Lista de séries matemáticas 📖 Wikipedia

🌐 🇮🇩 ID 🇺🇸 EN 🇩🇪 DE 🇫🇷 FR 🇪🇸 ES 🇷🇺 RU 🇮🇹 IT 🇵🇱 PL 🇨🇳 ZH 🇯🇵 JA 🇧🇷 PT ↗ Wikipedia

📑 Table of Contents▼

Esta lista de séries matemáticas contém fórmulas para somas finitas e infinitas. Ela pode ser usada em conjunto com outras ferramentas para avaliar somas.

Aqui, considera-se que $0^{0}$ vale $1$
$B_{n}(x)$ é um polinômio de Bernoulli.
$B_{n}$ é um número de Bernoulli, e aqui, $B_{1}=-{\frac {1}{2}}.$
$E_{n}$ é um número de Euler.
$\zeta (s)$ é a função zeta de Riemann.
$\Gamma (z)$ é a função gama.
$\psi _{n}(z)$ é uma função poligama.
$\operatorname {Li} _{s}(z)$ é um polilogaritmo .
$n \choose k$ é o coeficiente binomial
$\exp(x)$ denota a exponencial de $x$

Soma de potências

editar

Ver a fórmula de Faulhaber.

$\sum _{k=0}^{m}k^{n-1}={\frac {B_{n}(m+1)-B_{n}}{n}}$

Os primeiros valores são:

$\sum _{k=1}^{m}k={\frac {m(m+1)}{2}}$
$\sum _{k=1}^{m}k^{2}={\frac {m(m+1)(2m+1)}{6}}={\frac {m^{3}}{3}}+{\frac {m^{2}}{2}}+{\frac {m}{6}}$
$\sum _{k=1}^{m}k^{3}=\left[{\frac {m(m+1)}{2}}\right]^{2}={\frac {m^{4}}{4}}+{\frac {m^{3}}{2}}+{\frac {m^{2}}{4}}$

Ver constantes zeta.

$\zeta (2n)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{2n}}}=(-1)^{n+1}{\frac {B_{2n}(2\pi )^{2n}}{2(2n)!}}$

Os primeiros valores são:

$\zeta (2)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{6}}$ (o problema de Basileia)
$\zeta (4)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{4}}}={\frac {\pi ^{4}}{90}}$
$\zeta (6)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{6}}}={\frac {\pi ^{6}}{945}}$

Séries de potências

editar

Polilogaritmos de ordem baixa

editar

Somas com uma quantidade finita de termos:

$\sum _{k=0}^{n}z^{k}={\frac {1-z^{n+1}}{1-z}}$ , (série geométrica)
$\sum _{k=1}^{n}kz^{k}=z{\frac {1-(n+1)z^{n}+nz^{n+1}}{(1-z)^{2}}}$
$\sum _{k=1}^{n}k^{2}z^{k}=z{\frac {1+z-(n+1)^{2}z^{n}+(2n^{2}+2n-1)z^{n+1}-n^{2}z^{n+2}}{(1-z)^{3}}}$
$\sum _{k=1}^{n}k^{m}z^{k}=\left(z{\frac {d}{dz}}\right)^{m}{\frac {1-z^{n+1}}{1-z}}$

Somas com uma infinidade de termos, válidas para $|z|<1$ (ver polilogaritmo):

$\operatorname {Li} _{n}(z)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {z^{k}}{k^{n}}}$

A propriedade a seguir é útil para calcular polilogaritmos de ordem inteira baixa recursivamente de forma fechada:

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\operatorname {Li} _{n}(z)={\frac {\operatorname {Li} _{n-1}(z)}{z}}$
$\operatorname {Li} _{1}(z)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {z^{k}}{k}}=-\ln(1-z)$
$\operatorname {Li} _{0}(z)=\sum _{k=1}^{\infty }z^{k}={\frac {z}{1-z}}$
$\operatorname {Li} _{-1}(z)=\sum _{k=1}^{\infty }kz^{k}={\frac {z}{(1-z)^{2}}}$
$\operatorname {Li} _{-2}(z)=\sum _{k=1}^{\infty }k^{2}z^{k}={\frac {z(1+z)}{(1-z)^{3}}}$
$\operatorname {Li} _{-3}(z)=\sum _{k=1}^{\infty }k^{3}z^{k}={\frac {z(1+4z+z^{2})}{(1-z)^{4}}}$
$\operatorname {Li} _{-4}(z)=\sum _{k=1}^{\infty }k^{4}z^{k}={\frac {z(1+z)(1+10z+z^{2})}{(1-z)^{5}}}$

Função exponencial

editar

$\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {z^{k}}{k!}}=e^{z}$
$\sum _{k=0}^{\infty }k{\frac {z^{k}}{k!}}=ze^{z}$ (ver média da distribuição de Poisson)
$\sum _{k=0}^{\infty }k^{2}{\frac {z^{k}}{k!}}=(z+z^{2})e^{z}$ (ver segundo momento da distribuição de Poisson)
$\sum _{k=0}^{\infty }k^{3}{\frac {z^{k}}{k!}}=(z+3z^{2}+z^{3})e^{z}$
$\sum _{k=0}^{\infty }k^{4}{\frac {z^{k}}{k!}}=(z+7z^{2}+6z^{3}+z^{4})e^{z}$
$\sum _{k=0}^{\infty }k^{n}{\frac {z^{k}}{k!}}=z{\frac {d}{dz}}\sum _{k=0}^{\infty }k^{n-1}{\frac {z^{k}}{k!}}\,\!=e^{z}T_{n}(z)$

em que $T_{n}(z)$ são os polinômios de Touchard.

Funções trigonométricas, trigonométricas inversas, hiperbólicas e hiperbólicas inversas

editar

$\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}z^{2k+1}}{(2k+1)!}}=\mathrm {sen} \,z$
$\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {z^{2k+1}}{(2k+1)!}}=\mathrm {senh} \,z$
$\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}z^{2k}}{(2k)!}}=\cos z$
$\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {z^{2k}}{(2k)!}}=\cosh z$
$\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k-1}(2^{2k}-1)2^{2k}B_{2k}z^{2k-1}}{(2k)!}}=\tan z,|z|<{\frac {\pi }{2}}$
$\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(2^{2k}-1)2^{2k}B_{2k}z^{2k-1}}{(2k)!}}=\tanh z,|z|<{\frac {\pi }{2}}$
$\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}2^{2k}B_{2k}z^{2k-1}}{(2k)!}}=\cot z,|z|<\pi$
$\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {2^{2k}B_{2k}z^{2k-1}}{(2k)!}}=\coth z,|z|<\pi$
$\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k-1}(2^{2k}-2)B_{2k}z^{2k-1}}{(2k)!}}=\csc z,|z|<\pi$
$\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {-(2^{2k}-2)B_{2k}z^{2k-1}}{(2k)!}}=\operatorname {csch} z,|z|<\pi$
$\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}E_{2k}z^{2k}}{(2k)!}}=\operatorname {sech} z,|z|<{\frac {\pi }{2}}$
$\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {E_{2k}z^{2k}}{(2k)!}}=\sec z,|z|<{\frac {\pi }{2}}$
$\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k-1}z^{2k}}{(2k)!}}=\operatorname {ver} z$ (seno verso)
$\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k-1}z^{2k}}{2(2k)!}}=\operatorname {hav} z$ ^[1] (haversine)
$\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(2k)!z^{2k+1}}{2^{2k}(k!)^{2}(2k+1)}}=\mathrm {arcsen} \,z,|z|\leq 1$
$\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}(2k)!z^{2k+1}}{2^{2k}(k!)^{2}(2k+1)}}=\operatorname {arcsenh} {z},|z|\leq 1$
$\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}z^{2k+1}}{2k+1}}=\arctan z,|z|<1$
$\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {z^{2k+1}}{2k+1}}=\operatorname {arctanh} z,|z|<1$
$\ln 2+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k-1}(2k)!z^{2k}}{2^{2k+1}k(k!)^{2}}}=\ln \left(1+{\sqrt {1+z^{2}}}\right),|z|\leq 1$

Denominadores fatoriais modificados

editar

$\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(4k)!}{2^{4k}{\sqrt {2}}(2k)!(2k+1)!}}z^{k}={\sqrt {\frac {1-{\sqrt {1-z}}}{z}}},|z|<1$ ^[2]
$\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {2^{2k}(k!)^{2}}{(k+1)(2k+1)!}}z^{2k+2}=\left(\mathrm {arcsen} \,{z}\right)^{2},|z|\leq 1$
$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\prod _{k=0}^{n-1}(4k^{2}+\alpha ^{2})}{(2n)!}}z^{2n}+\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\alpha \prod _{k=0}^{n-1}[(2k+1)^{2}+\alpha ^{2}]}{(2n+1)!}}z^{2n+1}=e^{\alpha \mathrm {arcsen} \,{z}},|z|\leq 1$

Coeficientes binomiais

editar

$(1+z)^{\alpha }=\sum _{k=0}^{\infty }{\alpha \choose k}z^{k},|z|<1$ (ver teorema binomial)
^[3] $\sum _{k=0}^{\infty }{{\alpha +k-1} \choose k}z^{k}={\frac {1}{(1-z)^{\alpha }}},|z|<1$
$\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k+1}}{2k \choose k}z^{k}={\frac {1-{\sqrt {1-4z}}}{2z}},|z|\leq {\frac {1}{4}}$ , função geradora dos dos números de Catalan
$\sum _{k=0}^{\infty }{2k \choose k}z^{k}={\frac {1}{\sqrt {1-4z}}},|z|<{\frac {1}{4}}$ , função geradora dos coeficientes binomiais centrais
$\sum _{k=0}^{\infty }{2k+\alpha \choose k}z^{k}={\frac {1}{\sqrt {1-4z}}}\left({\frac {1-{\sqrt {1-4z}}}{2z}}\right)^{\alpha },|z|<{\frac {1}{4}}$

Números harmônicos

editar

(Ver números harmônicos, que são definidos por ${\textstyle H_{n}=\sum _{j=1}^{n}{\frac {1}{j}}}$ )

$\sum _{k=1}^{\infty }H_{k}z^{k}={\frac {-\ln(1-z)}{1-z}},|z|<1$
$\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {H_{k}}{k+1}}z^{k+1}={\frac {1}{2}}\left[\ln(1-z)\right]^{2},\qquad |z|<1$
$\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k-1}H_{2k}}{2k+1}}z^{2k+1}={\frac {1}{2}}\arctan {z}\log {(1+z^{2})},\qquad |z|<1$ ^[2]
$\sum _{n=0}^{\infty }\sum _{k=0}^{2n}{\frac {(-1)^{k}}{2k+1}}{\frac {z^{4n+2}}{4n+2}}={\frac {1}{4}}\arctan {z}\log {\frac {1+z}{1-z}},\qquad |z|<1$

Coeficientes binomiais

editar

$\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}=2^{n}$
$\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{n \choose k}=0,{\text{ where }}n>0$
$\sum _{k=0}^{n}{k \choose m}={n+1 \choose m+1}$
$\sum _{k=0}^{n}{m+k-1 \choose k}={n+m \choose n}$ (consulte multiconjunto)
$\sum _{k=0}^{n}{\alpha \choose k}{\beta \choose n-k}={\alpha +\beta \choose n}$ (ver a identidade de Vandermonde)

Funções trigonométricas

editar

Soma de senos e cossenos surgem nas séries de Fourier.

$\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\mathrm {sen} \,(k\theta )}{k}}={\frac {\pi -\theta }{2}},0<\theta <2\pi$
$\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\cos(k\theta )}{k}}=-{\frac {1}{2}}\ln(2-2\cos \theta ),\theta \in \mathbb {R}$
$\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\mathrm {sen} \,[(2k+1)\theta ]}{2k+1}}={\frac {\pi }{4}},0<\theta <\pi$ ,^[4]
$B_{n}(x)=-{\frac {n!}{2^{n-1}\pi ^{n}}}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{n}}}\cos \left(2\pi kx-{\frac {\pi n}{2}}\right),0<x<1$ ^[5]
$\sum _{k=0}^{n}\mathrm {sen} \,(\theta +k\alpha )={\frac {\mathrm {sen} \,{\frac {(n+1)\alpha }{2}}\mathrm {sen} \,(\theta +{\frac {n\alpha }{2}})}{\mathrm {sen} \,{\frac {\alpha }{2}}}}$
$\sum _{k=0}^{n}\cos(\theta +k\alpha )={\frac {\mathrm {sen} \,{\frac {(n+1)\alpha }{2}}\cos(\theta +{\frac {n\alpha }{2}})}{\mathrm {sen} \,{\frac {\alpha }{2}}}}$
$\sum _{k=1}^{n-1}\mathrm {sen} \,{\frac {\pi k}{n}}=\cot {\frac {\pi }{2n}}$
$\sum _{k=1}^{n-1}\mathrm {sen} \,{\frac {2\pi k}{n}}=0$
$\sum _{k=0}^{n-1}\csc ^{2}\left(\theta +{\frac {\pi k}{n}}\right)=n^{2}\csc ^{2}(n\theta )$ ^[6]
$\sum _{k=1}^{n-1}\csc ^{2}{\frac {\pi k}{n}}={\frac {n^{2}-1}{3}}$
$\sum _{k=1}^{n-1}\csc ^{4}{\frac {\pi k}{n}}={\frac {n^{4}+10n^{2}-11}{45}}$

Funções racionais

editar

$\sum _{n=a+1}^{\infty }{\frac {a}{n^{2}-a^{2}}}={\frac {1}{2}}H_{2a}$ ^[7]
$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}+a^{2}}}={\frac {1+a\pi \coth(a\pi )}{2a^{2}}}$
$\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n^{4}+4a^{4}}}={\dfrac {1+a\pi \coth(a\pi )}{8a^{4}}}$
Uma série infinita de qualquer função racional de $n$ pode ser reduzida a uma série finita de funções poligama, pelo uso da decomposição em frações parciais.^[8] Esse fato também pode ser aplicado a séries finitas de funções racionais, permitindo que o resultado seja calculado em tempo constante, mesmo quando a série contém um grande número de termos.

Função exponencial

editar

$\displaystyle {\dfrac {1}{\sqrt {p}}}\sum _{n=0}^{p-1}\exp \left({\frac {2\pi in^{2}q}{p}}\right)={\dfrac {e^{\pi i/4}}{\sqrt {2q}}}\sum _{n=0}^{2q-1}\exp \left(-{\frac {\pi in^{2}p}{2q}}\right)$ (veja a relação de Landsberg-Schaar)
$\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{-\pi n^{2}}={\frac {\sqrt[{4}]{\pi }}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}$

Ver também

editar

Notas

editar

↑ Weisstein, Eric W. «Haversine». Wolfram Research, Inc. Consultado em 6 de novembro de 2015. Cópia arquivada em 10 de março de 2005
↑ ^a ^b Wilf, Herbert R. (1994). generatingfunctionology (PDF). Academic Press, Inc. [S.l.: s.n.]
↑ «Theoretical computer science cheat sheet» (PDF)
↑ Calculate the Fourier expansion of the function $f(x)={\frac {\pi }{4}}$ on the interval $0<x<\pi$ :
↑ «Bernoulli polynomials: Series representations (subsection 06/02)». Wolfram Research. Consultado em 2 de junho de 2011
↑ Hofbauer, Josef. «A simple proof of 1+1/2^2+1/3^2+...=PI^2/6 and related identities» (PDF). Consultado em 2 de junho de 2011
↑ Sondow, Jonathan; Weisstein, Eric W. «Riemann Zeta Function (eq. 52)». MathWorld—A Wolfram Web Resource
↑ Abramowitz, Milton; Stegun, Irene (1964). «6.4 Polygamma functions». Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. [S.l.: s.n.] ISBN 0-486-61272-4

Referências

editar

Muitos livros com uma lista de integrais também têm uma lista de séries.

Movie Index: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z

LK21 - Film Sub Indo HD Terlengkap 2026: Era Baru Streaming Film Online Terlengkap

Evolusi Industri Layanan Streaming Film dan Era Transisi Sinema Digital

Perkembangan teknologi internet berkecepatan tinggi telah merevolusi berbagai aspek kehidupan manusia, tidak terkecuali cara kita menikmati karya sinematik. Jika dahulu masyarakat harus mengantre di loket bioskop atau menyewa kepingan DVD fisik untuk menonton film favorit, kini semua hiburan tersebut dapat diakses secara instan. Menonton film kini telah bertransisi penuh ke ranah digital melalui aktivitas streaming film gratis yang semakin marak. Perubahan perilaku konsumen ini melahirkan banyak platform alternatif yang berupaya menyediakan akses hiburan tanpa batas bagi seluruh lapisan warganet, khususnya di Indonesia di mana kebutuhan akan hiburan berkualitas sangat tinggi namun sering terkendala oleh akses bioskop yang belum merata di setiap daerah.

Di tengah transisi besar ini, muncul kebutuhan yang luar biasa tinggi terhadap situs web yang mampu menyediakan koleksi film lengkap dengan dukungan terjemahan bahasa lokal yang akurat. Layanan nonton film online menjadi solusi instan bagi warganet yang menginginkan kepraktisan mutlak. Mulai dari tayangan blockbuster Hollywood kelas atas, drama seri Asia yang penuh emosi, hingga mahakarya sinema indie dari berbagai belahan dunia kini dapat dinikmati langsung dari layar komputer maupun ponsel pintar masing-masing tanpa dipungut biaya sepeser pun.

Jejak Sejarah LK21, Layarkaca21, dan Dunia21 di Indonesia

Bila kita menoleh ke belakang untuk melihat sejarah perkembangan situs hiburan alternatif di tanah air, nama LK21 and Layarkaca21 dipastikan berada di garda terdepan. Kedua nama ini bukan sekadar alamat situs web biasa, melainkan sebuah fenomena kultural digital yang mengenalkan kemudahan menikmati tayangan box office secara gratis kepada jutaan masyarakat Indonesia. Melalui penyediaan pilihan kualitas video yang beragam serta pemasangan teks terjemahan bahasa Indonesia yang rapi, mereka berhasil mendominasi pangsa pasar hiburan lokal secara daring selama bertahun-tahun.

Tidak ketinggalan, nama Dunia21 juga turut memperkaya ekosistem ini dengan memfokuskan diri pada penyajian film-film barat dan serial blockbuster terpopuler secara gratis. Platform ini dikenal karena kerapihan pengkategorian film berdasarkan genre, tahun rilis, dan negara asal. Namun, seiring dengan semakin ketatnya regulasi internet sehat dan pemblokiran domain yang gencar dilakukan oleh otoritas terkait, para pengguna seringkali dihadapkan pada ketidakstabilan akses. Alamat domain yang terus berubah-ubah membuat navigasi menjadi membingungkan, ditambah dengan maraknya iklan pop-up yang mengganggu kenyamanan menonton.

Munculnya Platform Alternatif Modern: Rebahin, IDLIX, dan Indoxxi

Ketidakstabilan akses pada platform generasi pertama memicu lahirnya generasi baru situs hiburan digital yang lebih segar dan tangguh. Di antaranya yang paling menonjol di kalangan netizen adalah Rebahin, sebuah situs yang mengusung nama yang sangat dekat dengan budaya santai generasi masa kini. Rebahin berfokus pada kesederhanaan tata letak dan kemudahan akses tanpa konfigurasi yang rumit, menjadikannya pilihan favorit untuk menemani waktu senggang di akhir pekan.

Di saat yang sama, IDLIX muncul dengan keunggulan utama pada sektor serial televisi, anime, drama barat, dan drama Korea (drakor) yang selalu diperbarui dalam hitungan jam setelah penayangan aslinya di negara asal. Kecepatan pembaruan data ini membuat para pencinta serial drama beralih ke IDLIX demi menghindari bocoran cerita (*spoiler*) di media sosial. Dan tentu saja, kita tidak bisa mengabaikan pengaruh besar dari Indoxxi (atau IndoXXI), yang sempat menjadi kiblat utama bagi siapa saja yang ingin nonton film secara daring dengan kualitas audio dan visual terbaik di kelasnya. Indoxxi menetapkan standar baru dalam hal kecepatan server dan kualitas pemutar video (*video player*) yang adaptif.

Mengganti Estafet dan Menyempurnakan Setiap Detail Kualitas Video

Meskipun ada banyak pilihan situs alternatif nonton di luar sana, tidak semua platform dibuat dengan standar kualitas dan keamanan yang sama. Banyak situs web tiruan yang justru membahayakan perangkat pengguna dengan skrip jahat (*malware*) atau iklan redirect yang sangat agresif. Oleh karena itu, platform modern kami hadir untuk menyempurnakan dan menyatukan seluruh keunggulan yang dimiliki oleh para pendahulu legendaris tersebut.

Dengan mengadopsi kecepatan pembaharuan database film dari IDLIX, kestabilan server tangguh khas Indoxxi, keramahan antarmuka ala Rebahin, serta kelengkapan arsip sinematik dari LK21, Layarkaca21, dan Dunia21, kami membangun sebuah portal streaming film yang aman, responsif, dan sepenuhnya dioptimalkan untuk performa tinggi. Kami menerapkan teknologi kompresi video mutakhir yang memungkinkan Anda menonton film resolusi High Definition (HD) dengan konsumsi kuota data internet yang sangat efisien, sehingga bebas dari gangguan *buffering* yang merusak suasana menonton.

Kesimpulan: Destinasi Streaming Film Ultimate Terlengkap

Dunia hiburan digital akan terus berkembang dan melahirkan inovasi-inovasi baru demi kepuasan para penikmat sinema. Namun, satu hal yang tidak akan pernah berubah adalah keinginan penonton untuk mendapatkan akses yang cepat, koleksi yang lengkap, serta kenyamanan yang maksimal saat menyaksikan film favorit mereka.

Sebagai wujud dedikasi kami untuk memberikan pengalaman sinematik terbaik bagi Anda, portal ini dirancang khusus untuk memenuhi semua kriteria tersebut. Kami berkomitmen untuk selalu menghadirkan update film bioskop terbaru setiap hari dengan kualitas subtitle bahasa Indonesia yang presisi. Jadikan situs kami sebagai pelabuhan utama Anda untuk menikmati ribuan hiburan berkualitas secara gratis dan rasakan kemudahan menonton tanpa batas, kapan saja, dan di mana saja.