subnormais" com uma precisão relativa degradada até ${\displaystyle \pm 1\times 10^{-101}}$ (um único dígito), zeros sinalizados, infinitos sinalizados e NaN (Not a Number). A codificação é um tanto complexa, conforme detalhado abaixo.

O formato binário com o mesmo tamanho de bits, o binary32, possui um intervalo aproximado que vai do mínimo subnormal ${\displaystyle \pm 1,401298\times 10^{-45}}$, passando pelo mínimo normal com precisão total de 24 bits de ${\displaystyle \pm 1,1754944\times 10^{-38}}$, até o máximo de ${\displaystyle \pm 3,4028235\times 10^{38}}$.

Os valores decimal32 são codificados em um formato "não normalizado" próximo ao "formato científico", combinando alguns bits do expoente com os bits mais significativos do significando em um "campo de combinação".

Além dos casos especiais de infinitos e NaNs, existem quatro pontos relevantes para compreender a codificação do decimal32:

• Codificação BID vs. DPD: a BID (binary integer decimal) utiliza um valor inteiro positivo para o significando, sendo voltada para software e projetada pela Intel; já a DPD (densely packed decimal) codifica todos os dígitos do significando exceto o primeiro, sendo voltada para hardware e promovida pela IBM. As diferenças são detalhadas abaixo. Ambas as alternativas fornecem exatamente o mesmo intervalo de números representáveis: até 7 dígitos de significando e ${\displaystyle 3\times 2^{6}=192}$ valores de expoente possíveis. O padrão IEEE 754 permite essas duas codificações distintas sem especificar uma forma de denotar qual delas está em uso, por exemplo, em uma situação onde valores decimal32 são transmitidos entre sistemas.
• Ao contrário dos formatos binários, os significandos dos formatos decimais não são normalizados (os dígitos iniciais podem ser 0), e, portanto, a maioria dos valores com menos de 7 dígitos significativos possui múltiplas representações possíveis. Por exemplo, ${\displaystyle 1000000\times 10^{-2}}$, ${\displaystyle 100000\times 10^{-1}}$, ${\displaystyle 10000\times 10^{0}}$ e ${\displaystyle 1000\times 10^{1}}$ têm todos o mesmo valor de ${\displaystyle 10000}$. Esses conjuntos de representações para um mesmo valor são chamados de coortes, e os diferentes membros podem ser usados para indicar quantos dígitos do valor são conhecidos com precisão.
• As codificações combinam dois bits do expoente com os 3 ou 4 bits iniciais do significando em um "campo de combinação", que varia para significandos "grandes" vs. "pequenos". Isso permite maior precisão e alcance, com a desvantagem de que algumas funções simples como ordenação e comparação, frequentemente usadas em programação, não funcionam diretamente no padrão de bits; elas exigem computações para extrair o expoente e o significando para então tentar obter uma representação alinhada pelo expoente. Esse esforço é parcialmente compensado por economizar o trabalho de normalização, mas contribui para o desempenho mais lento dos formatos decimais. Atenção: BID e DPD usam bits diferentes do campo de combinação para essa finalidade.
• Diferentes interpretações do significando como inteiro vs. fração, e o respectivo viés diferente a ser aplicado ao expoente: para o decimal32, o que é armazenado nos bits pode ser decodificado como a base elevada à potência do "valor armazenado para o expoente menos o viés de 95" vezes o significando interpretado como ${\displaystyle d_{0}.d_{-1}d_{-2}d_{-3}d_{-4}d_{-5}d_{-6}}$ (com o ponto decimal após o primeiro dígito, significando fracionário), ou a base elevada à potência do "valor armazenado para o expoente menos o viés de 101" vezes o significando interpretado como ${\displaystyle d_{6}d_{5}d_{4}d_{3}d_{2}d_{1}d_{0}}$ (sem ponto decimal, significando inteiro). Ambos produzem o mesmo resultado, conforme a versão de 2019^[1] do padrão IEEE 754 na cláusula 3.3, página 18. Isso se aplica tanto à codificação BID quanto à DPD. Para formatos decimais, a segunda visão é mais comum, enquanto para formatos binários a primeira é a mais utilizada, sendo os valores de viés diferentes para cada formato.

Em todos os casos para o decimal32, o valor representado é:

${\displaystyle (-1)^{\text{sign}}\times 10^{{\text{exponent}}-101}\times {\text{significand}}}$, com o significando interpretado como um inteiro positivo.

Alternativamente, ele pode ser interpretado como ${\displaystyle (-1)^{\text{sign}}\times 10^{{\text{exponent}}-95}\times {\text{significand}}}$, com os dígitos do significando interpretados como ${\displaystyle d_{0}.d_{-1}d_{-2}d_{-3}d_{-4}d_{-5}d_{-6}}$, onde o ponto decimal o torna uma fração.

Para ${\displaystyle \pm }$Infinito, além do bit de sinal, todos os bits restantes são ignorados (ou seja, os campos do expoente e do significando não têm efeito). Para NaNs, o bit de sinal não tem significado no padrão e é ignorado. Portanto, NaNs com e sem sinal são equivalentes, embora alguns programas exibam NaNs com sinal. O bit ${\displaystyle m_{5}}$ determina se o NaN é quieto (0) ou sinalizador (1). Os bits do significando formam a carga útil (payload) do NaN e podem conter dados definidos pelo usuário (por exemplo, para distinguir como os NaNs foram gerados). Assim como nos significandos normais, a carga útil dos NaNs pode estar tanto na codificação BID quanto na DPD.

A numeração de bits utilizada nas tabelas para, por exemplo, ${\displaystyle m_{10}\dots m_{0}}$ está na direção oposta à utilizada no documento oficial do padrão IEEE 754 (${\displaystyle G_{0}\dots G_{10}}$).

Codificação BID

Campo de combinação												Expoente	Significando	Descrição
m10	m9	m8	m7	m6	m5	m4	m3	m2	m1	m0
Campo de combinação não iniciado com '11', bits ab = 00, 01 ou 10
a	b	c	d	m	m	m	m	e	f	g		abcdmmmm	(0)efgtttttttttttttttttttt	Número finito com significando < 8388608, cabe em 23 bits.
Campo de combinação iniciado com '11', mas não 1111, bits ab = 11, bits cd = 00, 01 ou 10
1	1	c	d	m	m	m	m	e	f	g		cdmmmmef	100gtttttttttttttttttttt	Número finito com significando > 8388607, precisa de 24 bits.
Campo de combinação iniciado com '1111', bits abcd = 1111
1	1	1	1	0										${\displaystyle \pm }$Infinito
1	1	1	1	1	0									NaN quieto (quiet NaN)
1	1	1	1	1	1									NaN sinalizador (with payload no significando)

O expoente "bruto" resultante é um inteiro binário de 8 bits onde os bits iniciais não são '11', resultando em valores de ${\displaystyle 0\dots 10111111_{2}}$ = ${\displaystyle 0\dots 191_{10}}$, devendo-se subtrair o viés correspondente. O significando resultante pode ser um inteiro binário positivo de 24 bits até ${\displaystyle 100111111111111111111111_{2}=10485759_{10}}$, mas os valores acima de ${\displaystyle 10^{7}-1=9999999=98967{\text{F}}_{16}=100110001001011001111111_{2}}$ são "ilegais" e devem ser tratados como zeros. Para obter os dígitos decimais individuais, o significando deve ser dividido por 10 repetidamente.

Codificação DPD

Campo de combinação												Expoente	Significando	Descrição
m10	m9	m8	m7	m6	m5	m4	m3	m2	m1	m0
Campo de combinação não iniciado com '11', bits ab = 00, 01 ou 10
a	b	c	d	e	m	m	m	m	m	m		abmmmmmm	(0)cde tttttttttt tttttttttt	Número finito com primeiro dígito pequeno no significando (${\displaystyle 0\dots 7}$).
Campo de combinação iniciado com '11', mas não 1111, bits ab = 11, bits cd = 00, 01 ou 10
1	1	c	d	e	m	m	m	m	m	m		cdmmmmmm	100e tttttttttt tttttttttt	Número finito com primeiro dígito grande no significando (8 ou 9).
Campo de combinação iniciado com '1111', bits abcd = 1111
1	1	1	1	0										${\displaystyle \pm }$Infinito
1	1	1	1	1	0									NaN quieto (quiet NaN)
1	1	1	1	1	1									NaN sinalizador (with payload no significando)

O expoente "bruto" resultante é um inteiro binário de 8 bits onde os bits iniciais não são '11', fornecendo valores de ${\displaystyle 0\dots 10111111_{2}}$ = ${\displaystyle 0\dots 191_{10}}$, devendo-se subtrair o viés correspondente. O primeiro dígito decimal do significando é formado a partir dos bits (0)cde ou 100e como um inteiro binário. Os dígitos subsequentes são codificados nos campos de 'declet' de 10 bits 'tttttttttt' de acordo com as regras DPD (veja abaixo). O significando decimal completo é obtido concatenando o dígito decimal inicial com os dígitos decimais restantes.

A conversão de DPD de 10 bits para BCD de 3 dígitos para os declets é dada pela tabela a seguir. ${\displaystyle b_{9}\dots b_{0}}$ são os bits do DPD, e ${\displaystyle d_{2}\dots d_{0}}$ são os três dígitos BCD. Note que a numeração de bits aqui utilizada para, por exemplo, ${\displaystyle b_{9}\dots b_{0}}$ está na direção oposta à utilizada no documento oficial do padrão IEEE 754 (${\displaystyle b_{0}\dots b_{9}}$). Além disso, os dígitos decimais são indexados a partir de 0 aqui, enquanto possuem índice de base 1 no artigo do IEEE 754. Os bits sobre fundo branco não contam para o valor, mas sinalizam como interpretar ou deslocar os outros bits. O conceito consiste em indicar quais dígitos são pequenos (${\displaystyle 0\dots 7}$) e codificados em três bits, e quais não são, sendo então calculados a partir de um prefixo '100' e de um bit que especifica se é 8 ou 9.

Predefinição:Densely packed decimal

Os 8 valores decimais cujos dígitos são todos 8s ou 9s possuem quatro codificações cada. Os bits marcados com x na tabela acima são ignorados na entrada, mas sempre serão 0 nos resultados calculados (as ${\displaystyle 8\times 3=24}$ codificações não padronizadas preenchem a lacuna entre ${\displaystyle 10^{3}=1000}$ e ${\displaystyle 2^{10}-1=1023}$).

A vantagem desta codificação é o acesso aos dígitos individuais decodificando ou codificando apenas 10 bits; a desvantagem é que algumas funções simples, como ordenação e comparação, frequentemente usadas em programação, não funcionam diretamente no padrão de bits, exigindo primeiro a decodificação para dígitos decimais (e eventualmente a recodificação para inteiros binários).

Uma codificação alternativa em seções BID curtas, com declets de 10 bits codificando de ${\displaystyle 0_{10}}$ a ${\displaystyle 1023_{10}}$ e utilizando simplesmente a faixa de 0 a 999, forneceria a mesma funcionalidade de acesso direto aos dígitos com impacto quase nulo no desempenho de sistemas modernos, preservando a opção de ordenação e comparação orientadas ao padrão de bits. No entanto, a codificação exibida acima foi a escolhida historicamente, podendo oferecer melhor desempenho em implementações de hardware.

O decimal32 foi introduzido na versão de 2008^[2] do IEEE 754, adotado pela ISO como ISO/IEC/IEEE 60559:2011.^[3]

A codificação DPD é relativamente eficiente, não desperdiçando mais do que cerca de 2,4% de espaço em comparação com a BID, pois os ${\displaystyle 2^{10}=1024}$ valores possíveis em 10 bits são apenas um pouco maiores do que o necessário para codificar todos os números de 0 a 999.

O zero possui 192 representações possíveis (384 quando ambos os zeros sinalizados são incluídos).

Os formatos decimais incluem valores denormais para uma degradação suave da precisão próximo ao zero. No entanto, ao contrário dos formatos binários, eles não são marcados e não necessitam de um expoente especial; no decimal32, eles são apenas valores pequenos demais para ter a precisão total de 7 dígitos, mesmo com o menor expoente.

Nos casos de infinito e NaN, todos os outros bits da codificação são ignorados. Portanto, é tecnicamente possível inicializar uma matriz para infinitos ou NaNs preenchendo-a com um único valor de byte, embora na prática os dados sejam transmitidos para a memória por palavras, e não por bytes.

• ISO/IEC 10967, aritmética independente de linguagem
• Tipo de dado primitivo
• Notação Q