Schemat (geometria algebraiczna) 📖 Wikipedia

Klasyczna geometria algebraiczna bada zbiory rozwiązań układów równań wielomianowych. Jeśli równania są rozpatrywane nad algebraicznie domkniętym ciałem, wiele informacji geometrycznych można odczytywać z punktów i z pierścienia funkcji regularnych. Teoria schematów odwraca tę perspektywę: za podstawowy obiekt bierze się pierścień funkcji i związane z nim spektrum ideałów pierwszych^[1].

Dla pierścienia przemiennego ${\displaystyle R}$  jego spektrum, oznaczane ${\displaystyle \operatorname {Spec} R}$ , jest przestrzenią złożoną z ideałów pierwszych pierścienia ${\displaystyle R}$ , wyposażoną w topologię Zariskiego i snop pierścieni funkcji regularnych. Taki obiekt nazywa się schematem afinicznym(inne języki). Ogólny schemat powstaje przez sklejanie schematów afinicznych w sposób analogiczny do sklejania lokalnych kart w geometrii różniczkowej^[5].

Ta konstrukcja pozwala zachować informację, którą traci klasyczny zbiór punktów. Na przykład równania ${\displaystyle x=0}$  i ${\displaystyle x^{2}=0}$  opisują ten sam zbiór punktów w prostej afinicznej, ale odpowiadają różnym schematom: drugi ma dodatkową strukturę nilpotentną, interpretowaną jako informacja nieskończenie mała. Podobnie przecięcie styczne dwóch krzywych można traktować jako punkt z krotnością, a nie tylko jako pojedynczy punkt topologiczny^[2][6].

Schemat afiniczny to przestrzeń lokalnie pierścieniowana izomorficzna z ${\displaystyle \operatorname {Spec} R}$  dla pewnego pierścienia przemiennego z jedynką ${\displaystyle R}$ . Schemat to przestrzeń lokalnie pierścieniowana ${\displaystyle X}$ , którą można pokryć otwartymi podzbiorami ${\displaystyle U_{i}}$  takimi, że każde ${\displaystyle U_{i}}$  jest schematem afinicznym^[1].

Snop strukturalny schematu oznacza się zwykle ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ . Jego wartości ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(U)}$  dla otwartych podzbiorów ${\displaystyle U\subset X}$  traktuje się jako pierścienie funkcji regularnych na ${\displaystyle U}$ . W przypadku schematu afinicznego ${\displaystyle \operatorname {Spec} R}$  pierścień ${\displaystyle R}$  jest globalnym pierścieniem funkcji regularnych, a lokalizacja pierścienia opisuje funkcje regularne na podstawowych otwartych podzbiorach^[5].

Schemat nad schematem ${\displaystyle S}$  oznacza schemat ${\displaystyle X}$  z morfizmem(inne języki) ${\displaystyle X\to S}$ . Szczególnie ważny jest przypadek schematów nad ${\displaystyle \operatorname {Spec} k}$ , gdzie ${\displaystyle k}$  jest ciałem, oraz schematów nad ${\displaystyle \operatorname {Spec} \mathbb {Z} }$ , które tworzą most między geometrią algebraiczną i teorią liczb^[7].

Schematy wraz z morfizmami tworzą kategorię. Morfizm schematów jest morfizmem przestrzeni lokalnie pierścieniowanych, więc obejmuje jednocześnie ciągłe odwzorowanie przestrzeni topologicznych oraz zgodne homomorfizmy snopów pierścieni, lokalne na łodygach. Język schematów nad ustaloną bazą ${\displaystyle S}$  pozwala opisywać rodziny obiektów geometrycznych oraz ich zmiany bazy; produkty włókniste są w tym ujęciu podstawowym sposobem porównywania takich rodzin^[5][8].

Dla ciała ${\displaystyle k}$  i liczby naturalnej ${\displaystyle n}$  schemat afinicznej przestrzeni ${\displaystyle n}$ -wymiarowej definiuje się jako spektrum pierścienia wielomianów^[1]:

${\displaystyle \mathbb {A} _{k}^{n}=\operatorname {Spec} k[x_{1},\ldots ,x_{n}].}$ 

Jeśli ${\displaystyle k}$  jest algebraicznie domknięte, punkty domknięte tego schematu odpowiadają zwykłym punktom ${\displaystyle k^{n}}$ . Schemat zawiera jednak także punkty niedomknięte, odpowiadające nie-maksymalnym ideałom pierwszym, które można interpretować jako punkty generyczne(inne języki) nierozkładalnych podzbiorów domkniętych^[1].

Schemat ${\displaystyle \operatorname {Spec} \mathbb {Z} }$  traktuje pierścień liczb całkowitych jak obiekt geometryczny. Jego punkty domknięte odpowiadają ideałom ${\displaystyle (p)}$  generowanym przez liczby pierwsze, a punkt generyczny odpowiada ideałowi zerowemu. W tym sensie arytmetyka liczb całkowitych może być przedstawiana językiem geometrii, co jest jednym ze źródeł geometrii arytmetycznej(inne języki)^[5][2].

Schemat ${\displaystyle \operatorname {Spec} k[x]/(x^{2})}$  ma tylko jeden punkt topologiczny, ale jego pierścień funkcji zawiera niezerowy element nilpotentny. Taki przykład bywa interpretowany jako „punkt pogrubiony”: pamięta nie tylko wartość funkcji w punkcie, lecz także informację nieskończenie małą pierwszego rzędu. Dzięki temu schematy są użyteczne w teorii przecięć^[2].

Schematy pozwalają także konstruować przestrzenie rzutowe nad dowolnym pierścieniem. Przestrzeń ${\displaystyle \mathbb {P} _{R}^{n}}$  nad pierścieniem ${\displaystyle R}$  otrzymuje się przez sklejenie afinicznych części, podobnie jak w klasycznej konstrukcji przestrzeni rzutowej nad ciałem. Własność bycia morfizmem właściwym(inne języki), spełniana w szczególności przez morfizmy rzutowe, odgrywa w geometrii algebraicznej rolę analogiczną do zwartości^[6].

Duża część teorii schematów polega na badaniu morfizmów, a nie samych obiektów w izolacji. Morfizm ${\displaystyle f\colon X\to Y}$  można traktować jako rodzinę schematów ${\displaystyle X}$  parametryzowaną przez punkty ${\displaystyle Y}$ . Własności takie jak bycie morfizmem skończonego typu(inne języki), płaskość(inne języki), bycie morfizmem właściwym, gładkość(inne języki) czy étalność(inne języki) opisują różne sposoby, w jakie taka rodzina zachowuje się lokalnie i globalnie^[1][5].

Szczególnie ważne jest rozróżnienie między własnościami lokalnymi na źródle, lokalnymi na bazie oraz stabilnymi przy zmianie bazy. Na przykład praca z rodziną krzywych nad schematem bazowym wymaga śledzenia włókien nad punktami bazy, ale także tego, czy po rozszerzeniu ciała lub przejściu do innej bazy zachowane są oczekiwane własności geometryczne. Język produktów włóknistych i morfizmów nad bazą pozwala formułować takie pytania jednolicie^[8].

W teorii schematów punkt nie musi oznaczać jedynie punktu o współrzędnych w ustalonym ciele. Dla schematu ${\displaystyle X}$  można badać jego ${\displaystyle T}$ -punkty, czyli morfizmy ${\displaystyle T\to X}$  z dowolnego schematu testowego ${\displaystyle T}$ . Takie ujęcie, nazywane funktorem punktów, pozwala interpretować schemat przez sposób, w jaki reaguje na wszystkie możliwe testowe bazy, a nie tylko przez zbiór punktów domkniętych; jest to szczególnie naturalne w świetle lematu Yonedy, według którego obiekt kategorii można odtwarzać z funktora reprezentowanego przez morfizmy do tego obiektu^[2][9][10].

Funktorialny punkt widzenia jest istotny m.in. w teorii moduli, gdzie celem jest klasyfikowanie rodzin obiektów geometrycznych. Przestrzenie moduli(inne języki) często nie są zwykłymi zbiorami klas izomorfizmu, lecz wymagają uwzględnienia automorfizmów, zmiany bazy i zgodności rodzin. To właśnie dlatego schematy, a później stosy(inne języki), stały się podstawowym językiem nowoczesnej geometrii algebraicznej^[9].

Teoria schematów stała się standardowym językiem współczesnej geometrii algebraicznej. Pozwala formułować twierdzenia niezależnie od wyboru algebraicznie domkniętego ciała bazowego, opisywać rodziny obiektów geometrycznych nad zmienną bazą oraz stosować narzędzia algebry przemiennej, topologii i algebry homologicznej w jednym formalizmie^[3][4].

W teorii liczb schematy umożliwiają traktowanie równań diofantycznych jako obiektów geometrycznych nad ${\displaystyle \operatorname {Spec} \mathbb {Z} }$ . W ten sposób krzywa(inne języki) zadana równaniem o współczynnikach całkowitych może być badana przez jej włókna nad różnymi liczbami pierwszymi, czyli przez redukcje modulo ${\displaystyle p}$ ^[5][7].

W geometrii algebraicznej ważną rolę odgrywają także snopy koherentne(inne języki) na schematach, uogólniające wiązki wektorowe i moduły nad pierścieniami. Ich kohomologia(inne języki) jest jednym z podstawowych narzędzi badania własności globalnych rozmaitości i schematów^[1][4].

Podstawy teorii schematów wyrastały z wcześniejszej algebry przemiennej Emmy Noether, Wolfganga Krulla i Oscara Zariskiego oraz z prac André Weila nad abstrakcyjnymi rozmaitościami algebraicznymi. W latach 50. Claude Chevalley, Jean-Pierre Serre i Masayoshi Nagata rozważali konstrukcje zbliżające geometrię algebraiczną do spektrów pierścieni. Słowo „schemat” pojawiło się w seminarium Chevalleya z lat 1955–1956^[11][12].

Ostateczną postać teoria uzyskała w pracach Grothendiecka i Dieudonnégo. Początkowo rozróżniano „preschematy” i schematy spełniające dodatkowy warunek oddzieloności; późniejsza terminologia uprościła ten podział i termin „schemat” zaczął oznaczać ogólnie obiekt lokalnie afiniczny w opisanym wyżej sensie^[3][6].

W polskim kontekście akademickim funkcjonuje określenie „język schematów” dla formalizmu schematów w geometrii algebraicznej; przykład takiego użycia występuje w materiałach dydaktycznych MIMUW do kursu „Geometria Algebraiczna II: Język Schematów”^[13].

Schematy mają liczne uogólnienia. Przestrzenie algebraiczne(inne języki) i stosy algebraiczne(inne języki) pozwalają opisywać sytuacje, w których obiekty geometryczne mają nietrywialne automorfizmy lub powstają jako ilorazy w sensie bardziej subtelnym niż zwykły schemat. W nowszych kierunkach, takich jak pochodna geometria algebraiczna(inne języki), wzbogaca się strukturę snopa funkcji tak, aby pamiętać informacje homologiczne wyższego rzędu^[9][14].

• geometria algebraiczna
• rozmaitość algebraiczna
• algebra przemienna
• snop
• teoria kategorii

• The Stacks Project
• David Mumford, Can one explain schemes to biologists? (archiwum)