Convoluzione 📖 Wikipedia

Disambiguazione – Se stai cercando la convoluzione tra funzioni aritmetiche, vedi Convoluzione di Dirichlet.

In matematica, in particolare nell'analisi funzionale, la convoluzione è un'operazione tra due funzioni di una variabile che consiste nell'integrare il prodotto tra la prima e la seconda traslata di un certo valore. Ha una forte somiglianza con la correlazione incrociata.

La convoluzione viene utilizzata in vari campi della fisica, della statistica, dell'elettronica, dell'analisi d'immagini e della grafica computerizzata. Quando si studiano sistemi dinamici lineari stazionari, l'uscita è data dalla convoluzione tra il segnale in ingresso e la risposta all'impulso del sistema, la cui trasformata di Laplace (o la trasformata di Fourier) è la funzione di trasferimento del sistema.

Si considerino due funzioni ${\displaystyle f(t)}$ e ${\displaystyle g(t)}$ definite da ${\displaystyle \mathbb {R} }$ in sé, con ${\displaystyle f}$ e ${\displaystyle g}$ integrabili secondo Lebesgue su ${\displaystyle \mathbb {R} }$. Si definisce convoluzione di ${\displaystyle f}$ e ${\displaystyle g}$ la funzione definita nel seguente modo:^[1]

${\displaystyle (f*g)(t):=\int _{-\infty }^{\infty }f(\tau )g(t-\tau )\ \mathrm {d} \tau =\int _{-\infty }^{\infty }f(t-\tau )g(\tau )\ \mathrm {d} \tau }$

dove ${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }}$ denota l'integrale definito sull'insieme dei numeri reali. Le limitazioni poste alle funzioni ${\displaystyle f}$ e ${\displaystyle g}$ assicurano che l'integrale sia un numero reale. È cioè l'integrale del prodotto delle due funzioni dopo che una delle funzioni di partenza è stata rovesciata e traslata, e si può considerare una forma di trasformata integrale. L'ultimo passaggio si può dimostrare considerando ${\displaystyle (t-\tau )=\tau '}$: operando la sostituzione nella prima formula si ottiene la seconda ritornando a chiamare ${\displaystyle \tau '}$ con il nome di ${\displaystyle \tau }$.

Spesso alla variabile ${\displaystyle t}$ si fa corrispondere il tempo, ed in tale contesto la convoluzione può essere descritta come la media pesata della funzione ${\displaystyle f(\tau )}$ all'istante ${\displaystyle t}$, dove la funzione peso è ${\displaystyle g(-\tau )}$ traslata di un intervallo ${\displaystyle t}$, ed al cambiare di ${\displaystyle t}$ la funzione peso enfatizza parti diverse di ${\displaystyle f}$.

Più in generale si possono considerare ${\displaystyle f(t)}$ e ${\displaystyle g(t)}$ definite su ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$ a valori in ${\displaystyle \mathbb {C} }$, la cui convoluzione è data da:

${\displaystyle (f*g)(x)=\int _{\mathbb {R} ^{d}}f(y)g(x-y)\,\mathrm {d} y=\int _{\mathbb {R} ^{d}}f(x-y)g(y)\ \mathrm {d} y}$

Se ${\displaystyle X}$ e ${\displaystyle Y}$ sono due variabili casuali indipendenti con densità di probabilità ${\displaystyle f}$ e ${\displaystyle g}$ rispettivamente, allora la densità di probabilità della somma ${\displaystyle X+Y}$ è data dalla convoluzione di ${\displaystyle f}$ con ${\displaystyle g}$.^[2]

Data una funzione periodica ${\displaystyle x_{T}}$ con periodo ${\displaystyle T}$, la sua convoluzione con un'altra funzione ${\displaystyle h}$ è ancora una funzione periodica e può essere espressa come:

${\displaystyle (x_{T}*h)(t)\,{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\int _{-\infty }^{\infty }h(\tau )\cdot x_{T}(t-\tau )\ \mathrm {d} \tau =\int _{t_{o}}^{t_{o}+T}h_{T}(\tau )\cdot x_{T}(t-\tau )\ \mathrm {d} \tau }$

dove ${\displaystyle t_{o}}$ è un parametro arbitrario e ${\displaystyle h_{T}}$ è la sommazione periodica di ${\displaystyle h}$, data da:^[3]

${\displaystyle h_{T}(t)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{k=-\infty }^{\infty }h(t-kT)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }h(t+kT)}$

Si tratta di una convoluzione periodica di ${\displaystyle x_{T}}$ e ${\displaystyle h_{T}}$, e se ${\displaystyle x_{T}}$ è espressa come sommazione periodica di un'altra funzione ${\displaystyle x}$ tale operazione è detta convoluzione circolare o convoluzione ciclica di ${\displaystyle h}$ e ${\displaystyle x}$.

Si considerino due funzioni ${\displaystyle f[n]}$ e ${\displaystyle g[n]}$ definite sull'insieme ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ degli interi. La convoluzione discreta di ${\displaystyle f}$ con ${\displaystyle g}$ è data da:

${\displaystyle (f*g)[n]\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{m=-\infty }^{\infty }f[m]\,g[n-m]=\sum _{m=-\infty }^{\infty }f[n-m]\,g[m]}$

Quando si moltiplicano due polinomi con coefficienti dati dalle successioni ${\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ e ${\displaystyle (b_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ la successione dei coefficienti del loro prodotto è data dal prodotto di Cauchy ${\displaystyle \textstyle (c_{n})_{n\geq 0}}$, il cui n-esimo elemento è dato da:

${\displaystyle c_{n}=\sum _{k=0}^{n}a_{k}b_{n-k}}$

che è la convoluzione discreta delle due successioni. Essa equivale al prodotto di ${\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ e ${\displaystyle (b_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ considerati come elementi dell'anello sul gruppo dei numeri naturali ${\displaystyle R[\mathbb {N} ]}$.

Data una funzione ${\displaystyle g_{N}}$ periodica con periodo ${\displaystyle N}$, per funzioni ${\displaystyle f}$ tali che ${\displaystyle f*g_{N}}$ esiste, la convoluzione discreta è periodica:

${\displaystyle (f*g_{N})[n]\equiv \sum _{m=0}^{N-1}\left(\sum _{k=-\infty }^{\infty }{f}[m+kN]\right)g_{N}[n-m]}$

e la somma su k è una sommazione periodica di ${\displaystyle f}$. Se ${\displaystyle g_{N}}$ è la sommazione periodica di un'altra funzione ${\displaystyle g}$, la convoluzione ${\displaystyle f*g_{N}}$ è la convoluzione circolare di ${\displaystyle f}$ con ${\displaystyle g}$. Se inoltre ${\displaystyle f}$ e ${\displaystyle g}$ presentano valori diversi da zero esclusivamente nell'intervallo ${\displaystyle [0,N-1]}$ allora ${\displaystyle f*g_{N}}$ assume la forma:

${\displaystyle {\begin{aligned}(f*g_{N})[n]&=\sum _{m\,=\,0}^{N-1}f[m]\ g_{N}[n-m]\\&=\sum _{m\,=\,0}^{n}f[m]\ g[n-m]+\sum _{m\,=\,n+1}^{N-1}f[m]\ g[N+n-m]\\&=\sum _{m\,=\,0}^{N-1}f[m]\ g[(n-m)_{\bmod {N}}]\equiv (f*_{N}g)[n]\end{aligned}}}$

La convoluzione di due funzioni ${\displaystyle f}$ e ${\displaystyle g}$ definite su ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$ a valori in ${\displaystyle \mathbb {C} }$:

${\displaystyle (f*g)(x)=\int _{\mathbb {R} ^{d}}f(y)g(x-y)\ \mathrm {d} y}$

è ben definita solo se ${\displaystyle f}$ e ${\displaystyle g}$ decrescono all'infinito abbastanza rapidamente da garantire l'esistenza dell'integrale.

Se ${\displaystyle f}$ e ${\displaystyle g}$ sono funzioni a supporto compatto, ovvero sono funzioni (in questo caso continue) che hanno per supporto un sottoinsieme compatto dell'insieme di definizione, allora la loro convoluzione esiste ed è continua a supporto compatto. Più in generale, se una delle due è a supporto compatto mentre l'altra è localmente integrabile, la loro convoluzione esiste ed è continua.

Se ${\displaystyle f}$ e ${\displaystyle g}$ sono Lebesgue-integrabili (in ${\displaystyle L^{1}(\mathbb {R} ^{n})}$) allora per il teorema di Tonelli la loro convoluzione è integrabile. Se ${\displaystyle f\in L^{1}(\mathbb {R} ^{d})}$ e ${\displaystyle g\in L^{p}(\mathbb {R} ^{d})}$, con ${\displaystyle 1\leq p\leq \infty }$, allora ${\displaystyle (f*g)\in L^{p}(\mathbb {R} ^{d})}$ e si ha:

${\displaystyle \|{f}*g\|_{p}\leq \|f\|_{1}\|g\|_{p}}$

In particolare, se ${\displaystyle p=1}$ tale relazione mostra che ${\displaystyle L^{1}}$ con l'operazione di convoluzione è un'algebra di Banach. Più in generale, la disuguaglianza di Young implica che la convoluzione è una funzione bilineare continua tra spazi ${\displaystyle L^{p}}$. Nello specifico, se ${\displaystyle 1\leq p,q,r\leq \infty }$ soddisfano la relazione:

${\displaystyle {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}={\frac {1}{r}}+1}$

allora:

${\displaystyle \|f*g\|_{r}\leq \|f\|_{p}\|g\|_{q}\qquad f\in L^{p}\quad g\in L^{q}}$

sicché la convoluzione è una mappa bilineare continua da ${\displaystyle L^{p}\times L^{q}}$ a ${\displaystyle L^{r}}$.

Sotto opportune condizioni è possibile definire la convoluzione di una funzione con una distribuzione e la convoluzione tra due distribuzioni. Se ${\displaystyle f}$ è una funzione a supporto compatto e ${\displaystyle g}$ è una distribuzione, la loro convoluzione è una funzione liscia definita dall'analoga formulazione distribuzionale:

${\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{d}}{f}(y)g(x-y)\ \mathrm {d} y}$

Più in generale, si può estendere la definizione convoluzione unicamente in modo che la proprietà associativa:

${\displaystyle f*(g*\varphi )=(f*g)*\varphi \,}$

rimanga valida anche qualora ${\displaystyle f}$ sia una distribuzione e ${\displaystyle g}$ una distribuzione a supporto compatto.

La convoluzione di due misure di Borel ${\displaystyle \mu }$ e ${\displaystyle \nu }$ a variazione limitata è la misura ${\displaystyle \lambda }$ definita come:

${\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{d}}f(x)d\lambda (x)=\int _{\mathbb {R} ^{d}}\int _{\mathbb {R} ^{d}}f(x+y)\,\mathrm {d} \mu (x)\,\mathrm {d} \nu (y)}$

Tale definizione coincide con la precedente se ${\displaystyle \mu }$ e ${\displaystyle \nu }$ sono trattate come distribuzioni, e con la definizione di convoluzione di funzioni in ${\displaystyle L^{1}}$ quando ${\displaystyle \mu }$ e ${\displaystyle \nu }$ sono assolutamente continue rispetto alla misura di Lebesgue.

Inoltre, la convoluzione di due misure soddisfa la seguente versione della disuguaglianza di Young:

${\displaystyle \|\mu *\nu \|\leq \|\mu \|\|\nu \|}$

dove la norma è la variazione totale della misura.

La convoluzione soddisfa le seguenti proprietà:

• Commutatività

${\displaystyle f*g=g*f}$

• Associatività

${\displaystyle f*(g*h)=(f*g)*h}$

• Distributività

${\displaystyle f*(g+h)=(f*g)+(f*h)}$

• Associatività per moltiplicazione per scalare

${\displaystyle a(f*g)=(af)*g=f*(ag)}$

per ogni numero reale (o complesso) ${\displaystyle a}$.

• Regola di differenziazione

${\displaystyle {\mathcal {D}}(f*g)={\mathcal {D}}f*g=f*{\mathcal {D}}g}$

dove con ${\displaystyle {\mathcal {D}}f}$ si è denotata la derivata di ${\displaystyle f}$ o, nel caso discreto, l'operatore differenziale:

${\displaystyle {\mathcal {D}}f(n)=f(n+1)-f(n)}$

Lo stesso argomento in dettaglio: Teorema di convoluzione.

Il teorema di convoluzione afferma che:

${\displaystyle {\mathcal {F}}\{f*g\}=k\cdot {\mathcal {F}}\{f\}\cdot {\mathcal {F}}\{g\}}$

dove ${\displaystyle {\mathcal {F}}(f)}$ indica la trasformata di Fourier di ${\displaystyle f}$ e ${\displaystyle k}$ è una costante che dipende dalla scelta della costante di normalizzazione della trasformata. Altre versioni di questo teorema funzionano per la trasformata di Laplace e la trasformata di Mellin. La trasformata della convoluzione di due funzioni equivale al prodotto delle trasformate delle due funzioni stesse.

Se ${\displaystyle G}$ è un gruppo scelto in modo appropriato e la cui misura corrisponde al valore m (per esempio, un gruppo di Hausdorff localmente compatto con la misura di Haar) e se ${\displaystyle f}$ e ${\displaystyle g}$ sono valori reali o complessi dell'm-integrale di ${\displaystyle G}$, allora la loro convoluzione può essere definita dalla relazione:

${\displaystyle (f*g)(x)=\int _{G}f(y)g(xy^{-1})\,\mathrm {d} m(y)}$

La convoluzione e le relative operazioni sono usate in diverse applicazioni dell'ingegneria e della matematica.

• In statistica, una media mobile pesata è una convoluzione. Anche la distribuzione di probabilità della somma di due variabili casuali indipendenti corrisponde alla convoluzione di ognuna delle loro distribuzioni.
• In ottica, molte specie di "blur" sono descritte tramite la convoluzione. Un'ombra (ad esempio l'ombra su un tavolo che si vede quando gli si interpone un oggetto innanzi la fonte luminosa) è la convoluzione della forma della fonte di luce che sta proiettando l'ombra dell'oggetto illuminato e l'oggetto stesso. Una foto fuori fuoco è la convoluzione dell'immagine a fuoco con la forma del diaframma. Il termine fotografico per tale effetto è bokeh.
• Analogamente, nell'elaborazione digitale delle immagini, i filtri convoluzionali assumono un importante compito negli algoritmi di calcolo dei margini e dei processi correlati.
• Nell'elaborazione digitale dei segnali, il filtraggio di frequenza può essere semplificato convolvendo due funzioni (dati con un filtro) nel dominio del tempo, il che equivale a moltiplicare i dati con un filtro nel dominio di frequenza.
• In acustica lineare, un'eco è la convoluzione del suono originale con una funzione geometrica che descrive i vari oggetti che stanno riflettendo il segnale sonoro.
• In elaborazione digitale dei segnali, nella riverberazione artificiale la convoluzione è utilizzata per codificare la risposta ad impulso di una stanza reale ad un segnale audio digitale.
• In ingegneria elettrica e in altre discipline, l'output (risposta) di un sistema dinamico lineare (stazionario) è la convoluzione di un input (eccitazione d'ingresso) con la risposta impulsiva del sistema (ovvero la risposta quando l'eccitazione d'ingresso è la funzione Delta di Dirac). Nel dominio discreto il concetto di convoluzione viene esteso a una sommatoria, estesa al prodotto di segnale e risposta impulsiva ${\displaystyle y(n)=x(n)*h(n)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }x(k)\cdot h(n-k)}$^[4], con la sequenza h(n) che prende il nome di "kernel di convoluzione" o "maschera di convoluzione".
• Nella spettroscopia a fluorescenza determinata a tempo, il segnale di eccitazione può essere trattato come una catena di impulsi delta, e la fluorescenza misurata è data dalla somma dei decadimenti esponenziali di ogni impulso delta.
• In idrologia la convoluzione è utilizzata nell'idrogramma unitario istantaneo e nel modello di Nash.^[5]

• (EN) Walter Rudin, Real and Complex Analysis, Mladinska Knjiga, McGraw-Hill, 1970, ISBN 0-07-054234-1.
• (EN) Jean Jacod, Philip Protter, Probability Essentials, Springer, 2000, ISBN 3-540-43871-8.
• (EN) Walter Rudin, Physics with the hands, Mladinska Knjiga, McGraw-Hill, 2013.

• Convoluzione di Dirichlet
• Funzione di trasferimento
• Deconvoluzione
• Distribuzione (matematica)
• Formula di sommazione di Poisson
• Integrale di Lebesgue
• Misura (matematica)
• Mollificatore
• Teorema di convoluzione

• Wikimedia Commons contiene immagini o altri file su Convoluzione

• (EN) Eric W. Weisstein, Convolution, su MathWorld, Wolfram Research.
• Convolution, su The Data Analysis BriefBook
• http://www.jhu.edu/~signals/convolve/index.html Applet Java sulla convoluzione.
• http://www.jhu.edu/~signals/discreteconv2/index.html Applet Java per la convoluzione di funzioni tempo discrete.
• http://www3.deis.unibo.it/Staff/Research/CCaini/corsoCEA/convoluzione.xls^{[collegamento interrotto]} Un foglio elettronico per visualizzare in modo interattivo il prodotto di convoluzione fra due segnali, nell'esempio un impulso ed un'esponenziale monolatera. Tramite un cursore il tempo può essere fatto variare da -∞ a +∞; in corrispondenza di ogni valore viene evidenziata la funzione integrando ed il risultato del prodotto di convoluzione (tramite un marker)
• http://lpsa.swarthmore.edu/Convolution/CI.html Permette di visualizzare in maniera interattiva il risultato della convoluzione di varie coppie di funzioni. L'utente può scegliere tramite un menu a tendina le due funzioni da convolvere e visualizzare istante per istante il risultato.

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