Geometria algébrica derivada 📖 Wikipedia

A geometria algébrica derivada é um ramo da matemática que generaliza a geometria algébrica para uma situação onde os anéis comutativos, que fornecem cartas locais, são substituídos por álgebras diferenciais graduadas (sobre ${\displaystyle \mathbb {Q} }$), anéis comutativos simpliciais ou espectros de anéis ${\displaystyle E_{\infty }}$ da topologia algébrica, cujos grupos de homotopia superiores respondem pela não-discrição (por exemplo, Tor) do feixe estrutural. A teoria dos esquemas de Grothendieck permite que o feixe estrutural carregue elementos nilpotentes. A geometria algébrica derivada pode ser pensada como uma extensão dessa ideia, e fornece configurações naturais para a teoria da interseção (ou teoria da homotopia motívica^[1]) de variedades algébricas singulares e complexos cotangentes na teoria da deformação (cf. J. Francis), entre outras aplicações.

Os objetos básicos de estudo neste campo são os esquemas derivados e os stacks derivados. A motivação frequentemente citada é a fórmula de interseção de Serre.^[2]

Na formulação usual, a fórmula envolve o funtor Tor e, portanto, a menos que os Tor superiores se anulem, a interseção esquema-teórica (isto é, o produto fibrado de imersões) não produz o número de interseção correto. No contexto derivado, toma-se o produto tensorial derivado ${\displaystyle A\otimes ^{L}B}$, cuja homotopia superior é o Tor superior, e cujo Spec étale não é um esquema, mas sim um esquema derivado. Logo, o produto fibrado "derivado" fornece o número de interseção correto. Veja o Teorema 3.22 em Khan,^[3] onde a teoria da interseção derivada foi desenvolvida.

O termo "derivado" é usado da mesma forma que em funtor derivado ou categoria derivada, no sentido de que a categoria de anéis comutativos está sendo substituída por uma ∞-categoria de "anéis derivados". Na geometria algébrica clássica, a categoria derivada de feixes quase-coerentes é vista como uma categoria triangulada, mas ela possui um aprimoramento natural para uma ∞-categoria estável, que pode ser pensada como o análogo ∞-categórico de uma categoria abeliana.

A geometria algébrica derivada é fundamentalmente o estudo de objetos geométricos usando álgebra homológica e homotopia. Como os objetos neste campo devem codificar as informações homológicas e de homotopia, existem várias noções do que os espaços derivados encapsulam. Os objetos básicos de estudo na geometria algébrica derivada são os esquemas derivados e, de forma mais geral, os stacks derivados. Heuristicamente, os esquemas derivados devem ser funtores de alguma categoria de anéis derivados para a categoria de conjuntos:

${\displaystyle F:{\text{DerRings}}\to {\text{Sets}}}$

o que pode ser generalizado ainda mais para ter como alvo grupoides superiores (que se espera que sejam modelados por tipos de homotopia). Esses stacks derivados são funtores adequados da forma:

${\displaystyle F:{\text{DerRings}}\to {\text{HoT}}}$

Muitos autores modelam tais funtores como funtores com valores em conjuntos simpliciais, uma vez que eles modelam tipos de homotopia e são bem estudados. As diferentes definições sobre esses espaços derivados dependem de uma escolha de quais são os anéis derivados e como devem ser os tipos de homotopia. Alguns exemplos de anéis derivados incluem álgebras diferenciais graduadas comutativas, anéis simpliciais e anéis ${\displaystyle E_{\infty }}$.

Sobre a característica 0, muitas das geometrias derivadas concordam entre si, uma vez que os anéis derivados são os mesmos. Álgebras ${\displaystyle E_{\infty }}$ são apenas álgebras diferenciais graduadas comutativas sobre característica zero.

Podemos então definir esquemas derivados de forma semelhante aos esquemas na geometria algébrica. Semelhante à geometria algébrica, também poderíamos ver esses objetos como um par ${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X}^{\bullet })}$ que consiste em um espaço topológico ${\displaystyle X}$ com um feixe de álgebras diferenciais graduadas comutativas. Por vezes, os autores adotam a convenção de que estes são graduados negativamente, de modo que ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}^{n}=0}$ para ${\displaystyle n>0}$. A condição de feixe também poderia ser enfraquecida para que, para uma cobertura ${\displaystyle U_{i}}$ de ${\displaystyle X}$, os feixes ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{U_{i}}^{\bullet }}$ fossem colados em sobreposições ${\displaystyle U_{ij}}$ apenas por quase-isomorfismo.

Infelizmente, sobre a característica p, as álgebras diferenciais graduadas funcionam mal para a teoria da homotopia, devido ao fato de que ${\displaystyle d[x^{p}]=pd[x^{p-1}]}$. Isso pode ser superado usando álgebras simpliciais.

Os anéis derivados sobre característica arbitrária são tomados como anéis comutativos simpliciais por causa das boas propriedades categóricas que eles possuem.

Em particular, a categoria de anéis simpliciais é enriquecida simplicialmente, o que significa que os conjuntos-hom (hom-sets) são eles próprios conjuntos simpliciais. Além disso, existe uma estrutura de modelo canônica em anéis comutativos simpliciais proveniente de conjuntos simpliciais.^[4] De fato, é um teorema de Quillen que a estrutura de modelo em conjuntos simpliciais pode ser transferida para anéis comutativos simpliciais.

Conjectura-se que existe uma teoria final de stacks superiores que modelam tipos de homotopia. Grothendieck conjecturou que estes seriam modelados por grupoides globulares, ou uma forma fraca de sua definição. Simpson^[5] fornece uma definição útil no espírito das ideias de Grothendieck. Lembre-se que um stack algébrico (aqui um 1-stack) é chamado representável se o produto fibrado de quaisquer dois esquemas for isomorfo a um esquema.^[6] Se assumirmos a premissa de que um 0-stack é apenas um espaço algébrico e um 1-stack é apenas um stack, podemos definir recursivamente um n-stack como um objeto tal que o produto fibrado ao longo de quaisquer dois esquemas é um (n-1)-stack. Se voltarmos à definição de um stack algébrico, essa nova definição concorda com a anterior.

Outra teoria da geometria algébrica derivada é encapsulada pela teoria dos esquemas espectrais. A sua definição requer uma quantidade considerável de tecnologia para ser formulada com precisão.^[7] Contudo, em resumo, os esquemas espectrais ${\displaystyle X=({\mathfrak {X}},{\mathcal {O}}_{\mathfrak {X}})}$ são dados por um ${\displaystyle \infty }$-topos espectralmente anelado ${\displaystyle {\mathfrak {X}}}$ junto com um feixe de anéis ${\displaystyle \mathbb {E} _{\infty }}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathfrak {X}}}$ sobre ele, sujeito a algumas condições de localidade semelhantes à definição de esquemas afins. Em particular:

1. ${\displaystyle {\mathfrak {X}}\cong {\text{Shv}}(X_{top})}$ deve ser equivalente ao ${\displaystyle \infty }$-topos de algum espaço topológico
2. Deve existir uma cobertura ${\displaystyle U_{i}}$ de ${\displaystyle X_{top}}$ tal que o topos induzido ${\displaystyle ({\mathfrak {X}}_{U_{i}},{\mathcal {O}}_{{\mathfrak {X}}_{U_{i}}})}$ seja equivalente a um topos espectralmente anelado ${\displaystyle {\text{Spec}}(A_{i})}$ para algum anel ${\displaystyle \mathbb {E} _{\infty }}$ ${\displaystyle A_{i}}$

Além disso, o esquema espectral ${\displaystyle X}$ é chamado de conectivo se ${\displaystyle \pi _{i}({\mathcal {O}}_{\mathfrak {X}})=0}$ para ${\displaystyle i<0}$.

Lembre-se de que o topos de um ponto ${\displaystyle {\text{Sh}}(*)}$ é equivalente à categoria de conjuntos. Então, na configuração de ${\displaystyle \infty }$-topos, consideramos em vez disso ${\displaystyle \infty }$-feixes de ${\displaystyle \infty }$-grupoides (que são ${\displaystyle \infty }$-categorias com todos os morfismos inversíveis), denotados ${\displaystyle {\text{Shv}}(*)}$, dando um análogo do topos de ponto na configuração de ${\displaystyle \infty }$-topos. Assim, a estrutura de um espaço espectralmente anelado pode ser dada anexando um anel ${\displaystyle \mathbb {E} _{\infty }}$ ${\displaystyle A}$. Note que isso implica que espaços espectralmente anelados generalizam os anéis ${\displaystyle \mathbb {E} _{\infty }}$, pois todo anel ${\displaystyle \mathbb {E} _{\infty }}$ pode ser associado a um sítio espectralmente anelado.

Este topos espectralmente anelado pode ser um esquema espectral se o espectro deste anel produzir um ${\displaystyle \infty }$-topos equivalente, de modo que seu espaço subjacente seja um ponto. Por exemplo, isso pode ser dado pelo espectro de anel ${\displaystyle H\mathbb {Q} }$, chamado de espectro de Eilenberg-Maclane, construído a partir dos espaços de Eilenberg-MacLane ${\displaystyle K(\mathbb {Q} ,n)}$.

• A geometria algébrica derivada foi usada por Kerz, Strunk & Tamme (2018) para provar a conjectura de Weibel sobre o anulamento da K-teoria algébrica negativa.
• A formulação da correspondência de Langlands geométrica por Arinkin e Gaitsgory utiliza a geometria algébrica derivada.^[8]

• Derivador (matemática)

• Toën, Bertrand (6 de janeiro de 2014). «Derived Algebraic Geometry». arXiv:1401.1044 [math.AG] 
• Toën, Bertrand; Vezzosi, Gabriele (2004). «From HAG to DAG: derived moduli stacks». In: Greenlees, J. P. C. Axiomatic, enriched and motivic homotopy theory. Proceedings of the NATO Advanced Study Institute, Cambridge, UK, September 9–20, 2002. Col: NATO Science Series II: Mathematics, Physics and Chemistry. 131. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers. pp. 173–216. ISBN 1-4020-1833-9. Zbl 1076.14002 
• Vezzosi, Gabriele (2011). «What is ...a derived stack?» (PDF). Notices Am. Math. Soc. 58 (7): 955–958. Zbl 1228.14004 

• Eugster, J.; Pridham, J.P. (25 de outubro de 2021). «An introduction to derived (algebraic) geometry». arXiv:2109.14594 [math.AG] 

• Spectral algebraic geometry - Rezk
• Operads and Sheaf Cohomology - JP May - Anéis ${\displaystyle E_{\infty }}$ sobre característica 0 e estrutura ${\displaystyle E_{\infty }}$ para cohomologia de feixes
• Tangent complex and Hochschild cohomology of E_n-rings https://arxiv.org/abs/1104.0181
• Francis, John; Derived Algebraic Geometry Over ${\displaystyle {\mathcal {E}}_{n}}$-Rings

• Lowrey, Parker; Schürg, Timo. (2018). Grothendieck-Riemann-Roch for Derived Schemes
• Ciocan-Fontanine, I., Kapranov, M. (2007). Virtual fundamental classes via dg-manifolds
• Mann, E., Robalo M. (2018). Gromov-Witten theory with derived algebraic geometry
• Ben-Zvi, D., Francis, J., and D. Nadler. Integral Transforms and Drinfeld Centers in Derived Algebraic Geometry.
• Kerz, Moritz; Strunk, Florian; Tamme, Georg (2018). «Algebraic K-theory and descent for blow-ups». Invent. Math. 211 (2): 523–577. Bibcode:2018InMat.211..523K. MR 3748313. arXiv:1611.08466. doi:10.1007/s00222-017-0752-2 

• Notes on supersymmetric and holomorphic field theories in dimensions 2 and 4

• Jacob Lurie's Home Page
• Visão geral sobre Spectral Algebraic Geometry
• DAG reading group (Outono de 2011) em Harvard
• http://ncatlab.org/nlab/show/derived+algebraic+geometry
• Michigan Derived Algebraic Geometry RTG Learning Workshop, 2012
• Derived algebraic geometry: how to reach research level math?
• Derived Algebraic Geometry and Chow Rings/Chow Motives
• Gabriele Vezzosi, An overview of derived algebraic geometry, Outubro de 2013