Retardiertes Potential 📖 Wikipedia

Das retardierte Potential (deutsch: verzögertes Potential, manchmal auch retardierendes Potential^[1] genannt) ist die Bezeichnung für die mathematische Form des Potentials in der elektromagnetischen Feldtheorie oder anderen Feldtheorien, in denen sich Änderungen des Feldes mit endlicher Geschwindigkeit (Lichtgeschwindigkeit) und nicht instantan ausbreiten. Es tritt bei der Untersuchung zeitabhängiger Probleme auf, zum Beispiel bei der Abstrahlung elektromagnetischer Wellen.

Dagegen werden in der Elektrostatik, der Magnetostatik und der klassischen Newtonschen Gravitationstheorie Zeitabhängigkeiten vernachlässigt.

Mathematisch ist das Potential ${\displaystyle \,u(t,\mathbf {x} )}$ die Lösung der (aus den Maxwellgleichungen folgenden) inhomogenen Wellengleichung in drei Raumdimensionen

${\displaystyle {\frac {1}{c^{2}}}\,{\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}-\sum _{i=1}^{3}\left({\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{i}^{2}}}\right)={\frac {1}{c^{2}}}\,{\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}-\Delta u=\Box u(t,\mathbf {x} )=v(t,x_{1},x_{2},x_{3})}$,

wobei ${\displaystyle \Delta =\nabla ^{2}}$ für den Laplace-Operator, ${\displaystyle \Box }$ für den D’Alembert-Operator, ${\displaystyle c}$ für die Wellengeschwindigkeit und auf der rechten Seite ${\displaystyle \,v(t,\mathbf {x} )}$ für einen Quellenterm stehen.

Die Lösung

${\displaystyle u_{\text{retardiert}}(t,\mathbf {x} )={\frac {1}{4\pi }}\int _{\mathbb {R} ^{3}}\!\,{\frac {v\left(t-{\frac {|\mathbf {x} -\mathbf {y} |}{c}},\mathbf {y} \right)}{|\mathbf {x} -\mathbf {y} |}}\,\mathrm {d} ^{3}\mathbf {y} }$

heißt retardiertes Potential, weil die Funktion ${\displaystyle v}$ nicht zum Zeitpunkt ${\displaystyle t}$ genommen wird, sondern zu einem früheren Zeitpunkt. Nimmt man für die Wellengeschwindigkeit ${\displaystyle c}$ die Lichtgeschwindigkeit an, so hängt diese Lösung am Ort ${\displaystyle \mathbf {x} }$ zur Zeit ${\displaystyle t}$ nur von der Inhomogenität ${\displaystyle v}$ auf dem Rückwärtslichtkegel von ${\displaystyle \mathbf {x} }$ ab. Die Inhomogenität wirkt sich auf die Lösung verspätet mit Lichtgeschwindigkeit aus.

Die Lösung

${\displaystyle u_{\text{avanciert}}(t,\mathbf {x} )={\frac {1}{4\pi }}\int _{\mathbb {R} ^{3}}\!\,{\frac {v\left(t+{\frac {|\mathbf {x} -\mathbf {y} |}{c}},\mathbf {y} \right)}{|\mathbf {x} -\mathbf {y} |}}\,\mathrm {d} ^{3}\mathbf {y} }$

heißt entsprechend avanciertes Potential, weil die Funktion ${\displaystyle v}$ nicht zum Zeitpunkt ${\displaystyle t}$ genommen wird, sondern zu einem späteren Zeitpunkt. Dies beschreibt zum Beispiel eine Senke, die ein bestehendes Feld absorbiert.

Mit retardiertem und avanciertem Potential lassen sich somit Emission und Absorption von Feldern beschreiben.

In der Elektrodynamik müssen retardierte Potentiale zum Beispiel in Form der Liénard-Wiechert-Potentiale bei der Erzeugung von Synchrotronstrahlung berücksichtigt werden.^[2]

In der Gravitation gibt es Anwendungsbeispiele zur Berechnung von Abweichungen bei Umlaufbahnen von Satelliten^[3], Monden^[4] oder Planeten.^[5]

Laut neueren Arbeiten^[6] liefert die Berücksichtigung der retardierten Gravitationspotenziale der sich ändernden Masseverteilungen in Galaxientypen aller Art eine gute Übereinstimmung mit den beobachteten Rotationskurven. Dadurch könnte das Verhalten von Galaxien erklärt werden, ohne hypothetische Dunkle Materie berücksichtigen oder eine modifizierte Newtonsche Dynamik annehmen zu müssen.

• Richard Courant und David Hilbert: Methoden der mathematischen Physik Band 2. zweite Auflage, Springer Verlag, 1968

• Norbert Dragon, Stichworte und Ergänzungen zu Rechenmethoden der Physik (PDF; 1,9 MB), Kapitel 18

1. ↑ I. N. Bronstein, K. A. Semendjajew: Taschenbuch der Mathematik 20. Auflage, Verlag Harri Deutsch, Thun und Frankfurt(Main), 1981, Kap. 3.3.2.3.3, S. 545
2. ↑ Giovanni Perosa, Simone Di Mitri, William A. Barletta, Fulvio Parmigiani: Doppler signature in electrodynamic retarded potentials. In: Physics Open. Band 14, 1. Februar 2023, ISSN 2666-0326, S. 100136, doi:10.1016/j.physo.2023.100136 (sciencedirect.com [abgerufen am 25. November 2024]). 
3. ↑ C. K. Raju: Retarded gravitation theory. In: AIP Conference Proceedings. AIP, 2012, S. 260–276, doi:10.1063/1.4756973 (aip.org [abgerufen am 25. November 2024]). 
4. ↑ Yin Zhu: The speed of gravity: An observation on galaxy motions. 2016, doi:10.13140/RG.2.2.30917.45287 (rgdoi.net [abgerufen am 25. November 2024]). 
5. ↑ Roy J. Kennedy: PLANETARY MOTION IN A RETARDED NEWTONIAN POTENTIAL FIELD. In: Proceedings of the National Academy of Sciences. Band 15, Nr. 9, 15. September 1929, ISSN 0027-8424, S. 744–753, doi:10.1073/pnas.15.9.744, PMID 16577233 (pnas.org [abgerufen am 25. November 2024]). 
6. ↑ Yuval Glass, Tomer Zimmerman, Asher Yahalom: Retarded Gravity in Disk Galaxies. In: Symmetry. 16. Jahrgang, Nr. 4, 26. März 2024, ISSN 2073-8994, doi:10.3390/sym16040387, bibcode:2024Symm...16..387G (englisch, mdpi.com [abgerufen am 5. Februar 2025]).