Série hipergeométrica generalizada 📖 Wikipedia

 Nota: Para outras generalizações da função hipergeométrica, veja Função hipergeométrica.

 Nota: Não confundir com Função hipergeométrica geral.

Na matemática, uma série hipergeométrica generalizada é uma série de potências na qual a razão de coeficientes sucessivos indexados por n é uma função racional de n. A série, se convergente, define uma função hipergeométrica generalizada, que pode então ser definida sobre um domínio mais amplo do argumento por continuação analítica. A série hipergeométrica generalizada às vezes é chamada apenas de série hipergeométrica, embora este termo também se refira às vezes apenas à série hipergeométrica gaussiana. As funções hipergeométricas generalizadas incluem a função hipergeométrica (gaussiana) e a função hipergeométrica confluente como casos especiais, que por sua vez têm muitas funções especiais particulares como casos especiais, tais como funções elementares, funções de Bessel e os polinômios ortogonais clássicos.

Uma série hipergeométrica é formalmente definida como uma série de potências

${\displaystyle \beta _{0}+\beta _{1}z+\beta _{2}z^{2}+\dots =\sum _{n\geqslant 0}\beta _{n}z^{n}}$

na qual a razão de coeficientes sucessivos é uma função racional de n. Isto é,

${\displaystyle {\frac {\beta _{n+1}}{\beta _{n}}}={\frac {A(n)}{B(n)}}}$

onde A(n) e B(n) são polinômios em n.

Por exemplo, no caso da série para a função exponencial,

${\displaystyle 1+{\frac {z}{1!}}+{\frac {z^{2}}{2!}}+{\frac {z^{3}}{3!}}+\cdots ,}$

temos:

${\displaystyle \beta _{n}={\frac {1}{n!}},\qquad {\frac {\beta _{n+1}}{\beta _{n}}}={\frac {1}{n+1}}.}$

Portanto, isso satisfaz a definição com A(n) = 1 e B(n) = n + 1.

É costume fatorar o termo inicial, de modo que se assume que β₀ seja 1. Os polinômios podem ser fatorados em fatores lineares da forma (a_j + n) e (b_k + n) respectivamente, onde os a_j e b_k são números complexos.

Por razões históricas, assume-se que (1 + n) seja um fator de B. Se este não for o caso, então tanto A quanto B podem ser multiplicados por este fator; o fator se cancela de modo que os termos permaneçam inalterados e não haja perda de generalidade.

A razão entre coeficientes consecutivos tem agora a forma

${\displaystyle {\frac {c(a_{1}+n)\cdots (a_{p}+n)}{d(b_{1}+n)\cdots (b_{q}+n)(1+n)}}}$,

onde c e d são os coeficientes principais de A e B. A série então tem a forma

${\displaystyle 1+{\frac {a_{1}\cdots a_{p}}{b_{1}\cdots b_{q}\cdot 1}}{\frac {cz}{d}}+{\frac {a_{1}\cdots a_{p}}{b_{1}\cdots b_{q}\cdot 1}}{\frac {(a_{1}+1)\cdots (a_{p}+1)}{(b_{1}+1)\cdots (b_{q}+1)\cdot 2}}\left({\frac {cz}{d}}\right)^{2}+\cdots }$,

ou, redimensionando z pelo fator apropriado e rearranjando,

${\displaystyle 1+{\frac {a_{1}\cdots a_{p}}{b_{1}\cdots b_{q}}}{\frac {z}{1!}}+{\frac {a_{1}(a_{1}+1)\cdots a_{p}(a_{p}+1)}{b_{1}(b_{1}+1)\cdots b_{q}(b_{q}+1)}}{\frac {z^{2}}{2!}}+\cdots }$.

Isto tem a forma de uma função geradora exponencial. Esta série é geralmente denotada por

${\displaystyle {}_{p}F_{q}(a_{1},\ldots ,a_{p};b_{1},\ldots ,b_{q};z)}$

ou

${\displaystyle \,{}_{p}F_{q}\left[{\begin{matrix}a_{1}&a_{2}&\cdots &a_{p}\\b_{1}&b_{2}&\cdots &b_{q}\end{matrix}};z\right].}$

Usando o fatorial crescente ou símbolo de Pochhammer

${\displaystyle {\begin{aligned}(a)_{0}&=1,\\(a)_{n}&=a(a+1)(a+2)\cdots (a+n-1)={\frac {\Gamma (a+n)}{\Gamma (a)}},&&n\geq 1,\end{aligned}}}$

onde ${\displaystyle \Gamma (x)}$ representa a função gama, isto pode ser escrito como

${\displaystyle \,{}_{p}F_{q}(a_{1},\ldots ,a_{p};b_{1},\ldots ,b_{q};z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(a_{1})_{n}\cdots (a_{p})_{n}}{(b_{1})_{n}\cdots (b_{q})_{n}}}\,{\frac {z^{n}}{n!}}={\frac {\Gamma (b_{1})\cdots \Gamma (b_{q})}{\Gamma (a_{1})\cdots \Gamma (a_{p})}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\Gamma (n+a_{1})\cdots \Gamma (n+a_{p})}{\Gamma (n+b_{1})\cdots \Gamma (n+b_{q})}}{\frac {z^{n}}{n!}}.}$

(Note que este uso do símbolo de Pochhammer não é o padrão generalizado; contudo, é o uso padrão neste contexto.)

Quando todos os termos da série são definidos e ela possui um raio de convergência não nulo, a série define uma função analítica. Tal função, e suas continuações analíticas, é chamada de função hipergeométrica.

O caso em que o raio de convergência é 0 produz muitas séries interessantes na matemática, por exemplo, a função gama incompleta tem a expansão assintótica

${\displaystyle \Gamma (a,z)\sim z^{a-1}e^{-z}\left(1+{\frac {a-1}{z}}+{\frac {(a-1)(a-2)}{z^{2}}}+\cdots \right)}$

que poderia ser escrita como z^a−1e^−z ₂F₀(1−a,1;;−z⁻¹). No entanto, o uso do termo série hipergeométrica é geralmente restrito ao caso em que a série define uma função analítica real.

A série hipergeométrica ordinária não deve ser confundida com a série hipergeométrica básica, que, apesar do nome, é uma série muito mais complicada e recôndita. A série "básica" é o q-análogo da série hipergeométrica ordinária. Existem várias generalizações da série hipergeométrica ordinária, incluindo as que advêm das funções esféricas zonais sobre espaços simétricos riemannianos.

A série sem o fator de n! no denominador (somada sobre todos os inteiros n, incluindo os negativos) é chamada de série hipergeométrica bilateral.

Existem certos valores dos a_j e b_k para os quais o numerador ou o denominador dos coeficientes é 0.

• Se algum a_j é um número inteiro não positivo (0, −1, −2, etc.) então a série tem apenas um número finito de termos e é, na verdade, um polinômio de grau −a_j.
• Se algum b_k é um número inteiro não positivo (exceto o caso anterior com b_k < a_j) então os denominadores se tornam 0 e a série é indefinida.

Excluindo esses casos, o teste da razão pode ser aplicado para determinar o raio de convergência.

• Se p < q + 1 então a razão dos coeficientes tende a zero. Isso implica que a série converge para qualquer valor finito de z e, assim, define uma função inteira de z. Um exemplo é a série de potências para a função exponencial.
• Se p = q + 1 então a razão dos coeficientes tende a um. Isso implica que a série converge para |z| < 1 e diverge para |z| > 1. Determinar se converge para |z| = 1 é mais difícil. A continuação analítica pode ser empregada para valores maiores de z.
• Se p > q + 1 então a razão de coeficientes cresce sem limites. Isso implica que, exceto para z = 0, a série diverge. Esta é então uma série divergente ou assintótica, ou pode ser interpretada como uma notação simbólica para uma equação diferencial que a soma satisfaz formalmente.

A questão da convergência para p=q+1 quando z está no círculo unitário é mais complexa. Pode-se demonstrar que a série converge absolutamente em z = 1 se

${\displaystyle \Re \left(\sum b_{k}-\sum a_{j}\right)>0}$.

Além disso, se p=q+1, ${\displaystyle \sum _{i=1}^{p}a_{i}\geq \sum _{j=1}^{q}b_{j}}$ e z é real, então o seguinte resultado de convergência é válido Quigley et al. (2013):

${\displaystyle \lim _{z\rightarrow 1}(1-z){\frac {d\log(_{p}F_{q}(a_{1},\ldots ,a_{p};b_{1},\ldots ,b_{q};z^{p}))}{dz}}=\sum _{i=1}^{p}a_{i}-\sum _{j=1}^{q}b_{j}}$.

É imediato pela definição que a ordem dos parâmetros a_j, ou a ordem dos parâmetros b_k pode ser alterada sem modificar o valor da função. Também, se algum dos parâmetros a_j for igual a algum dos parâmetros b_k, então os parâmetros correspondentes podem ser "cancelados", com certas exceções quando os parâmetros são inteiros não positivos. Por exemplo,

${\displaystyle \,{}_{2}F_{1}(3,1;1;z)=\,{}_{2}F_{1}(1,3;1;z)=\,{}_{1}F_{0}(3;;z)}$.

Este cancelamento é um caso especial de uma fórmula de redução que pode ser aplicada sempre que um parâmetro na linha superior diferir de um na linha inferior por um inteiro não negativo.^[1][2]

${\displaystyle {}_{A+1}F_{B+1}\left[{\begin{array}{c}a_{1},\ldots ,a_{A},c+n\\b_{1},\ldots ,b_{B},c\end{array}};z\right]=\sum _{j=0}^{n}{\binom {n}{j}}{\frac {z^{j}}{(c)_{j}}}{\frac {\prod _{i=1}^{A}(a_{i})_{j}}{\prod _{i=1}^{B}(b_{i})_{j}}}{}_{A}F_{B}\left[{\begin{array}{c}a_{1}+j,\ldots ,a_{A}+j\\b_{1}+j,\ldots ,b_{B}+j\end{array}};z\right]}$

A seguinte identidade básica é muito útil pois relaciona as funções hipergeométricas de ordem superior em termos de integrais sobre as de ordem inferior^[3]

${\displaystyle {}_{A+1}F_{B+1}\left[{\begin{array}{c}a_{1},\ldots ,a_{A},c\\b_{1},\ldots ,b_{B},d\end{array}};z\right]={\frac {\Gamma (d)}{\Gamma (c)\Gamma (d-c)}}\int _{0}^{1}t^{c-1}(1-t)_{}^{d-c-1}\ {}_{A}F_{B}\left[{\begin{array}{c}a_{1},\ldots ,a_{A}\\b_{1},\ldots ,b_{B}\end{array}};tz\right]dt}$

A função hipergeométrica generalizada satisfaz

${\displaystyle {\begin{aligned}\left(z{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}+a_{j}\right){}_{p}F_{q}\left[{\begin{array}{c}a_{1},\dots ,a_{j},\dots ,a_{p}\\b_{1},\dots ,b_{q}\end{array}};z\right]&=a_{j}\;{}_{p}F_{q}\left[{\begin{array}{c}a_{1},\dots ,a_{j}+1,\dots ,a_{p}\\b_{1},\dots ,b_{q}\end{array}};z\right]\\\end{aligned}}}$

e

${\displaystyle {\begin{aligned}\left(z{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}+b_{k}-1\right){}_{p}F_{q}\left[{\begin{array}{c}a_{1},\dots ,a_{p}\\b_{1},\dots ,b_{k},\dots ,b_{q}\end{array}};z\right]&=(b_{k}-1)\;{}_{p}F_{q}\left[{\begin{array}{c}a_{1},\dots ,a_{p}\\b_{1},\dots ,b_{k}-1,\dots ,b_{q}\end{array}};z\right]{\text{ para }}b_{k}\neq 1\end{aligned}}}$

Adicionalmente,

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}\;{}_{p}F_{q}\left[{\begin{array}{c}a_{1},\dots ,a_{p}\\b_{1},\dots ,b_{q}\end{array}};z\right]&={\frac {\prod _{i=1}^{p}a_{i}}{\prod _{j=1}^{q}b_{j}}}\;{}_{p}F_{q}\left[{\begin{array}{c}a_{1}+1,\dots ,a_{p}+1\\b_{1}+1,\dots ,b_{q}+1\end{array}};z\right]\end{aligned}}}$

A combinação destas resulta em uma equação diferencial satisfeita por w = _pF_q:

${\displaystyle z\prod _{n=1}^{p}\left(z{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}+a_{n}\right)w=z{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}\prod _{n=1}^{q}\left(z{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}+b_{n}-1\right)w}$.

Considere o seguinte operador:

${\displaystyle \vartheta =z{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}.}$

Pelas fórmulas de diferenciação dadas acima, o espaço linear gerado por

${\displaystyle {}_{p}F_{q}(a_{1},\dots ,a_{p};b_{1},\dots ,b_{q};z),\vartheta \;{}_{p}F_{q}(a_{1},\dots ,a_{p};b_{1},\dots ,b_{q};z)}$

contém cada uma de

${\displaystyle {}_{p}F_{q}(a_{1},\dots ,a_{j}+1,\dots ,a_{p};b_{1},\dots ,b_{q};z),}$

${\displaystyle {}_{p}F_{q}(a_{1},\dots ,a_{p};b_{1},\dots ,b_{k}-1,\dots ,b_{q};z),}$

${\displaystyle z\;{}_{p}F_{q}(a_{1}+1,\dots ,a_{p}+1;b_{1}+1,\dots ,b_{q}+1;z),}$

${\displaystyle {}_{p}F_{q}(a_{1},\dots ,a_{p};b_{1},\dots ,b_{q};z).}$

Como o espaço possui dimensão 2, quaisquer três destas p+q+2 funções são linearmente dependentes: ^[4][5]

${\displaystyle (a_{i}-b_{j}+1){}_{p}F_{q}(...a_{i}..;...,b_{j}...;z)=a_{i}\,{}_{p}F_{q}(...a_{i}+1..;...,b_{j}...;z)-(b_{j}-1){}_{p}F_{q}(...a_{i}..;...,b_{j}-1...;z).}$

${\displaystyle (a_{i}-a_{j}){}_{p}F_{q}(...a_{i}..a_{j}..;.....;z)=a_{i}\,{}_{p}F_{q}(...a_{i}+1..a_{j}..;......;z)-a_{j}\,{}_{p}F_{q}(...a_{i}..a_{j}+1...;....;z).}$

${\displaystyle b_{j}\,{}_{p}F_{q}(...a_{i}....;..b_{j}...;z)=a_{i}\,{}_{p}F_{q}(...a_{i}+1....;..b_{j}+1...;z)+(b_{j}-a_{i}){}_{p}F_{q}(...a_{i}....;..b_{j}+1...;z).}$

${\displaystyle (a_{i}-1){}_{p}F_{q}(...a_{i}..a_{j};...;z)=(a_{i}-a_{j}-1){}_{p}F_{q}(...a_{i}-1..a_{j};...;z)+a_{j}\,{}_{p}F_{q}(...a_{i}-1..a_{j}+1;...;z).}$

Estas dependências podem ser expandidas para gerar um grande número de identidades envolvendo ${\displaystyle {}_{p}F_{q}}$.

Por exemplo, no caso não-trivial mais simples,

${\displaystyle \;{}_{0}F_{1}(;a;z)=(1)\;{}_{0}F_{1}(;a;z)}$,

${\displaystyle \;{}_{0}F_{1}(;a-1;z)=({\frac {\vartheta }{a-1}}+1)\;{}_{0}F_{1}(;a;z)}$,

${\displaystyle z\;{}_{0}F_{1}(;a+1;z)=(a\vartheta )\;{}_{0}F_{1}(;a;z)}$,

Então

${\displaystyle \;{}_{0}F_{1}(;a-1;z)-\;{}_{0}F_{1}(;a;z)={\frac {z}{a(a-1)}}\;{}_{0}F_{1}(;a+1;z)}$.

Esta, e outros exemplos importantes,

${\displaystyle \;{}_{1}F_{1}(a+1;b;z)-\,{}_{1}F_{1}(a;b;z)={\frac {z}{b}}\;{}_{1}F_{1}(a+1;b+1;z)}$,

${\displaystyle \;{}_{1}F_{1}(a;b-1;z)-\,{}_{1}F_{1}(a;b;z)={\frac {az}{b(b-1)}}\;{}_{1}F_{1}(a+1;b+1;z)}$,

${\displaystyle \;{}_{1}F_{1}(a;b-1;z)-\,{}_{1}F_{1}(a+1;b;z)={\frac {(a-b+1)z}{b(b-1)}}\;{}_{1}F_{1}(a+1;b+1;z)}$

${\displaystyle \;{}_{2}F_{1}(a+1,b;c;z)-\,{}_{2}F_{1}(a,b;c;z)={\frac {bz}{c}}\;{}_{2}F_{1}(a+1,b+1;c+1;z)}$,

${\displaystyle \;{}_{2}F_{1}(a+1,b;c;z)-\,{}_{2}F_{1}(a,b+1;c;z)={\frac {(b-a)z}{c}}\;{}_{2}F_{1}(a+1,b+1;c+1;z)}$,

${\displaystyle \;{}_{2}F_{1}(a,b;c-1;z)-\,{}_{2}F_{1}(a+1,b;c;z)={\frac {(a-c+1)bz}{c(c-1)}}\;{}_{2}F_{1}(a+1,b+1;c+1;z)}$,

podem ser usados para gerar expressões de frações contínuas conhecidas como a Fração contínua de Gauss.

De maneira análoga, aplicando-se as fórmulas de diferenciação duas vezes, há ${\displaystyle {\binom {p+q+3}{2}}}$ tais funções contidas em

${\displaystyle \{1,\vartheta ,\vartheta ^{2}\}\;{}_{p}F_{q}(a_{1},\dots ,a_{p};b_{1},\dots ,b_{q};z),}$

o qual possui dimensão três, então quaisquer quatro delas são linearmente dependentes. Isso gera mais identidades e o processo pode ser continuado. As identidades assim geradas podem ser combinadas entre si para produzir novas identidades de maneira diferente.

Uma função obtida adicionando-se ±1 a exatamente um dos parâmetros a_j, b_k em

${\displaystyle {}_{p}F_{q}(a_{1},\dots ,a_{p};b_{1},\dots ,b_{q};z)}$

é chamada de contígua a

${\displaystyle {}_{p}F_{q}(a_{1},\dots ,a_{p};b_{1},\dots ,b_{q};z).}$

Usando a técnica descrita acima, uma identidade relacionando ${\displaystyle {}_{0}F_{1}(;a;z)}$ e suas duas funções contíguas pode ser dada, além de terem sido encontradas seis identidades relacionando ${\displaystyle {}_{1}F_{1}(a;b;z)}$ e quaisquer duas de suas quatro funções contíguas, e quinze identidades relacionando ${\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,b;c;z)}$ e quaisquer duas de suas seis funções contíguas. A primeira delas foi derivada no parágrafo anterior. As últimas quinze foram apresentadas por (Gauss 1813).

 Nota: Para identidades envolvendo a função hipergeométrica de Gauss ₂F₁, veja Função hipergeométrica.

Inúmeras outras identidades de funções hipergeométricas foram descobertas ao longo dos séculos XIX e XX. Uma contribuição do século XX para a metodologia de prova destas identidades é o Método de Egorychev.

O teorema de Saalschütz^[6] (Saalschütz 1890) é dado por

${\displaystyle {}_{3}F_{2}(a,b,-n;c,1+a+b-c-n;1)={\frac {(c-a)_{n}(c-b)_{n}}{(c)_{n}(c-a-b)_{n}}}.}$

Para uma extensão deste teorema, veja um artigo de pesquisa de Rakha & Rathie. De acordo com (Andrews, Askey & Roy 1999, p. 69), na verdade ele foi descoberto inicialmente por Pfaff em 1797.^[7]

A Identidade de Dixon,^[8] provada pela primeira vez por Dixon (1902), dá a soma de uma função ₃F₂ bem balanceada em 1:

${\displaystyle {}_{3}F_{2}(a,b,c;1+a-b,1+a-c;1)={\frac {\Gamma (1+{\frac {a}{2}})\Gamma (1+{\frac {a}{2}}-b-c)\Gamma (1+a-b)\Gamma (1+a-c)}{\Gamma (1+a)\Gamma (1+a-b-c)\Gamma (1+{\frac {a}{2}}-b)\Gamma (1+{\frac {a}{2}}-c)}}.}$

Para a generalização da identidade de Dixon, veja um artigo de Lavoie, et al.

A fórmula de Dougall (Dougall 1907) dá a soma de uma série muito bem balanceada que é terminante e 2-balanceada.

${\displaystyle {\begin{aligned}{}_{7}F_{6}&\left({\begin{matrix}a&1+{\frac {a}{2}}&b&c&d&e&-m\\&{\frac {a}{2}}&1+a-b&1+a-c&1+a-d&1+a-e&1+a+m\\\end{matrix}};1\right)=\\&={\frac {(1+a)_{m}(1+a-b-c)_{m}(1+a-c-d)_{m}(1+a-b-d)_{m}}{(1+a-b)_{m}(1+a-c)_{m}(1+a-d)_{m}(1+a-b-c-d)_{m}}}.\end{aligned}}}$

Terminante significa que m é um inteiro não negativo e 2-balanceada significa que

${\displaystyle 1+2a=b+c+d+e-m.}$

Muitas das outras fórmulas para valores especiais de funções hipergeométricas podem ser derivadas desta como casos especiais ou limitantes. É também chamada de identidade de Dougall-Ramanujan. É um caso especial da identidade de Jackson, e fornece a identidade de Dixon e o teorema de Saalschütz como casos especiais.^[9]

Identidade 1.

${\displaystyle e^{-x}\;{}_{2}F_{2}(a,1+d;c,d;x)={}_{2}F_{2}(c-a-1,f+1;c,f;-x)}$

onde

${\displaystyle f={\frac {d(a-c+1)}{a-d}}}$;

Identidade 2.

${\displaystyle e^{-{\frac {x}{2}}}\,{}_{2}F_{2}\left(a,1+b;2a+1,b;x\right)={}_{0}F_{1}\left(;a+{\tfrac {1}{2}};{\tfrac {x^{2}}{16}}\right)-{\frac {x\left(1-{\tfrac {2a}{b}}\right)}{2(2a+1)}}\;{}_{0}F_{1}\left(;a+{\tfrac {3}{2}};{\tfrac {x^{2}}{16}}\right),}$

que liga as funções de Bessel à ₂F₂; isto reduz à segunda fórmula de Kummer para b = 2a:

Identidade 3.

${\displaystyle e^{-{\frac {x}{2}}}\,{}_{1}F_{1}(a,2a,x)={}_{0}F_{1}\left(;a+{\tfrac {1}{2}};{\tfrac {x^{2}}{16}}\right)}$.

Identidade 4.

${\displaystyle {\begin{aligned}{}_{2}F_{2}(a,b;c,d;x)=&\sum _{i=0}{\frac {{b-d \choose i}{a+i-1 \choose i}}{{c+i-1 \choose i}{d+i-1 \choose i}}}\;{}_{1}F_{1}(a+i;c+i;x){\frac {x^{i}}{i!}}\\=&e^{x}\sum _{i=0}{\frac {{b-d \choose i}{a+i-1 \choose i}}{{c+i-1 \choose i}{d+i-1 \choose i}}}\;{}_{1}F_{1}(c-a;c+i;-x){\frac {x^{i}}{i!}},\end{aligned}}}$

que é uma soma finita caso b-d seja um inteiro não negativo.

A relação de Kummer é

${\displaystyle {}_{2}F_{1}\left(2a,2b;a+b+{\tfrac {1}{2}};x\right)={}_{2}F_{1}\left(a,b;a+b+{\tfrac {1}{2}};4x(1-x)\right).}$

A fórmula de Clausen

${\displaystyle {}_{3}F_{2}(2c-2s-1,2s,c-{\tfrac {1}{2}};2c-1,c;x)=\,{}_{2}F_{1}(c-s-{\tfrac {1}{2}},s;c;x)^{2}}$

foi utilizada por de Branges para provar a Conjectura de Bieberbach.

Muitas das funções especiais na matemática são casos especiais da função hipergeométrica confluente ou da função hipergeométrica; veja os artigos correspondentes para exemplos.

Conforme notado anteriormente, ${\displaystyle {}_{0}F_{0}(;;z)=e^{z}}$. A equação diferencial para esta função é ${\displaystyle {\frac {d}{dz}}w=w}$, cujas soluções são ${\displaystyle w=ke^{z}}$ onde k é uma constante.

As funções da forma ${\displaystyle {}_{0}F_{1}(;a;z)}$ são chamadas de funções hipergeométricas limites confluentes e estão intimamente relacionadas às funções de Bessel.

A relação é:

${\displaystyle J_{\alpha }(x)={\frac {({\tfrac {x}{2}})^{\alpha }}{\Gamma (\alpha +1)}}{}_{0}F_{1}\left(;\alpha +1;-{\tfrac {1}{4}}x^{2}\right).}$

${\displaystyle I_{\alpha }(x)={\frac {({\tfrac {x}{2}})^{\alpha }}{\Gamma (\alpha +1)}}{}_{0}F_{1}\left(;\alpha +1;{\tfrac {1}{4}}x^{2}\right).}$

A equação diferencial para esta função é

${\displaystyle w=\left(z{\frac {d}{dz}}+a\right){\frac {dw}{dz}}}$

ou

${\displaystyle z{\frac {d^{2}w}{dz^{2}}}+a{\frac {dw}{dz}}-w=0.}$

Quando a não é um número inteiro positivo, a substituição

${\displaystyle w=z^{1-a}u,}$

fornece uma solução linearmente independente

${\displaystyle z^{1-a}\;{}_{0}F_{1}(;2-a;z),}$

de modo que a solução geral é

${\displaystyle k\;{}_{0}F_{1}(;a;z)+lz^{1-a}\;{}_{0}F_{1}(;2-a;z)}$

onde k, l são constantes. (Caso a seja um inteiro positivo, a solução independente é dada pela função de Bessel correspondente do segundo tipo.)

Um caso especial é:

${\displaystyle {}_{0}F_{1}\left(;{\frac {1}{2}};-{\frac {z^{2}}{4}}\right)=\cos z}$

Um caso importante é:

${\displaystyle {}_{1}F_{0}(a;;z)=(1-z)^{-a}.}$

A equação diferencial para esta função é

${\displaystyle {\frac {d}{dz}}w=\left(z{\frac {d}{dz}}+a\right)w,}$

ou

${\displaystyle (1-z){\frac {dw}{dz}}=aw,}$

que tem as soluções

${\displaystyle w=k(1-z)^{-a}}$

onde k é uma constante.

${\displaystyle {}_{1}F_{0}(1;;z)=\sum _{n\geqslant 0}z^{n}=(1-z)^{-1}}$ é a série geométrica com razão z e coeficiente 1.

${\displaystyle z~{}_{1}F_{0}(2;;z)=\sum _{n\geqslant 0}nz^{n}=z(1-z)^{-2}}$ também é útil.

As funções da forma ${\displaystyle {}_{1}F_{1}(a;b;z)}$ são chamadas de funções hipergeométricas confluentes do primeiro tipo, também escritas como ${\displaystyle M(a;b;z)}$. A função gama incompleta ${\displaystyle \gamma (a,z)}$ é um caso especial.

A equação diferencial para esta função é

${\displaystyle \left(z{\frac {d}{dz}}+a\right)w=\left(z{\frac {d}{dz}}+b\right){\frac {dw}{dz}}}$

ou

${\displaystyle z{\frac {d^{2}w}{dz^{2}}}+(b-z){\frac {dw}{dz}}-aw=0.}$

Quando b não é um inteiro positivo, a substituição

${\displaystyle w=z^{1-b}u,}$

fornece uma solução linearmente independente

${\displaystyle z^{1-b}\;{}_{1}F_{1}(1+a-b;2-b;z),}$

logo a solução geral é

${\displaystyle k\;{}_{1}F_{1}(a;b;z)+lz^{1-b}\;{}_{1}F_{1}(1+a-b;2-b;z)}$

onde k, l são constantes.

Quando a é um inteiro não positivo, −n, ${\displaystyle {}_{1}F_{1}(-n;b;z)}$ é um polinômio. Desconsiderando fatores constantes, estes são os Polinômios de Laguerre. Isso implica que os Polinômios de Hermite podem ser expressos em termos da ₁F₁ da mesma forma.

As relações a outras funções são conhecidas apenas para certas combinações de parâmetros.

A função ${\displaystyle x\;{}_{1}F_{2}\left({\frac {1}{2}};{\frac {3}{2}},{\frac {3}{2}};-{\frac {x^{2}}{4}}\right)}$ é a antiderivada do seno cardinal. Com valores modificados para ${\displaystyle a_{1}}$ e ${\displaystyle b_{1}}$, obtém-se a antiderivada de ${\displaystyle \sin(x^{\beta })/x^{\alpha }}$.^[10]

A Função de Lommel é ${\displaystyle s_{\mu ,\nu }(z)={\frac {z^{\mu +1}}{(\mu -\nu +1)(\mu +\nu +1)}}{}_{1}F_{2}\left(1;{\frac {\mu }{2}}-{\frac {\nu }{2}}+{\frac {3}{2}},{\frac {\mu }{2}}+{\frac {\nu }{2}}+{\frac {3}{2}};-{\frac {z^{2}}{4}}\right)}$.^[11]

A função hipergeométrica confluente do segundo tipo pode ser escrita como:^[12]

${\displaystyle U(a,b,z)=z^{-a}\;{}_{2}F_{0}\left(a,a-b+1;;-{\frac {1}{z}}\right).}$

Historicamente, as mais importantes são as funções da forma ${\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,b;c;z)}$. Estas são chamadas frequentemente de funções hipergeométricas de Gauss, funções hipergeométricas padrão clássicas ou muitas vezes apenas funções hipergeométricas. O termo Função hipergeométrica generalizada é usado para as funções _pF_q se houver risco de confusão. Esta função foi estudada em detalhes pela primeira vez por Carl Friedrich Gauss, que explorou as condições para sua convergência.

A equação diferencial para esta função é

${\displaystyle \left(z{\frac {d}{dz}}+a\right)\left(z{\frac {d}{dz}}+b\right)w=\left(z{\frac {d}{dz}}+c\right){\frac {dw}{dz}}}$

ou

${\displaystyle z(1-z){\frac {d^{2}w}{dz^{2}}}+\left[c-(a+b+1)z\right]{\frac {dw}{dz}}-ab\,w=0.}$

É conhecida como a equação diferencial hipergeométrica. Quando c não é um inteiro positivo, a substituição

${\displaystyle w=z^{1-c}u}$

fornece uma solução linearmente independente

${\displaystyle z^{1-c}\;{}_{2}F_{1}(1+a-c,1+b-c;2-c;z),}$

logo a solução geral para |z| < 1 é

${\displaystyle k\;{}_{2}F_{1}(a,b;c;z)+lz^{1-c}\;{}_{2}F_{1}(1+a-c,1+b-c;2-c;z)}$

onde k, l são constantes. Soluções distintas podem ser derivadas para outros valores de z. De fato, há 24 soluções, conhecidas como as soluções de Kummer, deriváveis usando-se várias identidades, válidas em diferentes regiões do plano complexo.

Quando a é um inteiro não positivo, −n,

${\displaystyle {}_{2}F_{1}(-n,b;c;z)}$

é um polinômio. A menos de fatores constantes e de escala, estes são os Polinômios de Jacobi. Várias outras classes de polinômios ortogonais, até fatores constantes, são casos especiais de polinômios de Jacobi, de modo que estes também podem ser expressos usando ₂F₁. Isso inclui os Polinômios de Legendre e os Polinômios de Chebyshev.

Uma ampla variedade de integrais de funções elementares pode ser expressa usando a função hipergeométrica, por ex.:

${\displaystyle \int _{0}^{x}{\sqrt {1+y^{\alpha }}}\,\mathrm {d} y={\frac {x}{2+\alpha }}\left\{\alpha \;{}_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{\alpha }},{\tfrac {1}{2}};1+{\tfrac {1}{\alpha }};-x^{\alpha }\right)+2{\sqrt {x^{\alpha }+1}}\right\},\qquad \alpha \neq 0.}$

A série hipergeométrica ${\displaystyle {}_{2}F_{2}}$ está geralmente associada às integrais de produtos de funções potência e a função exponencial. Assim, o integral exponencial pode ser escrito como:

${\displaystyle \operatorname {Ei} (x)=x{}_{2}F_{2}(1,1;2,2;x)+\ln x+\gamma .}$

Os Polinômios de Mott podem ser escritos como:^[13]

${\displaystyle s_{n}(x)=(-x/2)^{n}{}_{3}F_{0}(-n,{\frac {1-n}{2}},1-{\frac {n}{2}};;-{\frac {4}{x^{2}}}).}$

A função

${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(x)=\sum _{n>0}\,{x^{n}}{n^{-2}}=x\;{}_{3}F_{2}(1,1,1;2,2;x)}$

é o dilogaritmo^[14]

Além disso,

${\displaystyle _{3}F_{2}(1,1,1+n;2,2;x)={\frac {1}{n!}}\sum _{k=0}^{n}{\biggl [}{n \atop k}{\biggr ]}{\frac {\operatorname {Li} _{2-k}(x)}{x}}}$,

onde ${\displaystyle {\biggl [}{n \atop k}{\biggr ]}}$ é o número de Stirling do primeiro tipo sem sinal. ^[15]

A função

${\displaystyle Q_{n}(x;a,b,N)={}_{3}F_{2}(-n,-x,n+a+b+1;a+1,-N+1;1)}$

é um Polinômio de Hahn.

A função

${\displaystyle p_{n}(t^{2})=(a+b)_{n}(a+c)_{n}(a+d)_{n}\;{}_{4}F_{3}\left(-n,a+b+c+d+n-1,a-t,a+t;a+b,a+c,a+d;1\right)}$

é um Polinômio de Wilson.

Todas as raízes de uma equação quíntica podem ser expressas em termos de radicais e do radical de Bring, que é a solução real para ${\displaystyle x^{5}+x+a=0}$. O radical de Bring pode ser escrito como:^[16]

${\displaystyle \operatorname {BR} (a)=-a\;{}_{4}F_{3}\left({\frac {1}{5}},{\frac {2}{5}},{\frac {3}{5}},{\frac {4}{5}};{\frac {1}{2}},{\frac {3}{4}},{\frac {5}{4}};-{\frac {3125a^{4}}{256}}\right).}$

A função de partição ${\displaystyle Z(K)}$ do modelo de Ising de rede quadrada isotrópica 2D sem campo magnético externo foi encontrada por Onsager na década de 1940 e pode ser expressada como^[17]

${\displaystyle \ln Z(K)=\ln(2\cosh 2K)-k^{2}{}_{4}F_{3}\left(1,1,{\frac {3}{2}},{\frac {3}{2}};2,2,2;16k^{2}\right),}$

com ${\displaystyle K={\frac {J}{k_{\mathrm {B} }T}}}$ e ${\displaystyle k={\frac {1}{2}}\tanh 2K\,\operatorname {sech} 2K}$.

As funções

${\displaystyle \operatorname {Li} _{q}(z)=z\;{}_{q+1}F_{q}\left(1,1,\ldots ,1;2,2,\ldots ,2;z\right)}$

${\displaystyle \operatorname {Li} _{-p}(z)=z\;{}_{p}F_{p-1}\left(2,2,\ldots ,2;1,1,\ldots ,1;z\right)}$

para ${\displaystyle q\in \mathbb {N} _{0}}$ e ${\displaystyle p\in \mathbb {N} }$ representam o Polilogaritmo.

Para cada inteiro n≥2, as raízes do polinômio xⁿ−x+t podem ser expressas como uma soma de no máximo N−1 funções hipergeométricas do tipo _n+1F_n, que sempre pode ser reduzida eliminando-se ao menos um par de parâmetros a e b.^[16]

A função hipergeométrica generalizada está vinculada à função G de Meijer e à função E de MacRobert. As séries hipergeométricas foram generalizadas para várias variáveis, por exemplo por Paul Emile Appell e Joseph Kampé de Fériet; mas uma teoria geral comparável demorou a emergir. Muitas identidades foram encontradas, algumas bastante notáveis. Uma generalização, as análogas em q-série, chamadas de séries hipergeométricas básicas, foram fornecidas por Eduard Heine no final do século XIX. Aqui, as razões consideradas de termos sucessivos, em vez de uma função racional de n, são uma função racional de qⁿ. Outra generalização, as séries hipergeométricas elípticas, são aquelas séries onde a razão dos termos é uma função elíptica (uma função meromorfa duplamente periódica) de n.

Durante o século XX, esta foi uma área frutífera de matemática combinatória, com inúmeras conexões com outros campos. Há várias definições novas de funções hipergeométricas gerais, por Aomoto, Israel Gelfand e outros; e aplicações, por exemplo, para a combinatória de arranjar um número de hiperplanos em um espaço complexo N-dimensional (veja arranjo de hiperplanos).

As funções hipergeométricas especiais ocorrem como funções esféricas zonais sobre espaços simétricos riemannianos e grupos de Lie semissimples. Sua importância e seu papel podem ser entendidos por meio do seguinte exemplo: a série hipergeométrica ₂F₁ tem os Polinômios de Legendre como um caso especial, e, quando considerada na forma de harmônicos esféricos, esses polinômios refletem, em certo sentido, as propriedades de simetria da duas-esferas ou, de forma equivalente, as rotações dadas pelo grupo de Lie SO(3). Em decomposições de produtos tensoriais de representações concretas deste grupo encontram-se os Coeficientes de Clebsch-Gordan, que podem ser escritos como séries hipergeométricas ₃F₂.

As séries hipergeométricas bilaterais são uma generalização das funções hipergeométricas onde se soma sobre todos os inteiros, e não apenas os positivos.

As funções de Fox-Wright são uma generalização de funções hipergeométricas generalizadas nas quais os símbolos de Pochhammer na expressão da série são generalizados para funções gama de expressões lineares no índice n.

• Série de Appell
• Série de Humbert
• Função de Kampé de Fériet
• Série hipergeométrica de Lauricella
• Séries hipergeométricas básicas