Número regular 📖 Wikipedia

Los números regulares son números que dividen uniformemente potencias de 60 (o, equivalentemente, potencias de 30). Equivalentemente, son los números cuyos únicos divisores primos son 2, 3 y 5. Como ejemplo, 60² = 3600 = 48 × 75, por lo que tanto 48 como 75 son regulares al ser divisores de una potencia de 60.

Estos números aparecen en varias áreas de las matemáticas y sus aplicaciones, y reciben diferentes nombres según el ámbito de estudio.

• En teoría de números, se denominan 5-lisos, porque se caracterizan por tener solo 2, 3 o 5 como factores primos. Es un caso específico de los números k-lisos en general, que no tienen ningún factor primo mayor que k.
• En el estudio de la matemática babilónica, los divisores de potencias de 60 se llaman números regulares o números sexagesimales regulares, y son de gran importancia en este campo debido al sistema numérico sexagesimal (base 60) que usaban los babilonios para escribir sus números y que era central en la matemática babilónica.
• En teoría musical, los números regulares aparecen en las proporciones de tonos en la afinación justa de cinco límites. En relación con la teoría musical y teorías relacionadas de arquitectura, estos números se han denominado números enteros armónicos.
• En informática, los números regulares se conocen a menudo como números de Hamming, en honor a Richard Hamming, quien propuso el problema de encontrar algoritmos informáticos para generar estos números en orden ascendente. Este problema se ha utilizado como caso de prueba para la programación funcional.

Formalmente, un número regular es un entero de la forma ${\displaystyle 2^{i}\cdot 3^{j}\cdot 5^{k}}$, donde ${\displaystyle i}$, ${\displaystyle j}$ y ${\displaystyle k}$ son enteros no negativos. Dicho número es divisor de ${\displaystyle 60^{\max(\lceil i\,/2\rceil ,j,k)}}$. Los números regulares también se denominan 5-lisos, lo que indica que su mayor factor primo es como máximo 5.^[2]​ Más generalmente, un número k-liso es un número cuyo mayor factor primo es como máximo k.^[3]​

Los primeros números regulares son^[2]​

Otras secuencias en la On-Line Encyclopedia of Integer Sequences tienen definiciones que involucran números 5-lisos.^[4]​

Aunque los números regulares parecen densos en el rango de 1 a 60, son bastante escasos entre los enteros mayores. Un número regular ${\displaystyle n=2^{i}\cdot 3^{j}\cdot 5^{k}}$ es menor o igual que un umbral ${\displaystyle N}$ si y solo si el punto ${\displaystyle (i,j,k)}$ pertenece al tetraedro delimitado por los planos coordenados y el plano

$${\displaystyle i\ln 2+j\ln 3+k\ln 5\leq \ln N,}$$

lo que se ve tomando logaritmos de ambos lados de la desigualdad ${\displaystyle 2^{i}\cdot 3^{j}\cdot 5^{k}\leq N}$. Por tanto, el número de números regulares que son como máximo ${\displaystyle N}$ se puede estimar como el volumen de este tetraedro, que es

$${\displaystyle {\frac {\log _{2}N\,\log _{3}N\,\log _{5}N}{6}}.}$$

Aún más precisamente, usando la notación O grande, el número de números regulares hasta ${\displaystyle N}$ es

$${\displaystyle {\frac {\left(\ln(N{\sqrt {30}})\right)^{3}}{6\ln 2\ln 3\ln 5}}+O(\log N),}$$

y se ha conjeturado que el término de error de esta aproximación es en realidad ${\displaystyle O(\log \log N)}$.^[2]​ Una fórmula similar para el número de números 3-lisos hasta ${\displaystyle N}$ fue dada por Srinivasa Ramanujan en su primera carta a G. H. Hardy.^[5]​

En la notación babilónica sexagesimal, el recíproco de un número regular tiene una representación finita. Si ${\displaystyle n}$ divide ${\displaystyle 60^{k}}$, la representación sexagesimal de ${\displaystyle 1/n}$ es simplemente la de ${\displaystyle 60^{k}/n}$, desplazada un cierto número de posiciones. Esto permite una división fácil por estos números: para dividir por ${\displaystyle n}$, se multiplica por ${\displaystyle 1/n}$ y luego se desplaza.^[6]​

Por ejemplo, consideremos la división por el número regular 54 = 2¹3³. 54 es divisor de 60³, y 60³/54 = 4000, por lo que dividir por 54 en sexagesimal se logra multiplicando por 4000 y desplazando tres posiciones. En sexagesimal 4000 = 1×3600 + 6×60 + 40×1, o (como lista Joyce) 1:6:40. Así, 1/54, en sexagesimal, es 1/60 + 6/60² + 40/60³, también denotado 1:6:40, ya que las convenciones notacionales babilónicas no especificaban la potencia del dígito inicial. Inversamente, 1/4000 = 54/60³, por lo que la división por 1:6:40 = 4000 se logra multiplicando por 54 y desplazando tres posiciones sexagesimales.

Los babilonios usaban tablas de recíprocos de números regulares, algunas de las cuales aún sobreviven.^[7]​ Estas tablas existieron relativamente sin cambios a lo largo de la época babilónica.^[6]​ Una tablilla de época seléucida, por alguien llamado Inaqibıt-Anu, contiene los recíprocos de 136 de los 231 números regulares de seis posiciones cuya primera posición es 1 o 2, listados en orden. También incluye recíprocos de algunos números de más de seis posiciones, como 3²³ (2 1 4 8 3 0 7 en sexagesimal), cuyo recíproco tiene 17 dígitos sexagesimales. Al notar la dificultad tanto de calcular estos números como de ordenarlos, Donald Knuth en 1972 aclamó a Inaqibıt-Anu como «¡el primer hombre en la historia en resolver un problema computacional que toma más de un segundo en una computadora electrónica moderna!» (También se conocen dos tablas que dan aproximaciones de recíprocos de números no regulares, una de las cuales da recíprocos para todos los números del 56 al 80).^[8]​^[9]​

Aunque la razón principal para preferir números regulares a otros radica en la finitud de sus recíprocos, algunos cálculos babilónicos distintos de los recíprocos también involucraban números regulares. Por ejemplo, se han encontrado tablas de cuadrados regulares^[6]​ y la tablilla rota Plimpton 322 ha sido interpretada por Neugebauer como una lista de ternas pitagóricas ${\displaystyle (p^{2}-q^{2},\,2pq,\,p^{2}+q^{2})}$ generadas por ${\displaystyle p}$ y ${\displaystyle q}$ ambos regulares y menores que 60.^[10]​ Fowler y Robson discuten el cálculo de raíces cuadradas, como cómo los babilonios encontraron una aproximación a la raíz cuadrada de 2, quizás usando aproximaciones de fracciones con números regulares como 17/12.^[9]​

En teoría musical, la afinación justa de la escala diatónica involucra números regulares: las alturas en una sola octava de esta escala tienen frecuencias proporcionales a los números de la secuencia 24, 27, 30, 32, 36, 40, 45, 48 de números regulares casi consecutivos.^[11]​ Así, para un instrumento con esta afinación, todas las alturas son armónicos de número regular de una sola frecuencia fundamental. Esta escala se denomina afinación de límite 5, lo que significa que el intervalo entre dos alturas cualquiera puede describirse como un producto 2ⁱ3^j5^k de potencias de los números primos hasta 5, o equivalentemente como una razón de números regulares.^[12]​

Otras escalas musicales de límite 5 distintas de la familiar escala diatónica de la música occidental también se han usado, tanto en músicas tradicionales de otras culturas como en música experimental moderna: Honingh y Bod (2005) listan 31 escalas diferentes de límite 5, extraídas de una base de datos más amplia de escalas musicales. Cada una de estas 31 escalas comparte con la afinación justa diatónica la propiedad de que todos los intervalos son razones de números regulares.^[12]​ El tonnetz de Euler proporciona una representación gráfica conveniente de las alturas en cualquier afinación de límite 5, al factorizar las relaciones de octava (potencias de dos) de modo que los valores restantes formen una cuadrícula planar.^[12]​ Algunos teóricos de la música han afirmado más generalmente que los números regulares son fundamentales para la música tonal en sí misma, y que las proporciones de altura basadas en primos mayores que 5 no pueden ser consonantes.^[13]​ Sin embargo, la temperamento igual de los pianos modernos no es una afinación de límite 5,^[14]​ y algunos compositores modernos han experimentado con afinaciones basadas en primos mayores que cinco.^[15]​

En relación con la aplicación de números regulares a la teoría musical, es de interés encontrar pares de números regulares que difieren en uno. Hay exactamente diez pares tales ${\displaystyle (x,x+1)}$ y cada par define una razón superparticular ${\displaystyle {\tfrac {x+1}{x}}}$ que es significativa como intervalo musical. Estos intervalos son 2/1 (la octava), 3/2 (la quinta justa), 4/3 (la cuarta justa), 5/4 (la tercera mayor justa), 6/5 (la tercera menor justa), 9/8 (el tono mayor justo), 10/9 (el tono menor justo), 16/15 (el semitono diatónico justo), 25/24 (el semitono cromático justo) y 81/80 (la coma sintónica).^[16]​

En la teoría renacentista de la armonía universal, las proporciones musicales se usaban en otras aplicaciones, incluida la arquitectura de edificios. En relación con el análisis de estas proporciones musicales y arquitectónicas compartidas, por ejemplo en la arquitectura de Palladio, los números regulares también se han denominado números enteros armónicos.^[17]​

Los algoritmos para calcular los números regulares en orden ascendente fueron popularizados por Edsger Dijkstra. Dijkstra (1976) atribuye a Hamming el problema de construir la secuencia infinita ascendente de todos los números 5-lisos; este problema se conoce ahora como problema de Hamming, y los números así generados también se llaman números de Hamming. Las ideas de Dijkstra para calcular estos números son las siguientes:

• La secuencia de números de Hamming comienza con el número 1.
• Los valores restantes en la secuencia son de la forma ${\displaystyle 2h}$, ${\displaystyle 3h}$ y ${\displaystyle 5h}$, donde ${\displaystyle h}$ es cualquier número de Hamming.
• Por tanto, la secuencia ${\displaystyle H}$ se puede generar imprimiendo el valor 1 y luego fusionando las secuencias ${\displaystyle 2H}$, ${\displaystyle 3H}$ y ${\displaystyle 5H}$.

Este algoritmo se usa a menudo para demostrar el poder de un lenguaje de programación funcional perezosa, porque se pueden construir fácilmente implementaciones eficientes (implícitamente) concurrentes, usando un número constante de operaciones aritméticas por valor generado, como se describe arriba. También son posibles implementaciones secuenciales estrictas funcionales o imperativas igualmente eficientes, mientras que las soluciones generativas explícitamente concurrentes podrían ser no triviales.^[18]​

En el lenguaje de programación Python, el código funcional perezoso para generar números regulares se usa como una de las pruebas integradas de corrección de la implementación del lenguaje.^[19]​

Un problema relacionado, discutido por Knuth (1972), es listar todos los números sexagesimales de ${\displaystyle k}$ dígitos en orden ascendente (véase #Matemática babilónica arriba). En términos algorítmicos, esto equivale a generar (en orden) la subsecuencia de la secuencia infinita de números regulares, desde ${\displaystyle 60^{k}}$ hasta ${\displaystyle 60^{k+1}}$.^[8]​ Véase Gingerich (1965) para una descripción temprana de código informático que genera estos números fuera de orden y luego los ordena;^[20]​ Knuth describe un algoritmo ad hoc, que atribuye a Bruins (1970), para generar los números de seis dígitos más rápidamente pero que no se generaliza de manera directa a valores mayores de ${\displaystyle k}$.^[8]​ Eppstein (2007) describe un algoritmo para calcular tablas de este tipo en tiempo lineal para valores arbitrarios de ${\displaystyle k}$.^[21]​

Heninger, Rains y Sloane (2006) muestran que, cuando ${\displaystyle n}$ es un número regular y es divisible por 8, la función generadora de una red unimodular par extrema ${\displaystyle n}$-dimensional es una ${\displaystyle n}$-ésima potencia de un polinomio.^[22]​

Al igual que con otras clases de números lisos, los números regulares son importantes como tamaños de problema en programas informáticos para realizar la transformada rápida de Fourier, una técnica para analizar las frecuencias dominantes de señales en datos que varían en el tiempo. Por ejemplo, el método de Temperton (1992) requiere que la longitud de la transformada sea un número regular.^[23]​

El Libro VIII de La República de Platón involucra una alegoría del matrimonio centrada en el número altamente regular 60⁴ = 12 960 000 y sus divisores (véase número de Platón). Eruditos posteriores han invocado tanto la matemática babilónica como la teoría musical en un intento de explicar este pasaje.^[24]​

Ciertas especies de bambú liberan grandes cantidades de semillas en sincronía (un proceso llamado masting) a intervalos que se han estimado como números regulares de años, con diferentes intervalos para diferentes especies, incluyendo ejemplos con intervalos de 10, 15, 16, 30, 32, 48, 60 y 120 años.^[25]​ Se ha hipotetizado que el mecanismo biológico para cronometrar y sincronizar este proceso se presta a números lisos, y en particular en este caso a números 5-lisos. Aunque los intervalos de masting estimados para algunas otras especies de bambú no son números regulares de años, esto puede explicarse como error de medición.^[25]​

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