Barisan dan deret aritmetika 📖 Wikipedia

Kita mulai mengurutkannya dari suku ${\displaystyle a_{1}=a}$. Kita teruskan untuk suku ke-2, 3, hingga ${\displaystyle n}$.

${\displaystyle {\begin{aligned}a_{2}&=a+b\\a_{3}&=a+2b\\&\vdots \end{aligned}}}$

Dengan memperhatikan pola, kita memperoleh ${\displaystyle a_{n}=a+(n-1)b\quad \blacksquare }$.^[2]

Misal ${\displaystyle a_{n}}$ adalah barisan suku aritmetika ke-${\displaystyle n}$.

${\displaystyle S_{n}=a+[a+b]+[a+2b]+\cdots +[a+(n-1)b]}$

(1)

${\displaystyle S_{n}=[a+(n-1)b]+[a+(n-2)b]+[a+(n-3)b]+\cdots +a}$

(2)

Persamaan (1) ditambah (2) menjadi:

${\displaystyle 2S_{n}=2a+(n-1)b+2a+(n-1)b+\cdots +2a+(n-1)b}$

Karena ${\displaystyle 2a+(n-1)b}$ sama banyaknya menjadi jumlah ${\displaystyle n}$, maka

${\displaystyle {\begin{aligned}2S_{n}&=n[2a+(n-1)b]\\S_{n}&={\frac {n}{2}}[2a+(n-1)b]\quad \blacksquare \end{aligned}}}$

Demikian, kita membuktikannya.^[3]

Kita cukup menjabarkan ${\displaystyle S_{n}}$ dan ${\displaystyle S_{n-1}}$,

${\displaystyle {\begin{aligned}S_{n}&=a_{1}+a_{2}+\dots +a_{n-1}+a_{n}\\S_{n-1}&=a_{1}+a_{2}+\dots +a_{n-1}\end{aligned}}}$

lalu kurangi persamaan sehingga di dapati persamaan di atas.

${\displaystyle S_{n}-S_{n-1}=a_{n}}$. ${\displaystyle \blacksquare }$^[6]

Karena ${\displaystyle b_{1},\dots ,b_{n}}$ adalah barisan tingkat kedua, maka ${\displaystyle b_{n}=a_{n+1}-a_{n}}$. Oleh karena itu, kita memperoleh$${\displaystyle {\begin{matrix}a_{2}-a_{1}=b_{1}&\quad (1.1)&\quad b_{2}-b_{1}=k&\quad (2.1)\\a_{3}-a_{2}=b_{2}&\quad (1.2)&\quad b_{3}-b_{2}=k&\quad (2.2)\\a_{4}-a_{3}=b_{3}&\quad (1.3)&\quad b_{4}-b_{3}=k&\quad (2.3)\\a_{5}-a_{4}=b_{4}&\quad (1.4)&\quad b_{5}-b_{4}=k&\quad (2.4)\\a_{6}-a_{5}=b_{5}&\quad (1.5)&\quad b_{6}-b_{5}=k&\quad (2.5)\\a_{7}-a_{6}=b_{6}&\quad (1.6)&\quad b_{7}-b_{6}=k&\quad (2.6)\\\vdots &\quad \vdots &\quad \vdots &\quad \vdots \\a_{n}-a_{n-1}=b_{n}&\quad (1.n)&\quad b_{n}-b_{n+1}=k&\quad (2.n)\end{matrix}}}$$Kita akan mengurangi masing-masing persamaan di atas, dimulai dari ${\displaystyle (1.1)}$ dengan ${\displaystyle (1.2)}$, ${\displaystyle (1.2)}$ dengan ${\displaystyle (1.3)}$, dan seterusnya. Dari kumpulan persamaan-persamaan di atas dapat diperoleh $${\displaystyle {\begin{matrix}a_{3}-2a_{2}+a_{1}&=&b_{2}-b_{1}&=&k&(3.1)\\a_{4}-2a_{3}+a_{2}&=&b_{3}-b_{2}&=&k&(3.2)\\a_{5}-2a_{4}+a_{3}&=&b_{4}-b_{3}&=&k&(3.3)\\a_{6}-2a_{5}+a_{4}&=&b_{5}-b_{4}&=&k&(3.4)\\\vdots &&\vdots &&\vdots &\vdots \\\end{matrix}}}$$Pada persamaan ${\displaystyle (3.1)}$ dengan ${\displaystyle (3.2)}$, kita memperoleh

${\displaystyle a_{3}-2a_{2}+a_{1}=a_{4}-2a_{3}+a_{2}\iff a_{4}=3a_{3}-3a_{2}+a_{1}}$

Hal yang serupa pada ${\displaystyle (3.2)}$ dengan ${\displaystyle (3.3)}$, ${\displaystyle (3.4)}$ dengan ${\displaystyle (3.5)}$, dst. Dengan mengikuti cara di atas, kita memperoleh

$${\displaystyle {\begin{matrix}a_{4}-2a_{3}+a_{2}=a_{5}-2a_{4}+a_{3}&\iff a_{5}=3a_{4}-3a_{3}+a_{2}\\a_{5}-2a_{4}+a_{3}=a_{6}-2a_{5}+a_{4}&\iff a_{6}=3a_{5}-3a_{4}+a_{3}\\a_{6}-2a_{5}+a_{4}=a_{7}-2a_{6}+a_{5}&\iff a_{7}=3a_{6}-3a_{5}+a_{4}\\\vdots &\vdots \end{matrix}}}$$

Persamaan yang sudah ditulis membentuk pola bahwa

${\displaystyle a_{n}=3a_{n-1}-3a_{n-2}+a_{n-3}}$. ${\displaystyle \blacksquare }$^[9]

$${\displaystyle {\begin{matrix}a_{2}-a_{1}=b_{1}&\quad (1.1)&\quad b_{2}-b_{1}=c_{1}&\quad (2.1)&c_{2}-c_{1}=k&\quad (3.1)\\a_{3}-a_{2}=b_{2}&\quad (1.2)&\quad b_{3}-b_{2}=c_{2}&\quad (2.2)&c_{3}-c_{2}=k&\quad (3.2)\\a_{4}-a_{3}=b_{3}&\quad (1.3)&\quad b_{4}-b_{3}=c_{3}&\quad (2.3)&c_{3}-c_{2}=k&\quad (3.2)\\a_{5}-a_{4}=b_{4}&\quad (1.4)&\quad b_{5}-b_{4}=c_{4}&\quad (2.4)&c_{3}-c_{2}=k&\quad (3.2)\\a_{6}-a_{5}=b_{5}&\quad (1.5)&\quad b_{6}-b_{5}=c_{5}&\quad (2.5)&c_{3}-c_{2}=k&\quad (3.2)\\a_{7}-a_{6}=b_{6}&\quad (1.6)&\quad b_{7}-b_{6}=c_{6}&\quad (2.6)&c_{3}-c_{2}=k&\quad (3.2)\\\vdots &\quad \vdots &\quad \vdots &\quad &\vdots &\quad \vdots \\a_{n}-a_{n-1}=b_{n}&\quad (1.n)&\quad b_{n}-b_{n+1}=c_{n}&\quad (2.n)&c_{n+1}-c_{n}=k&\quad (3.n)\end{matrix}}}$$Dengan cara yang serupa (pada barisan tingkat dua), kita memperoleh

$${\displaystyle {\begin{matrix}b_{3}-2b_{2}+b_{1}=c_{2}-c_{1}=k&(4.1)\\b_{4}-2b_{3}+b_{2}=c_{3}-c_{2}=k&(4.2)\\b_{5}-2b_{3}+b_{3}=c_{3}-c_{2}=k&(4.3)\\b_{6}-2b_{5}+b_{4}=c_{4}-c_{3}=k&(4.4)\\\vdots &\vdots \end{matrix}}}$$sehingga

$${\displaystyle {\begin{matrix}b_{4}&=3b_{3}-3b_{2}+b_{1}\\b_{5}&=3b_{4}-3b_{3}+b_{2}\\b_{6}&=3b_{5}-3b_{4}+b_{3}\\\vdots &\vdots \end{matrix}}}$$dan didapati ${\displaystyle b_{n}=3b_{n-1}-3b_{n-2}+b_{n-3}}$. Karena ${\displaystyle a_{n}-a_{n-1}=b_{n-1}}$, maka didapati

${\displaystyle {\begin{aligned}a_{n}-a_{n-1}&=3(a_{n-1}-a_{n-2})-3(a_{n-2}-a_{n-3})+(a_{n-3}-a_{n-4})\\a_{n}&=4a_{n-1}-6a_{n-2}+4a_{n-3}-a_{n-4}\quad \blacksquare \end{aligned}}}$

Demikian, kita telah membuktikannya.^[10]