Transformation canonique 📖 Wikipedia

Les variables en gras comme q représentent une liste de N coordonnées généralisées :

${\displaystyle \mathbf {q} =(q_{1},\ldots ,q_{N}).}$ 

Un point sur une variable ou une liste représente la dérivée temporelle :

${\displaystyle {\dot {\mathbf {q} }}={\frac {d\mathbf {q} }{dt}}\cdot }$ 

Le produit sur les listes, symbolisé par un point, est une manière rapide de noter la somme des produits de leurs composantes deux à deux :

${\displaystyle \mathbf {p} \cdot \mathbf {q} =\sum _{k=1}^{N}p_{i}q_{i}.}$ 

La forme fonctionnelle des équations de Hamilton s'écrit : $${\displaystyle {\dot {\mathbf {p} }}=-{\frac {\partial H}{\partial \mathbf {q} }},{\dot {\mathbf {q} }}={\frac {\partial H}{\partial \mathbf {p} }}\cdot }$$ 

Par définition, les coordonnées canoniques suivent la même dynamique : $${\displaystyle {\dot {\mathbf {P} }}=-{\frac {\partial K}{\partial \mathbf {Q} }},{\dot {\mathbf {Q} }}={\frac {\partial K}{\partial \mathbf {P} }}}$$ 

où ${\displaystyle K(\mathbf {Q} ,\mathbf {P} )}$  est le nouveau Hamiltonien qui reste à déterminer.

Toutes les transformations (q, p, t) → (Q, P, t) ne conservent pas la forme des équations de Hamilton.

Pour les transformations indépendantes du temps entre (q, p) et (Q, P) il faut vérifier que la transformation est une transformation canonique restreinte, par le calcul qui suit. Comme ce genre de transformations n'a pas de dépendance explicite en temps, la dérivée temporelle de la nouvelle coordonnée généralisée ${\displaystyle Q_{m}}$  est :

${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {Q_{m}}}&={\frac {\partial Q_{m}}{\partial \mathbf {q} }}\cdot {\dot {\mathbf {q} }}+{\frac {\partial Q_{m}}{\partial \mathbf {p} }}\cdot {\dot {\mathbf {p} }}\\&={\frac {\partial Q_{m}}{\partial \mathbf {q} }}\cdot {\frac {\partial H}{\partial \mathbf {p} }}-{\frac {\partial Q_{m}}{\partial \mathbf {p} }}\cdot {\frac {\partial H}{\partial \mathbf {q} }}\\&=\{Q_{m},H\}\end{aligned}}}$ 

où ${\displaystyle \{\cdot ,\cdot \}}$  est le crochet de Poisson.

Nous avons d'autre part :

${\displaystyle {\frac {\partial H}{\partial P_{m}}}={\frac {\partial H}{\partial \mathbf {q} }}\cdot {\frac {\partial \mathbf {q} }{\partial P_{m}}}+{\frac {\partial H}{\partial \mathbf {p} }}\cdot {\frac {\partial \mathbf {p} }{\partial P_{m}}}\cdot }$ 

Par définition ces deux expressions doivent être égales, donc :

${\displaystyle \left({\frac {\partial Q_{m}}{\partial \mathbf {q} }}\right)_{\mathbf {q} ,\mathbf {p} }=\left({\frac {\partial \mathbf {p} }{\partial P_{m}}}\right)_{\mathbf {Q} ,\mathbf {P} }}$ 

${\displaystyle -\left({\frac {\partial Q_{m}}{\partial \mathbf {p} }}\right)_{\mathbf {q} ,\mathbf {p} }=\left({\frac {\partial \mathbf {q} }{\partial P_{m}}}\right)_{\mathbf {Q} ,\mathbf {P} }\cdot }$ 

L'étude analogue menée sur les moments donne les équations :

${\displaystyle \left({\frac {\partial P_{m}}{\partial \mathbf {p} }}\right)_{\mathbf {q} ,\mathbf {p} }=\left({\frac {\partial \mathbf {q} }{\partial Q_{m}}}\right)_{\mathbf {Q} ,\mathbf {P} }}$ 

${\displaystyle \left({\frac {\partial P_{m}}{\partial \mathbf {q} }}\right)_{\mathbf {q} ,\mathbf {p} }=-\left({\frac {\partial \mathbf {p} }{\partial Q_{m}}}\right)_{\mathbf {Q} ,\mathbf {P} }\cdot }$ 

Ces conditions sont les conditions directes à vérifier pour s'assurer qu'une transformation donnée est canonique.

Cette condition directe nous permet de prouver le théorème de Liouville, qui énonce que le volume dans l'espace des phases est conservé par transformations canoniques, c'est-à-dire :

${\displaystyle \int \,\mathrm {d} \mathbf {q} \,\mathrm {d} \mathbf {p} =\int \,\mathrm {d} \mathbf {Q} \,\mathrm {d} \mathbf {P} .}$ 

On peut utiliser le jacobien ${\textstyle J={\frac {\partial (\mathbf {Q} ,\mathbf {P} )}{\partial (\mathbf {q} ,\mathbf {p} )}}}$ , déterminant de la matrice des dérivées partielles, pour écrire :

${\displaystyle \int \,\mathrm {d} \mathbf {Q} \,\mathrm {d} \mathbf {P} =\int J\,\mathrm {d} \mathbf {q} \,\mathrm {d} \mathbf {p} .}$ 

Or, la propriété de « division » des Jacobiens donne :

${\displaystyle J={\frac {\partial (\mathbf {Q} ,\mathbf {P} )}{\partial (\mathbf {q} ,\mathbf {P} )}}\times {\frac {\partial (\mathbf {q} ,\mathbf {p} )}{\partial (\mathbf {q} ,\mathbf {P} )}}^{-1}\cdot }$ 

En éliminant les variables répétées, on obtient :

${\displaystyle J={\frac {\partial (\mathbf {Q} )}{\partial (\mathbf {q} )}}\times {\frac {\partial (\mathbf {p} )}{\partial (\mathbf {P} )}}^{-1}\cdot }$ 

Les conditions directes des variables canoniques montrent que ${\displaystyle J=1}$ .

• (en) Maciej Błaszak et Ziemowit Domański, « Canonical transformations in quantum mechanics », Annals of Physics, vol. 331,‎ avril 2013, p. 70-96 (DOI 10.1016/j.aop.2012.12.006)
• (en) G.F. Torres del Castillo, « The generating function of a canonical transformation », Revista Mexicana de Física E, vol. 57,‎ décembre 2011, p. 158–163 (lire en ligne)

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