Função hiperbólica 📖 Wikipedia

Em matemática, as funções hiperbólicas são análogas às funções trigonométricas comuns, mas definidas usando a hipérbole em vez do círculo. Assim como os pontos (cos t, sin t) formam um círculo com raio unitário, os pontos (cosh t, sinh t) formam a metade direita da hipérbole unitária. Além disso, similarmente a como as derivadas de sin(t) e cos(t) são cos(t) e –sin(t) respectivamente, as derivadas de sinh(t) e cosh(t) são cosh(t) e sinh(t) respectivamente.

As funções hiperbólicas são usadas para expressar o ângulo de paralelismo na geometria hiperbólica. São usadas para expressar boosts de Lorentz como rotações hiperbólicas na relatividade restrita. Também ocorrem nas soluções de muitas equações diferenciais lineares (como a equação que define uma catenária), equações cúbicas e a equação de Laplace em coordenadas cartesianas. As equações de Laplace são importantes em muitas áreas da física, incluindo a teoria eletromagnética, transferência de calor e dinâmica dos fluidos.

As funções hiperbólicas básicas são:^[1]

• seno hiperbólico "sinh" ([ˈsɪŋ,_ˈsɪntʃ,_ˈʃaɪn]),^[2]
• cosseno hiperbólico "cosh" ([ˈkɒʃ,_ˈkoʊʃ]),^[3]

a partir das quais são derivadas:^[4]

• tangente hiperbólica "tanh" ([ˈtæŋ,_ˈtæntʃ,_ˈθæn]),^[5]
• cotangente hiperbólica "coth" ([ˈkɒθ,_ˈkoʊθ]),^[6][7]
• secante hiperbólica "sech" ([ˈsɛtʃ,_ˈʃɛk]),^[8]
• cossecante hiperbólica "csch" ou "cosech" ([ˈkoʊsɛtʃ,_ˈkoʊʃɛk]^[3])

correspondentes às funções trigonométricas derivadas.

As funções hiperbólicas inversas são:

• arco seno hiperbólico "arsinh" (também denotado "sinh⁻¹", "asinh" ou às vezes "arcsinh")^[9][10][11]
• arco cosseno hiperbólico "arcosh" (também denotado "cosh⁻¹", "acosh" ou às vezes "arccosh")
• arco tangente hiperbólica "artanh" (também denotado "tanh⁻¹", "atanh" ou às vezes "arctanh")
• arco cotangente hiperbólica "arcoth" (também denotado "coth⁻¹", "acoth" ou às vezes "arccoth")
• arco secante hiperbólica "arsech" (também denotado "sech⁻¹", "asech" ou às vezes "arcsech")
• arco cossecante hiperbólica "arcsch" (também denotado "arcosech", "csch⁻¹", "cosech⁻¹", "acsch", "acosech", ou às vezes "arccsch" ou "arccosech")

As funções hiperbólicas tomam um argumento chamado ângulo hiperbólico. A magnitude de um ângulo hiperbólico é a área de seu setor hiperbólico em relação a xy = 1. As funções hiperbólicas podem ser definidas em termos dos catetos de um triângulo retângulo que cobre esse setor.

Em análise complexa, as funções hiperbólicas surgem quando se aplicam as funções seno e cosseno comuns a um ângulo imaginário. O seno hiperbólico e o cosseno hiperbólico são funções inteiras. Como resultado, as outras funções hiperbólicas são meromorfas em todo o plano complexo.

Pelo teorema de Lindemann–Weierstrass, as funções hiperbólicas têm um valor transcendente para todo valor algébrico não nulo do argumento.^[12]

O primeiro cálculo conhecido de um problema de trigonometria hiperbólica é atribuído a Gerardus Mercator ao publicar a projeção cartográfica de Mercator por volta de 1566. Isso exigia a tabulação de soluções para uma equação transcendente envolvendo funções hiperbólicas.^[13]

O primeiro a sugerir uma semelhança entre o setor do círculo e o da hipérbole foi Isaac Newton em seu Principia Mathematica de 1687.^[14]

Roger Cotes sugeriu modificar as funções trigonométricas usando a unidade imaginária ${\displaystyle i={\sqrt {-1}}}$ para obter um esferoide oblato a partir de um prolato.^[14]

As funções hiperbólicas foram formalmente introduzidas em 1757 por Vincenzo Riccati.^[14][13][15] Riccati usou Sc. e Cc. (sinus/cosinus circulare) para se referir às funções circulares e Sh. e Ch. (sinus/cosinus hyperbolico) para se referir às funções hiperbólicas.^[14] Já em 1759, Daviet de Foncenex mostrou a intercambialidade das funções trigonométricas e hiperbólicas usando a unidade imaginária e estendeu a fórmula de de Moivre para funções hiperbólicas.^[15][14]

Durante a década de 1760, Johann Heinrich Lambert sistematizou o uso das funções e forneceu expressões exponenciais em várias publicações.^[14][15] Lambert creditou Riccati pela terminologia e nomes das funções, mas alterou as abreviações para as usadas atualmente.^[15][16]

Com o ângulo hiperbólico u, as funções hiperbólicas sinh e cosh podem ser definidas com a função exponencial e^u.^[1][4] Na figura ${\displaystyle A=(e^{-u},e^{u}),\ B=(e^{u},\ e^{-u}),\ OA+OB=OC}$ .

• Seno hiperbólico: a parte ímpar da função exponencial, isto é, $${\displaystyle \sinh x={\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}={\frac {e^{2x}-1}{2e^{x}}}.}$$
• Cosseno hiperbólico: a parte par da função exponencial, isto é, $${\displaystyle \cosh x={\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}={\frac {e^{2x}+1}{2e^{x}}}.}$$

• Tangente hiperbólica: $${\displaystyle \tanh x={\frac {\sinh x}{\cosh x}}={\frac {e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}}={\frac {e^{2x}-1}{e^{2x}+1}}.}$$
• Cotangente hiperbólica: para x ≠ 0, $${\displaystyle \coth x={\frac {\cosh x}{\sinh x}}={\frac {e^{x}+e^{-x}}{e^{x}-e^{-x}}}={\frac {e^{2x}+1}{e^{2x}-1}}.}$$
• Secante hiperbólica: $${\displaystyle \operatorname {sech} x={\frac {1}{\cosh x}}={\frac {2}{e^{x}+e^{-x}}}={\frac {2e^{x}}{e^{2x}+1}}.}$$
• Cossecante hiperbólica: para x ≠ 0, $${\displaystyle \operatorname {csch} x={\frac {1}{\sinh x}}={\frac {2}{e^{x}-e^{-x}}}={\frac {2e^{x}}{e^{2x}-1}}.}$$

As funções hiperbólicas podem ser definidas como soluções de equações diferenciais: o seno e o cosseno hiperbólicos são a solução (s, c) do sistema $${\displaystyle {\begin{aligned}c'(x)&=s(x),\\s'(x)&=c(x),\\\end{aligned}}}$$ com as condições iniciais ${\displaystyle s(0)=0,c(0)=1.}$ As condições iniciais tornam a solução única; sem elas, qualquer par de funções ${\displaystyle (ae^{x}+be^{-x},ae^{x}-be^{-x})}$ seria uma solução.

sinh(x) e cosh(x) são também a solução única da equação f ″(x) = f (x), tal que f (0) = 1, f ′(0) = 0 para o cosseno hiperbólico, e f (0) = 0, f ′(0) = 1 para o seno hiperbólico.

As funções hiperbólicas também podem ser deduzidas a partir de funções trigonométricas com argumentos complexos:

• Seno hiperbólico:^[1] $${\displaystyle \sinh x=-i\sin(ix).}$$
• Cosseno hiperbólico:^[1] $${\displaystyle \cosh x=\cos(ix).}$$
• Tangente hiperbólica: $${\displaystyle \tanh x=-i\tan(ix).}$$
• Cotangente hiperbólica: $${\displaystyle \coth x=i\cot(ix).}$$
• Secante hiperbólica: $${\displaystyle \operatorname {sech} x=\sec(ix).}$$
• Cossecante hiperbólica:$${\displaystyle \operatorname {csch} x=i\csc(ix).}$$

onde i é a unidade imaginária com i² = −1.

As definições acima estão relacionadas às definições exponenciais via fórmula de Euler (veja a seção § Funções hiperbólicas para números complexos abaixo).

Pode-se mostrar que a área sob a curva do cosseno hiperbólico (sobre um intervalo finito) é sempre igual ao comprimento de arco correspondente a esse intervalo:^[17] $${\displaystyle {\text{área}}=\int _{a}^{b}\cosh x\,dx=\int _{a}^{b}{\sqrt {1+\left({\frac {d}{dx}}\cosh x\right)^{2}}}\,dx={\text{comprimento de arco.}}}$$

A tangente hiperbólica é a solução (única) da equação diferencial f ′ = 1 − f ², com f (0) = 0.^[18][19]

As funções hiperbólicas satisfazem muitas identidades, todas semelhantes em forma às identidades trigonométricas. De fato, a regra de Osborn^[20] (em homenagem a George Osborn) afirma que se pode converter qualquer identidade trigonométrica (até, mas não incluindo, sinhs ou sinhs implícitos de quarto grau) para ${\displaystyle \theta }$, ${\displaystyle 2\theta }$, ${\displaystyle 3\theta }$ ou ${\displaystyle \theta }$ e ${\displaystyle \varphi }$ em uma identidade hiperbólica, por:

1. expandindo-a completamente em potências integrais de senos e cossenos,
2. mudando seno para sinh e cosseno para cosh, e
3. trocando o sinal de cada termo contendo um produto de dois sinhs.

Funções ímpares e pares: $${\displaystyle {\begin{aligned}\sinh(-x)&=-\sinh x\\\cosh(-x)&=\cosh x\\\tanh(-x)&=-\tanh x\\\coth(-x)&=-\coth x\\\operatorname {sech} (-x)&=\operatorname {sech} x\\\operatorname {csch} (-x)&=-\operatorname {csch} x\end{aligned}}}$$

Recíprocas:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arsech} x&=\operatorname {arcosh} \left({\frac {1}{x}}\right)\\\operatorname {arcsch} x&=\operatorname {arsinh} \left({\frac {1}{x}}\right)\\\operatorname {arcoth} x&=\operatorname {artanh} \left({\frac {1}{x}}\right)\end{aligned}}}$$

Análogas à fórmula de Euler:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\cosh x+\sinh x&=e^{x}\\\cosh x-\sinh x&=e^{-x}\end{aligned}}}$$

Análogas à identidade trigonométrica pitagórica:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\cosh ^{2}x-\sinh ^{2}x&=1\\1-\tanh ^{2}x&=\operatorname {sech} ^{2}x\\\coth ^{2}x-1&=\operatorname {csch} ^{2}x\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\sinh(x+y)&=\sinh x\cosh y+\cosh x\sinh y\\\cosh(x+y)&=\cosh x\cosh y+\sinh x\sinh y\\\tanh(x+y)&={\frac {\tanh x+\tanh y}{1+\tanh x\tanh y}}\\\sinh(x-y)&=\sinh x\cosh y-\cosh x\sinh y\\\cosh(x-y)&=\cosh x\cosh y-\sinh x\sinh y\\\tanh(x-y)&={\frac {\tanh x-\tanh y}{1-\tanh x\tanh y}}\\\end{aligned}}}$$ particularmente $${\displaystyle {\begin{aligned}\cosh(2x)&=\sinh ^{2}{x}+\cosh ^{2}{x}=2\sinh ^{2}x+1=2\cosh ^{2}x-1\\\sinh(2x)&=2\sinh x\cosh x\\\tanh(2x)&={\frac {2\tanh x}{1+\tanh ^{2}x}}\\\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\sinh x+\sinh y&=2\sinh \left({\frac {x+y}{2}}\right)\cosh \left({\frac {x-y}{2}}\right)\\\cosh x+\cosh y&=2\cosh \left({\frac {x+y}{2}}\right)\cosh \left({\frac {x-y}{2}}\right)\\\sinh x-\sinh y&=2\cosh \left({\frac {x+y}{2}}\right)\sinh \left({\frac {x-y}{2}}\right)\\\cosh x-\cosh y&=2\sinh \left({\frac {x+y}{2}}\right)\sinh \left({\frac {x-y}{2}}\right)\\\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\cosh x\,\cosh y&={\tfrac {1}{2}}{\bigl (}\!\!~\cosh(x+y)+\cosh(x-y){\bigr )}\\[5mu]\sinh x\,\sinh y&={\tfrac {1}{2}}{\bigl (}\!\!~\cosh(x+y)-\cosh(x-y){\bigr )}\\[5mu]\sinh x\,\cosh y&={\tfrac {1}{2}}{\bigl (}\!\!~\sinh(x+y)+\sinh(x-y){\bigr )}\\[5mu]\cosh x\,\sinh y&={\tfrac {1}{2}}{\bigl (}\!\!~\sinh(x+y)-\sinh(x-y){\bigr )}\\[5mu]\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\sinh \left({\frac {x}{2}}\right)&={\frac {\sinh x}{\sqrt {2(\cosh x+1)}}}&&=\operatorname {sgn} x\,{\sqrt {\frac {\cosh x-1}{2}}}\\[6px]\cosh \left({\frac {x}{2}}\right)&={\sqrt {\frac {\cosh x+1}{2}}}\\[6px]\tanh \left({\frac {x}{2}}\right)&={\frac {\sinh x}{\cosh x+1}}&&=\operatorname {sgn} x\,{\sqrt {\frac {\cosh x-1}{\cosh x+1}}}={\frac {e^{x}-1}{e^{x}+1}}\end{aligned}}}$$

onde sgn é a função sinal.

Se x ≠ 0, então

$${\displaystyle \tanh \left({\frac {x}{2}}\right)={\frac {\cosh x-1}{\sinh x}}=\coth x-\operatorname {csch} x}$$

Quando ⁠${\displaystyle t=\tanh \left({\frac {x}{2}}\right)}$⁠, $${\displaystyle {\begin{aligned}&\sinh x={\frac {2t}{1-t^{2}}},&&\cosh x={\frac {1+t^{2}}{1-t^{2}}},\\[8pt]&\tanh x={\frac {2t}{1+t^{2}}},&&\coth x={\frac {1+t^{2}}{2t}},\\[8pt]&\operatorname {sech} x={\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}},&&\operatorname {csch} x={\frac {1-t^{2}}{2t}}.\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\sinh ^{2}x&={\tfrac {1}{2}}(\cosh 2x-1)\\\cosh ^{2}x&={\tfrac {1}{2}}(\cosh 2x+1)\end{aligned}}}$$

A seguinte desigualdade é útil em estatística:^[21] $${\displaystyle \operatorname {cosh} (t)\leq e^{t^{2}/2}.}$$

Pode ser provada comparando as séries de Taylor das duas funções termo a termo.

$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arsinh} (x)&=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}+1}}\right)\\\operatorname {arcosh} (x)&=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)&&x\geq 1\\\operatorname {artanh} (x)&={\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {1+x}{1-x}}\right)&&|x|<1\\\operatorname {arcoth} (x)&={\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {x+1}{x-1}}\right)&&|x|>1\\\operatorname {arsech} (x)&=\ln \left({\frac {1}{x}}+{\sqrt {{\frac {1}{x^{2}}}-1}}\right)=\ln \left({\frac {1+{\sqrt {1-x^{2}}}}{x}}\right)&&0<x\leq 1\\\operatorname {arcsch} (x)&=\ln \left({\frac {1}{x}}+{\sqrt {{\frac {1}{x^{2}}}+1}}\right)&&x\neq 0\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\sinh x&=\cosh x\\{\frac {d}{dx}}\cosh x&=\sinh x\\{\frac {d}{dx}}\tanh x&=1-\tanh ^{2}x=\operatorname {sech} ^{2}x={\frac {1}{\cosh ^{2}x}}\\{\frac {d}{dx}}\coth x&=1-\coth ^{2}x=-\operatorname {csch} ^{2}x=-{\frac {1}{\sinh ^{2}x}}&&x\neq 0\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {sech} x&=-\tanh x\operatorname {sech} x\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {csch} x&=-\coth x\operatorname {csch} x&&x\neq 0\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\operatorname {arsinh} x&={\frac {1}{\sqrt {x^{2}+1}}}\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arcosh} x&={\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}}&&1<x\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {artanh} x&={\frac {1}{1-x^{2}}}&&|x|<1\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arcoth} x&={\frac {1}{1-x^{2}}}&&1<|x|\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arsech} x&=-{\frac {1}{x{\sqrt {1-x^{2}}}}}&&0<x<1\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arcsch} x&=-{\frac {1}{|x|{\sqrt {1+x^{2}}}}}&&x\neq 0\end{aligned}}}$$

Cada uma das funções sinh e cosh é igual à sua segunda derivada, isto é:$${\displaystyle {\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\sinh x=\sinh x}$$$${\displaystyle {\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\cosh x=\cosh x\,.}$$

Todas as funções com esta propriedade são combinações lineares de sinh e cosh, em particular as funções exponenciais ${\displaystyle e^{x}}$ e ${\displaystyle e^{-x}}$.^[22]

 Nota: Para uma lista completa, veja Lista de integrais de funções hiperbólicas.

$${\displaystyle {\begin{aligned}\int \sinh(ax)\,dx&=a^{-1}\cosh(ax)+C\\\int \cosh(ax)\,dx&=a^{-1}\sinh(ax)+C\\\int \tanh(ax)\,dx&=a^{-1}\ln(\cosh(ax))+C\\\int \coth(ax)\,dx&=a^{-1}\ln \left|\sinh(ax)\right|+C\\\int \operatorname {sech} (ax)\,dx&=a^{-1}\arctan(\sinh(ax))+C\\\int \operatorname {csch} (ax)\,dx&=a^{-1}\ln \left|\tanh \left({\frac {ax}{2}}\right)\right|+C=a^{-1}\ln \left|\coth \left(ax\right)-\operatorname {csch} \left(ax\right)\right|+C=-a^{-1}\operatorname {arcoth} \left(\cosh \left(ax\right)\right)+C\end{aligned}}}$$

As seguintes integrais podem ser provadas usando substituição hiperbólica:$${\displaystyle {\begin{aligned}\int {{\frac {1}{\sqrt {a^{2}+u^{2}}}}\,du}&=\operatorname {arsinh} \left({\frac {u}{a}}\right)+C\\\int {{\frac {1}{\sqrt {u^{2}-a^{2}}}}\,du}&=\operatorname {sgn} {u}\operatorname {arcosh} \left|{\frac {u}{a}}\right|+C\\\int {\frac {1}{a^{2}-u^{2}}}\,du&=a^{-1}\operatorname {artanh} \left({\frac {u}{a}}\right)+C&&u^{2}<a^{2}\\\int {\frac {1}{a^{2}-u^{2}}}\,du&=a^{-1}\operatorname {arcoth} \left({\frac {u}{a}}\right)+C&&u^{2}>a^{2}\\\int {{\frac {1}{u{\sqrt {a^{2}-u^{2}}}}}\,du}&=-a^{-1}\operatorname {arsech} \left|{\frac {u}{a}}\right|+C\\\int {{\frac {1}{u{\sqrt {a^{2}+u^{2}}}}}\,du}&=-a^{-1}\operatorname {arcsch} \left|{\frac {u}{a}}\right|+C\end{aligned}}}$$

onde C é a constante de integração.

É possível expressar explicitamente a série de Taylor em zero (ou a série de Laurent, se a função não for definida em zero) das funções acima.

$${\displaystyle \sinh x=x+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}+{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}}$$Esta série é convergente para todo valor complexo de x. Como a função sinh x é ímpar, apenas expoentes ímpares de x ocorrem em sua série de Taylor.

$${\displaystyle \cosh x=1+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+{\frac {x^{6}}{6!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}}$$Esta série é convergente para todo valor complexo de x. Como a função cosh x é par, apenas expoentes pares de x ocorrem em sua série de Taylor.

A soma das séries de sinh e cosh é a expressão em série infinita da função exponencial.

As seguintes séries são seguidas por uma descrição de um subconjunto de seu domínio de convergência, onde a série é convergente e sua soma é igual à função.$${\displaystyle {\begin{aligned}\tanh x&=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {2x^{5}}{15}}-{\frac {17x^{7}}{315}}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}},\qquad \left|x\right|<{\frac {\pi }{2}}\\\coth x&=x^{-1}+{\frac {x}{3}}-{\frac {x^{3}}{45}}+{\frac {2x^{5}}{945}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {2^{2n}B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}},\qquad 0<\left|x\right|<\pi \\\operatorname {sech} x&=1-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {5x^{4}}{24}}-{\frac {61x^{6}}{720}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {E_{2n}x^{2n}}{(2n)!}},\qquad \left|x\right|<{\frac {\pi }{2}}\\\operatorname {csch} x&=x^{-1}-{\frac {x}{6}}+{\frac {7x^{3}}{360}}-{\frac {31x^{5}}{15120}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {2(1-2^{2n-1})B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}},\qquad 0<\left|x\right|<\pi \end{aligned}}}$$

onde:

• ${\displaystyle B_{n}}$ é o n-ésimo número de Bernoulli
• ${\displaystyle E_{n}}$ é o n-ésimo número de Euler

As seguintes expansões são válidas em todo o plano complexo:

${\displaystyle \sinh x=x\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {x^{2}}{n^{2}\pi ^{2}}}\right)={\cfrac {x}{1-{\cfrac {x^{2}}{2\cdot 3+x^{2}-{\cfrac {2\cdot 3x^{2}}{4\cdot 5+x^{2}-{\cfrac {4\cdot 5x^{2}}{6\cdot 7+x^{2}-\ddots }}}}}}}}}$

${\displaystyle \cosh x=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {x^{2}}{(n-1/2)^{2}\pi ^{2}}}\right)={\cfrac {1}{1-{\cfrac {x^{2}}{1\cdot 2+x^{2}-{\cfrac {1\cdot 2x^{2}}{3\cdot 4+x^{2}-{\cfrac {3\cdot 4x^{2}}{5\cdot 6+x^{2}-\ddots }}}}}}}}}$

${\displaystyle \tanh x={\cfrac {1}{{\cfrac {1}{x}}+{\cfrac {1}{{\cfrac {3}{x}}+{\cfrac {1}{{\cfrac {5}{x}}+{\cfrac {1}{{\cfrac {7}{x}}+\ddots }}}}}}}}}$

As funções hiperbólicas representam uma expansão da trigonometria além das funções circulares. Ambos os tipos dependem de um argumento, seja ângulo circular ou ângulo hiperbólico.

Como a área de um setor circular com raio r e ângulo u (em radianos) é r²u/2, será igual a u quando r = √2. No diagrama, tal círculo é tangente à hipérbole xy = 1 em (1, 1). O setor amarelo representa uma área e magnitude angular. Da mesma forma, as regiões amarela e vermelha juntas representam um setor hiperbólico com área correspondente à magnitude do ângulo hiperbólico.

Os catetos dos dois triângulos retângulos com a hipotenusa no raio que define os ângulos têm comprimento √2 vezes as funções circulares e hiperbólicas.

O ângulo hiperbólico é uma medida invariante em relação ao mapeamento de contração, assim como o ângulo circular é invariante sob rotação.^[23]

A função de Gudermann fornece uma relação direta entre as funções circulares e as funções hiperbólicas que não envolve números complexos.

O gráfico da função ⁠${\displaystyle a\cosh(x/a)}$⁠ é a catenária, a curva formada por uma corrente flexível uniforme, pendurada livremente entre dois pontos fixos sob gravidade uniforme.

A decomposição da função exponencial em suas partes par e ímpar fornece as identidades$${\displaystyle e^{x}=\cosh x+\sinh x,}$$e$${\displaystyle e^{-x}=\cosh x-\sinh x.}$$Combinada com a fórmula de Euler $${\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x,}$$isto fornece $${\displaystyle e^{x+iy}=(\cosh x+\sinh x)(\cos y+i\sin y)}$$para a função exponencial complexa geral.

Além disso, $${\displaystyle e^{x}={\sqrt {\frac {1+\tanh x}{1-\tanh x}}}={\frac {1+\tanh {\frac {x}{2}}}{1-\tanh {\frac {x}{2}}}}}$$

Funções hiperbólicas no plano complexo

${\displaystyle \sinh(z)}$	${\displaystyle \cosh(z)}$	${\displaystyle \tanh(z)}$	${\displaystyle \coth(z)}$	${\displaystyle \operatorname {sech} (z)}$	${\displaystyle \operatorname {csch} (z)}$

Como a função exponencial pode ser definida para qualquer argumento complexo, podemos também estender as definições das funções hiperbólicas para argumentos complexos. As funções sinh z e cosh z são então holomorfas.

As relações com as funções trigonométricas comuns são dadas pela fórmula de Euler para números complexos:$${\displaystyle {\begin{aligned}e^{ix}&=\cos x+i\sin x\\e^{-ix}&=\cos x-i\sin x\end{aligned}}}$$assim:$${\displaystyle {\begin{aligned}\cosh(ix)&={\frac {1}{2}}\left(e^{ix}+e^{-ix}\right)=\cos x\\\sinh(ix)&={\frac {1}{2}}\left(e^{ix}-e^{-ix}\right)=i\sin x\\\tanh(ix)&=i\tan x\\\cosh(x+iy)&=\cosh(x)\cos(y)+i\sinh(x)\sin(y)\\\sinh(x+iy)&=\sinh(x)\cos(y)+i\cosh(x)\sin(y)\\\tanh(x+iy)&={\frac {\tanh(x)+i\tan(y)}{1+i\tanh(x)\tan(y)}}\\\cosh x&=\cos(ix)\\\sinh x&=-i\sin(ix)\\\tanh x&=-i\tan(ix)\end{aligned}}}$$

Assim, as funções hiperbólicas são periódicas em relação à componente imaginária, com período ${\displaystyle 2\pi i}$ (${\displaystyle \pi i}$ para a tangente e cotangente hiperbólicas).

• Catenária, o gráfico da função ${\displaystyle y=\cosh x\,}$.
• e (constante matemática)
• Teorema dos círculos inscritos iguais, baseado em sinh
• Funções hiperbolásticas
• Crescimento hiperbólico
• Funções hiperbólicas inversas
• Lista de integrais de funções hiperbólicas
• Espirais de Poinsot
• Função sigmoide
• Funções trigonométricas

O Commons possui uma categoria com imagens e outros ficheiros sobre Função hiperbólica

• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), «Hyperbolic functions», Enciclopédia de Matemática, ISBN 978-1-55608-010-4 (em inglês), Springer 
• Hyperbolic functions no PlanetMath
• GonioLab: Visualização do círculo unitário, funções trigonométricas e hiperbólicas (Java Web Start)
• Web-based calculator of hyperbolic functions