Problem komiwojażera (ang. travelling salesman problem, TSP) – zagadnienie optymalizacyjne, polegające na znalezieniu minimalnego cyklu Hamiltona w pełnym grafie ważonym[1][2].
Nazwa pochodzi od typowej ilustracji problemu, przedstawiającej go z punktu widzenia wędrownego sprzedawcy (komiwojażera): dane jest n miast, które komiwojażer ma odwiedzić, oraz odległość / cena podróży / czas podróży pomiędzy każdą parą miast. Celem jest znalezienie najkrótszej / najtańszej / najszybszej drogi łączącej wszystkie miasta, zaczynającej się i kończącej się w określonym punkcie[1][2].
Symetryczny problem komiwojażera (STSP) polega na tym, że dla dowolnych miast A i B odległość z A do B jest taka sama jak z B do A. W asymetrycznym problemie komiwojażera (ATSP) odległości te mogą być różne.
Główną trudnością problemu jest duża liczba danych do analizy. W przypadku symetrycznego problemu komiwojażera dla n miast liczba kombinacji wynosi [3], tak więc dla 20 miast uzyskujemy wynik
Rozwinięciem problemu komiwojażera jest problem marszrutyzacji.
Przykładowe algorytmy znajdujące przybliżone rozwiązania problemu komiwojażera to algorytm najbliższego sąsiada i algorytm Christofidesa.
Historia
edytujPoczątek badań nad problemem komiwojażera nie jest jasny. Wspomina o nim podręcznik z 1832[a], który zawiera przykładową trasę po Niemczech i Szwajcarii, lecz nie zawiera żadnych matematycznych uzasadnień.
W 1859 irlandzki matematyk William Rowan Hamilton sformułował problem istnienia cyklu o długości n w grafie n-wierzchołkowym[4].
Za pierwszego autora, który sformalizował matematycznie problem komiwojażera uznaje się austriackiego matematyka Karla Mengera, który zdefiniował go w 1930[5] zwracając szczególną uwagę na trudność w obliczeniu rozwiązania[6]. Niezależnie od niego ten sam problem poruszył w 1934 Hassler Witney na wykładzie w Princeton University[5]. Natomiast pierwsza próba rozwiązania problemu miała miejsce w 1937, gdy Merrill Flood pracował nad rozwiązaniem wyznaczania tras dla autobusów szkolnych[5].
Z uwagi na bardzo prosty opis problemu oraz opinię o bardzo trudnym obliczeniowo procesie optymalizacji, problem komiwojażera stał się bardzo popularny[5]. Fascynacja ta trwa od lat pięćdziesiątych XX wieku do dziś, zarówno wśród amatorów jak i profesjonalistów[5][2].
Przykład
edytujMiasta: Kutno, Warszawa, Poznań, Kraków
Odległości:
Kutno Warszawa Poznań Kraków Kutno 0 130 180 300 Warszawa 130 0 320 350 Poznań 180 320 0 360 Kraków 300 350 360 0
Należy znaleźć najkrótszą trasę zaczynającą się np. z Kutna, przechodzącą jednokrotnie przez wszystkie pozostałe miasta i wracającą do Kutna.
Problem ten jest NP-trudny[1].
Wersja decyzyjna
edytujW wersji decyzyjnej problemu, danymi są graf i pewna liczba n, należy odpowiedzieć czy istnieje trasa komiwojażera krótsza od n.
Tak sformułowany problem jest NP-zupełny.
Uwagi
edytuj- ↑ Oryginalny tytuł: Der Handlungsreisende – wie er sein soll und was er zu thun hat, um Aufträge zu erhalten und eines glücklichen Erfolgs in seinen Geschäften gewiß zu sein – von einem alten Commis-Voyageur
Przypisy
edytuj- ↑ a b c Sysło, Deo i Kowalik 1995 ↓, s. 282.
- ↑ a b c Iwo, Iwona Białynicki-Birula, Białynicka-Birula: Modelowanie rzeczywistości. Warszawa: Prószyński i S-ka SA, 2002, s. 14-18. ISBN 83-7255-103-0.
- ↑ Problem komiwojażera, [w:] Jerzy Wałaszek, Algorytmy i struktury danych (pol.).
- ↑ Sysło, Deo i Kowalik 1995 ↓, s. 283.
- ↑ a b c d e Sysło, Deo i Kowalik 1995 ↓, s. 314.
- ↑ The traveling salesman and the assignement problem, [w:] Alexander Schrijver, Combinatorial Optimization: Polyhedra and Efficiency, s. 51 (ang.).
Bibliografia
edytuj- Maciej Marek Sysło, Narsingh Deo, Janusz S. Kowalik, Algorytmy optymalizacji dyskretnej, wyd. drugie, Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 1995, ISBN 83-01-11818-0.
Linki zewnętrzne
edytuj- Traveling Salesman Problem [online] [dostęp 2016-05-22] (ang.).
- Eric W. Weisstein, Traveling Salesman Problem, [w:] MathWorld, Wolfram Research (ang.). [dostęp 2025-12-20].
Travelling salesman problem (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2025-12-20].
