Principio di riflessione di Schwarz 📖 Wikipedia

Il principio di riflessione di Schwarz (o principio di simmetria) è un risultato dell'analisi complessa riguardante il prolungamento di funzioni di variabile complessa.^[1] In questa voce il principio è enunciato considerando l'asse reale come asse di simmetria, ma il risultato è valido in generale per qualsiasi retta nel piano complesso.^[2]

Sia ${\displaystyle D}$ un aperto connesso in ${\displaystyle \mathbb {C} }$ simmetrico rispetto all'asse reale. Allora si può decomporre ${\displaystyle D}$ nella forma ${\displaystyle D=D^{+}\cup D^{0}\cup D^{-}}$, dove

${\displaystyle {\begin{aligned}D^{+}&:=D\cap \{z\in \mathbb {C} :\operatorname {Im} (z)>0\};\\D^{0}&:=D\cap \{z\in \mathbb {C} :\operatorname {Im} (z)=0\}=D\cap \mathbb {R} ;\\D^{-}&:=D\cap \{z\in \mathbb {C} :\operatorname {Im} (z)<0\}.\end{aligned}}}$

Sia ${\displaystyle f\colon D^{+}\cup D^{0}\to \mathbb {C} }$ tale che ${\displaystyle f\mid _{D^{+}}}$ sia olomorfa e ${\displaystyle f\mid _{D^{0}}}$ sia continua con immagine in ${\displaystyle \mathbb {R} }$. Allora si può estendere ${\displaystyle f}$ con ${\displaystyle h\colon D\to \mathbb {C} }$:

${\displaystyle h(z)={\begin{cases}f(z)&{\text{se }}z\in D^{+}\cup D^{0},\\{\overline {f({\overline {z}})}}&{\text{se }}z\in D^{-}.\end{cases}}}$

Inoltre ${\displaystyle h}$ è unica per il principio del prolungamento analitico.

Questo principio può essere usato per estendere una funzione armonica ${\displaystyle \alpha }$ che si estende, in modo continuo, alla funzione nulla sul suo bordo. In particolare, definendo per ${\displaystyle \operatorname {Im} (z)<0}$:

${\displaystyle \alpha (x,y)=-\alpha (x,-y).}$

Questo procedimento estende una funzione armonica al dominio riflesso.^[3]

• Prolungamento analitico
• Hermann Schwarz
• Simmetria
• Funzione armonica

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