Funkcja logistyczna 📖 Wikipedia

Funkcja logistyczna lub krzywa logistyczna – wykorzystywana do modelowania wielu zjawisk krzywa w kształcie litery S (krzywa sigmoidalna) opisana równaniem^[1]

${\displaystyle f(x)={\frac {L}{1+e^{-k(x-x_{0})}}}}$,

gdzie L to parametr wyznaczający kres górny zbioru wartości funkcji, w określonych kontekstach nazywany pojemnością środowiska, k to logistyczna stopa wzrostu wyznaczająca tempo przyrostu krzywej, zaś ${\displaystyle x_{0}}$ to wartość ${\displaystyle x}$ wyznaczająca środek krzywej (punkt przegięcia, w którym funkcja przyjmuje wartość ${\displaystyle L/2}$).

Spotyka się też zapis^[2][3]

${\displaystyle f(x)={\frac {a}{1+be^{-cx}}}}$.

Oba zapisy są równoważne: ${\displaystyle a=L}$, ${\displaystyle c=k}$, zaś ${\displaystyle b=e^{kx_{0}}}$ (${\displaystyle x_{0}={{\text{ln}}b}/{c}}$).

Dziedziną funkcji logistycznej są liczby rzeczywiste, granica dla ${\displaystyle x\to -\infty }$ wynosi 0, a granica dla ${\displaystyle x\to +\infty }$ to ${\displaystyle L}$.

Funkcja logistyczna znajduje zastosowanie w wielu dziedzinach, w tym w biologii (zwłaszcza ekologii), biomatematyce^[4], chemii^[5], demografii^[6], ekonomii (np. modelowanie dyfuzji innowacji^[7]), teorii prawdopodobieństwa i statystyce (np. regresja logistyczna), socjologii, językoznawstwie^[8], sztucznych sieciach neuronowych. Przy odpowiednio dobranych parametrach funkcja logistyczna jest dystrybuantą rozkładu logistycznego^[9].

Standardowa funkcja logistyczna to funkcja logistyczna z parametrami ${\displaystyle L=1,k=1,x_{0}=0}$ (${\displaystyle b=1}$) opisana równaniem

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{1+e^{-x}}}}$

i niekiedy nazywana po prostu sigmoidem^[10]. Innym stosowanym określeniem jest expit, co nawiązuje do faktu, że funkcja jest odwrotnością logitu^[11][12]. Standardowa funkcja logistyczna jest dystrybuantą rozkładu logistycznego z parametrami ${\displaystyle \mu }$ = 0 i ${\displaystyle s}$ = 1.

Istnieje wiele uogólnień funkcji logistycznej znajdujących zastosowanie w modelowaniu wzrostu. Należą do nich między innymi uogólniona krzywa logistyczna i krzywa Gompertza.

W statystyce, gdzie wartości funkcji logistycznej są interpretowane jako prawdopodobieństwa wystąpienia jednej z dwóch możliwych kategorii, uogólnieniem na trzy lub więcej kategorii jest funkcja softmax, której wartości są wektorami.