Fonction additive (arithmétique) 📖 Wikipedia

• la restriction de la fonction logarithme à ${\displaystyle \mathbb {N} ^{*}}$ .
• la valuation p-adique, pour tout nombre premier ${\displaystyle p}$ .

La fonction ${\displaystyle \Omega }$  associe à un entier naturel non nul ${\displaystyle n}$ , le nombre avec répétition (i.e. en comptant de multiples fois les facteurs multiples) des facteurs premiers de ${\displaystyle n}$  :

Par exemple (suite A001222 de l'OEIS) :

${\displaystyle \Omega (4)=2}$  ;

${\displaystyle \Omega (24)=\Omega (2^{3}\times 3^{1})=3+1=4}$  ;

${\displaystyle \Omega (27)=3}$  ;

${\displaystyle \Omega (144)=\Omega (2^{4}\times 3^{2})=\Omega (2^{4})+\Omega (3^{2})=4+2=6}$ ;

${\displaystyle \Omega (2000)=\Omega (2^{4}\times 5^{3})=\Omega (2^{4})+\Omega (5^{3})=4+3=7}$  ;

${\displaystyle {\ce {\Omega(2001)=3}}}$  ;

${\displaystyle {\ce {\Omega(2002)=4}}}$  ;

${\displaystyle {\ce {\Omega(2003)=1}}}$  ;

${\displaystyle \Omega (54\ 032\ 858\ 972\ 279)=\Omega (11\times 1993^{2}\times 1236661)=4}$  ;

${\displaystyle \Omega (54\ 032\ 858\ 972\ 302)=\Omega (2\times 7^{2}\times 149\times 2081\times 1\ 778\ 171)=6}$  ;

${\displaystyle \Omega (20\ 802\ 650\ 704\ 327\ 415)=\Omega (5\times 7\times 11^{2}\times 1993^{2}\times 1236661)=7}$ .

La fonction ${\displaystyle a_{0}}$  (parfois appelée par les anglo-saxons sopfr) associe à un entier naturel non nul ${\displaystyle n}$  la somme avec répétition des facteurs premiers de ${\displaystyle n}$  :

Par exemple (suite A001414 de l'OEIS) :

${\displaystyle a_{0}(4)=4}$  ;

${\displaystyle a_{0}(20)=a_{0}(2^{2}\times 5)=2+2+5=9}$  ;

${\displaystyle a_{0}(27)=9}$  ;

${\displaystyle a_{0}(144)=a_{0}(2^{4}\times 3^{2})=a_{0}(2^{4})+a_{0}(3^{2})=8+6=14}$  ;

${\displaystyle a_{0}(2000)=a_{0}(2^{4}\times 5^{3})=a_{0}(2^{4})+a_{0}(5^{3})=8+15=23}$  ;

${\displaystyle a_{0}(2001)=55}$  ;

${\displaystyle a_{0}(2002)=33}$  ;

${\displaystyle a_{0}(2003)=2003}$  ;

${\displaystyle a_{0}(54\ 032\ 858\ 972\ 279)=1\ 240\ 658}$  ;

${\displaystyle a_{0}(54\ 032\ 858\ 972\ 302)=1\ 780\ 417}$  ;

${\displaystyle a_{0}(20\ 802\ 650\ 704\ 327\ 415)=1\ 240\ 681}$ .

• la fonction ${\displaystyle \omega }$ , qui associe à un entier naturel ${\displaystyle n}$  le nombre total de nombres premiers distincts qui divisent ${\displaystyle n}$  (elle est donc majorée par ${\displaystyle \Omega }$ ). Par exemple (suite A001221 de l'OEIS) :

${\displaystyle \omega (4)=1}$  ;

${\displaystyle \omega (27)=1}$  ;

${\displaystyle \omega (144)=\omega (2^{4}\times 3^{2})=\omega (2^{4})+\omega (3^{2})=1+1=2}$  ;

${\displaystyle \omega (2000)=\omega (2^{4}\times 5^{3})=\omega (2^{4})+\omega (5^{3})=1+1=2}$  ;

${\displaystyle \omega (2001)=3}$  ;

${\displaystyle \omega (2002)=4}$  ;

${\displaystyle \omega (2003)=1}$  ;

${\displaystyle \omega (54\ 032\ 858\ 972\ 279)=3}$  ;

${\displaystyle \omega (54\ 032\ 858\ 972\ 302)=5}$  ;

${\displaystyle \omega (20\ 802\ 650\ 704\ 327\ 415)=5}$ .

• la fonction ${\displaystyle a_{1}}$  (parfois appelée par les anglo-saxons sopf) qui à un entier ${\displaystyle n}$  associe la somme de ses diviseurs premiers distincts (elle est de même majorée par ${\displaystyle a_{0}}$ ). Par exemple (suite A008472 de l'OEIS) :

${\displaystyle a_{1}(4)=2}$  ;

${\displaystyle a_{1}(20)=2+5=7}$  ;

${\displaystyle a_{1}(27)=3}$  ;

${\displaystyle a_{1}(144)=a_{1}(2^{4}\times 3^{2})=a_{1}(2^{4})+a_{1}(3^{2})=2+3=5}$  ;

${\displaystyle a_{1}(2000)=a_{1}(2^{4}\times 5^{3})=a_{1}(2^{4})+a_{1}(5^{3})=2+5=7}$  ;

${\displaystyle a_{1}(2001)=55}$  ;

${\displaystyle a_{1}(2002)=33}$  ;

${\displaystyle a_{1}(2003)=2003}$  ;

${\displaystyle a_{1}(54\ 032\ 858\ 972\ 279)=1\ 238\ 665}$  ;

${\displaystyle a_{1}(54\ 032\ 858\ 972\ 302)=1\ 780\ 410}$  ;

${\displaystyle a_{1}(20\ 802\ 650\ 704\ 327\ 415)=1\ 238\ 677}$ .

À partir de n'importe quelle fonction additive ${\displaystyle f}$ , il est facile de créer une fonction multiplicative ${\displaystyle g}$  en définissant par exemple ${\displaystyle g}$  par :

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Additive function » (voir la liste des auteurs).
• Janko Bračič, Kolobar aritmetičnih funkcij (Ring of arithmetical functions), (Obzornik mat, fiz. 49 (2002) 4, p. 97-108) (MSC (2000) 11A25)

• Équation fonctionnelle
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• Relation faiblement additive

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