Séries hipergeométricas básicas 📖 Wikipedia

Em matemática, as séries hipergeométricas básicas, ou séries q-hipergeométricas, são generalizações em q-análogo das séries hipergeométricas generalizadas, e por sua vez são generalizadas pelas séries hipergeométricas elípticas. Uma série x_n é chamada de hipergeométrica se a razão de termos sucessivos x_n+1/x_n é uma função racional de n. Se a razão de termos sucessivos é uma função racional de qⁿ, então a série é chamada de série hipergeométrica básica. O número q é chamado de base.

A série hipergeométrica básica ${\displaystyle {}_{2}\phi _{1}(q^{\alpha },q^{\beta };q^{\gamma };q,x)}$ foi primeiramente considerada por Eduard Heine (1846). Ela se torna a série hipergeométrica ${\displaystyle F(\alpha ,\beta ;\gamma ;x)}$ no limite quando a base ${\displaystyle q=1}$.

Existem duas formas de séries hipergeométricas básicas, a série hipergeométrica básica unilateral φ, e a mais geral série hipergeométrica básica bilateral ψ. A série hipergeométrica básica unilateral é definida como

${\displaystyle \;_{j}\phi _{k}\left[{\begin{matrix}a_{1}&a_{2}&\ldots &a_{j}\\b_{1}&b_{2}&\ldots &b_{k}\end{matrix}};q,z\right]=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{j};q)_{n}}{(b_{1},b_{2},\ldots ,b_{k},q;q)_{n}}}\left((-1)^{n}q^{n \choose 2}\right)^{1+k-j}z^{n}}$

onde

${\displaystyle (a_{1},a_{2},\ldots ,a_{m};q)_{n}=(a_{1};q)_{n}(a_{2};q)_{n}\ldots (a_{m};q)_{n}}$

e

${\displaystyle (a;q)_{n}=\prod _{k=0}^{n-1}(1-aq^{k})=(1-a)(1-aq)(1-aq^{2})\cdots (1-aq^{n-1})}$

é o fatorial q-deslocado. O caso especial mais importante é quando j = k + 1, quando se torna

${\displaystyle \;_{k+1}\phi _{k}\left[{\begin{matrix}a_{1}&a_{2}&\ldots &a_{k}&a_{k+1}\\b_{1}&b_{2}&\ldots &b_{k}\end{matrix}};q,z\right]=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{k+1};q)_{n}}{(b_{1},b_{2},\ldots ,b_{k},q;q)_{n}}}z^{n}.}$

Esta série é chamada de balanceada se a₁ ... a_{k + 1} = b₁ ...b_kq. Esta série é chamada de bem balanceada se a₁q = a₂b₁ = ... = a_{k + 1}b_k, e muito bem balanceada se, além disso, a₂ = −a₃ = qa₁^1/2. A série hipergeométrica básica unilateral é um q-análogo da série hipergeométrica pois

${\displaystyle \lim _{q\to 1}\;_{j}\phi _{k}\left[{\begin{matrix}q^{a_{1}}&q^{a_{2}}&\ldots &q^{a_{j}}\\q^{b_{1}}&q^{b_{2}}&\ldots &q^{b_{k}}\end{matrix}};q,(q-1)^{1+k-j}z\right]=\;_{j}F_{k}\left[{\begin{matrix}a_{1}&a_{2}&\ldots &a_{j}\\b_{1}&b_{2}&\ldots &b_{k}\end{matrix}};z\right]}$

é válido (Koekoek & Swarttouw (1996)).
A série hipergeométrica básica bilateral, correspondente à série hipergeométrica bilateral, é definida como

${\displaystyle \;_{j}\psi _{k}\left[{\begin{matrix}a_{1}&a_{2}&\ldots &a_{j}\\b_{1}&b_{2}&\ldots &b_{k}\end{matrix}};q,z\right]=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{j};q)_{n}}{(b_{1},b_{2},\ldots ,b_{k};q)_{n}}}\left((-1)^{n}q^{n \choose 2}\right)^{k-j}z^{n}.}$

O caso especial mais importante é quando j = k, quando se torna

${\displaystyle \;_{k}\psi _{k}\left[{\begin{matrix}a_{1}&a_{2}&\ldots &a_{k}\\b_{1}&b_{2}&\ldots &b_{k}\end{matrix}};q,z\right]=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{k};q)_{n}}{(b_{1},b_{2},\ldots ,b_{k};q)_{n}}}z^{n}.}$

A série unilateral pode ser obtida como um caso especial da bilateral definindo uma das variáveis b como sendo igual a q, pelo menos quando nenhuma das variáveis a for uma potência de q, já que todos os termos com n < 0 então desaparecem.

Algumas expressões de séries simples incluem

${\displaystyle {\frac {z}{1-q}}\;_{2}\phi _{1}\left[{\begin{matrix}q\;q\\q^{2}\end{matrix}}\;;q,z\right]={\frac {z}{1-q}}+{\frac {z^{2}}{1-q^{2}}}+{\frac {z^{3}}{1-q^{3}}}+\ldots }$

e

${\displaystyle {\frac {z}{1-q^{1/2}}}\;_{2}\phi _{1}\left[{\begin{matrix}q\;q^{1/2}\\q^{3/2}\end{matrix}}\;;q,z\right]={\frac {z}{1-q^{1/2}}}+{\frac {z^{2}}{1-q^{3/2}}}+{\frac {z^{3}}{1-q^{5/2}}}+\ldots }$

e

${\displaystyle \;_{2}\phi _{1}\left[{\begin{matrix}q\;-1\\-q\end{matrix}}\;;q,z\right]=1+{\frac {2z}{1+q}}+{\frac {2z^{2}}{1+q^{2}}}+{\frac {2z^{3}}{1+q^{3}}}+\ldots .}$

O teorema q-binomial (publicado pela primeira vez em 1811 por Heinrich August Rothe)^[1][2] afirma que $${\displaystyle \;_{1}\phi _{0}(a;q,z)={\frac {(az;q)_{\infty }}{(z;q)_{\infty }}}=\prod _{n=0}^{\infty }{\frac {1-aq^{n}z}{1-q^{n}z}}.}$$ Pode ser provado aplicando repetidamente a identidade $${\displaystyle \;_{1}\phi _{0}(a;q,z)={\frac {1-az}{1-z}}\;_{1}\phi _{0}(a;q,qz).}$$ Quando ${\textstyle a=q^{-N}}$ é uma potência inteira negativa de q, a soma hipergeométrica é finita e recupera-se a forma finita $${\displaystyle \sum _{n=0}^{N}y^{n}q^{n(n+1)/2}{\begin{bmatrix}N\\n\end{bmatrix}}_{q}=\prod _{k=1}^{N}\left(1+yq^{k}\right)}$$ do teorema q-binomial (também por vezes conhecido como teorema binomial de Cauchy).^[3] Aqui ${\textstyle {\begin{bmatrix}N\\n\end{bmatrix}}_{q}}$ é um coeficiente q-binomial.

O caso especial de a = 0 está intimamente relacionado à q-exponencial.^{[carece de fontes?]}

Srinivasa Ramanujan deu a identidade $${\displaystyle \;_{1}\psi _{1}\left[{\begin{matrix}a\\b\end{matrix}};q,z\right]=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {(a;q)_{n}}{(b;q)_{n}}}z^{n}={\frac {(b/a,q,q/az,az;q)_{\infty }}{(b,b/az,q/a,z;q)_{\infty }}}}$$ válida para |q| < 1 e |b/a| < |z| < 1. Identidades semelhantes para ${\displaystyle \;_{6}\psi _{6}}$ foram dadas por Bailey. Tais identidades podem ser entendidas como generalizações do teorema do produto triplo de Jacobi, que pode ser escrito usando q-séries como

${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }q^{n(n+1)/2}z^{n}=(q;q)_{\infty }\;(-1/z;q)_{\infty }\;(-zq;q)_{\infty }.}$

Gwynneth Coogan e Ken Ono dão uma série de potências formal relacionada^[4]

${\displaystyle A(z;q){\stackrel {\rm {def}}{=}}{\frac {1}{1+z}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(z;q)_{n}}{(-zq;q)_{n}}}z^{n}=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}z^{2n}q^{n^{2}}.}$

Como um análogo da integral de Barnes para a série hipergeométrica, Watson mostrou que

${\displaystyle {}_{2}\phi _{1}(a,b;c;q,z)={\frac {-1}{2\pi i}}{\frac {(a,b;q)_{\infty }}{(q,c;q)_{\infty }}}\int _{-i\infty }^{i\infty }{\frac {(qq^{s},cq^{s};q)_{\infty }}{(aq^{s},bq^{s};q)_{\infty }}}{\frac {\pi (-z)^{s}}{\sin \pi s}}ds}$

onde os polos de ${\displaystyle (aq^{s},bq^{s};q)_{\infty }}$ situam-se à esquerda do contorno e os polos restantes situam-se à direita. Existe uma integral de contorno semelhante para _r+1φ_r. Esta integral de contorno fornece uma continuação analítica da função hipergeométrica básica em z.

A função matriz hipergeométrica básica pode ser definida da seguinte forma:

${\displaystyle {}_{2}\phi _{1}(A,B;C;q,z):=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(A;q)_{n}(B;q)_{n}}{(C;q)_{n}(q;q)_{n}}}z^{n},\quad (A;q)_{0}:=1,\quad (A;q)_{n}:=\prod _{k=0}^{n-1}(1-Aq^{k}).}$

O teste da razão mostra que esta função matricial é absolutamente convergente.^[5]

• Identidade de Dixon
• Identidades de Rogers-Ramanujan

• Andrews, G. E. (2010). «q-Hypergeometric and Related Functions». In: Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. NIST Handbook of Mathematical Functions. [S.l.]: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-19225-5. MR 2723248 
• W.N. Bailey, Generalized Hypergeometric Series, (1935) Cambridge Tracts in Mathematics and Mathematical Physics, No.32, Cambridge University Press, Cambridge.
• William Y. C. Chen and Amy Fu, Semi-Finite Forms of Bilateral Basic Hypergeometric Series (2004)
• Exton, H. (1983), q-Hypergeometric Functions and Applications, Nova Iorque: Halstead Press, Chichester: Ellis Horwood, ISBN 0853124914, ISBN 0470274530, ISBN 978-0470274538
• Sylvie Corteel and Jeremy Lovejoy, Frobenius Partitions and the Combinatorics of Ramanujan's ${\displaystyle \,_{1}\psi _{1}}$ Summation
• Fine, Nathan J. (1988), Basic hypergeometric series and applications, ISBN 978-0-8218-1524-3, Mathematical Surveys and Monographs, 27, Providence, R.I.: American Mathematical Society, MR 956465 
• Gasper, George; Rahman, Mizan (2004), Basic hypergeometric series, ISBN 978-0-521-83357-8, Encyclopedia of Mathematics and its Applications, 96 2nd ed. , Cambridge University Press, MR 2128719 
• Heine, Eduard (1846), «Über die Reihe ${\displaystyle 1+{\frac {(q^{\alpha }-1)(q^{\beta }-1)}{(q-1)(q^{\gamma }-1)}}x+{\frac {(q^{\alpha }-1)(q^{\alpha +1}-1)(q^{\beta }-1)(q^{\beta +1}-1)}{(q-1)(q^{2}-1)(q^{\gamma }-1)(q^{\gamma +1}-1)}}x^{2}+\cdots }$», Journal für die reine und angewandte Mathematik, 32: 210–212 
• Victor Kac, Pokman Cheung, Quantum calculus, Universitext, Springer-Verlag, 2002. ISBN 0-387-95341-8
• Koekoek, Roelof; Swarttouw, Rene F. (1996). The Askey scheme of orthogonal polynomials and its q-analogues (Relatório). Technical University Delft. no. 98-17 . Seção 0.2
• Andrews, G. E., Askey, R. and Roy, R. (1999). Special Functions, Encyclopedia of Mathematics and its Applications, volume 71, Cambridge University Press.
• Eduard Heine, Theorie der Kugelfunctionen, (1878) 1, pp 97–125.
• Eduard Heine, Handbuch die Kugelfunctionen. Theorie und Anwendung (1898) Springer, Berlim.

• Weisstein, Eric W. «q-Hypergeometric Function». MathWorld (em inglês)