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Função de probabilidade da distribuição de Poisson para vários valores de λ.
Na teoria da probabilidade e na estatística, a distribuição de Poisson é uma distribuição de probabilidade discreta que expressa a probabilidade de um determinado número de eventos ocorrer em um intervalo fixo de tempo ou espaço se esses eventos ocorrerem com uma taxa média constante conhecida e independentemente do tempo desde o último evento.[1]
A distribuição foi descoberta por Siméon Denis Poisson (1781–1840) e publicada, conjuntamente com a sua teoria da probabilidade, em 1838 no seu trabalho Recherches sur la probabilité des jugements en matières criminelles et matière civile ("Pesquisa sobre a probabilidade em julgamentos sobre matérias criminais e civis"). O trabalho focava-se em certas variáveis aleatórias N que contavam, entre outras coisas, o número de ocorrências discretas de um certo fenômeno durante um intervalo de tempo de determinada duração. A probabilidade de que existam exactamente k ocorrências (k sendo um inteiro não negativo, k = 0, 1, 2, ...) é
λ é um número real, igual ao número esperado de ocorrências que ocorrem num dado intervalo de tempo. Por exemplo, se o evento ocorre a uma média de 4 minutos, e estamos interessados no número de eventos que ocorrem num intervalo de 10 minutos, usaríamos como modelo a distribuição de Poisson com λ=10/4= 2.5.
A distribuição de Poisson aparece em vários problemas físicos, com a seguinte formulação: considerando uma data inicial (t = 0), seja N(t) o número de eventos que ocorrem até uma certa data t. Por exemplo, N(t) pode ser um modelo para o número de impactos de asteroides maiores que um certo tamanho desde uma certa data de referência.
Uma aproximação que pode ser considerada é que a probabilidade de acontecer um evento em qualquer intervalo não depende (no sentido de independência estatística) da probabilidade de acontecer em qualquer outro intervalo disjunto.
Neste caso, a solução para o problema é o processo estocástico chamado de Processo de Poisson, para o qual vale:
em que λ é uma constante (de unidade inversa da unidade do tempo)[carece de fontes?].
Ou seja, o número de eventos até uma época qualquer t é uma distribuição de Poisson com parâmetro λ t.
Propriedades
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Média
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O valor esperado de uma distribuição de Poisson é igual a λ. Esta propriedade pode ser derivada facilmente[2]:
Por definição, a esperança de uma variável aleatória X é igual à soma de cada uma das suas possíveis ocorrências ponderadas pela probabilidade de que estas ocorrências aconteçam.
No caso de variáveis com distribuição, a probabilidade de que determinado evento ocorra é calculado por :. Portanto, este valor foi substituído na fórmula.
Esta expressão equivale à expressão da linha imediatamente superior; apenas se substituiu a expressão de somatório pela soma infinita para melhor compreensão. Note que como o primeiro termo é sempre igual a zero, podemos reescrever
Como
Fazemos uma substituição para facilitar o cálculo.
Tomamos a substituição acima e tiramos a constante para fora do somatório (pois o primeiro termo da expressão imediatamente superior é igual à .
Nova transformação para facilitar os cálculos...
Abrindo o somatório, verifica-se que a série converge para
Obtemos
Como queríamos demonstrar
Variância (, ou )
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A variância de uma distribuição de Poisson é igual a , como podemos demonstrar.
Sabendo que e
Calculamos o segundo momento, para uma variável aleatória discreta:
Expandindo o somatório
Simplificando os termos ao quadrado com os fatoriais
A soma de duas variáveis de Poisson independentes é ainda uma variável de Poisson com parâmetro igual à soma dos respectivos parâmetros. Ou seja, se segue uma distribuição de Poisson com parâmetro e as variáveis aleatórias são estatisticamente independentes, então
também segue uma distribuição de Poisson cujo parâmetro é igual à soma dos .
Por exemplo, é uma variável aleatória que representa o número de óbitos por mil nascimentos na cidade "A" (distribuição de Poisson com média 1,2, digamos) e é uma variável aleatória que representa o número de óbitos por mil nascimentos na cidade "B" (variável de Poisson com média 3). Ao todo, o número de óbitos por mil nascimentos nas cidades "A" e "B" têm distribuição de Poisson com média .
Exemplos
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A distribuição de Poisson representa um modelo probabilístico adequado para o estudo de um grande número de fenômenos observáveis. Eis alguns exemplos:
Chamadas telefônicas por unidade de tempo;
Defeitos por unidade de área;
Acidentes por unidade de tempo;
Chegada de clientes a um supermercado por unidade de tempo;
Número de glóbulos visíveis ao microscópio por unidade de área;
Número de partículas emitidas por uma fonte de material radioativo por unidade de tempo.
↑Haight, Frank A. (1967). Handbook of the Poisson Distribution. [S.l.]: John Wiley & Sons. ISBN978-0-471-33932-8A referência emprega parâmetros obsoletos |Título= (ajuda)
1 ( e h c λ k T − 1 ) {\displaystyle u(\lambda ,T)={8\pi hc \over \lambda ^{5}}{1 \over (e^{\frac {hc}{\lambda kT}}-1)}} Max Planck produziu esta lei em
{\displaystyle N(D)=N_{0}D^{\mu }e^{-\Lambda D}} com N 0 {\displaystyle N_{0}} , μ {\displaystyle \mu } e λ {\displaystyle \lambda } como constantes. O estudo mais
Chernoff, H. (1981). «A Note on an Inequality Involving the Normal Distribution». Annals of Probability. 9 (3): 533–535. JSTOR 2243541. MR 614640. Zbl 0457
Preventing Chronic Disease. 18: E66. doi:10.5888/pcd18.210123 «China: age distribution of novel coronavirus patients 2020». Statista. Consultado em 11 de abril
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